溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評(píng)估(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在數(shù)列1，2，7，10，13，…中，219是這個(gè)數(shù)列的第()項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng) 項(xiàng)【解析】選C.因?yàn)閍1=1=1，a2=2=4，a3=7，a4=10，a5=13，…，所以an=3n-2.令an=3n-2=219=2.(2023·海口高二檢測(cè))由a1=1，d=3確定的等差數(shù)列{an}，當(dāng)an=298時(shí)，序號(hào)n等于() B.100 【解析】選B.由題意得，1+n-13.(2023·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))不可以作為數(shù)列：2，0，2，0，…，的通項(xiàng)公式的是()=2(n=2k-1,k∈=2sin=(-1)n+1=2cos【解析】選C.經(jīng)檢驗(yàn)選項(xiàng)C不可以作為數(shù)列：2，0，2，0…的通項(xiàng)公式，而是數(shù)列0，2，0，2，…的一個(gè)通項(xiàng)公式.4.已知等差數(shù)列5，427，347，…的前n項(xiàng)和為Sn，則使得S() B.8 或8 或9【解析】選C.等差數(shù)列5，427，347，…的首項(xiàng)為5，公差為-57，所以通項(xiàng)公式an=5+=57所以當(dāng)1≤n<8時(shí)，an>0；當(dāng)n=8時(shí)，an=0；當(dāng)n≥9時(shí)，an<0，所以當(dāng)n=7或8時(shí)Sn最大.【延伸探究】記本題數(shù)列為{an}，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn【解析】Sn=5n+nn-12=514n15當(dāng)1≤n≤8時(shí)，Tn=Sn=514n15當(dāng)n≥9時(shí)，Tn=S8-Sn-S8=2S8-Sn=40-綜上知，Tn=55.(2023·武威高二檢測(cè))若a1=3，a2=6，an+2=an+1-an，則a55等于() 【解析】選A.由題意得a3=a2-a1=6-3=3，a4=a3-a2=3-6=-3，a5=a4-a3=-3-3=-6，a6=a5-a4=-6--3a7=a6-a5=-3--6所以該數(shù)列按3，6，3，-3，-6，-3，周期變化.所以a55=a6×9+1=a1=3.6.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a3=29，S3=269，則數(shù)列A.34×23n ×13n-1 D.2【解析】選C.設(shè){an}的公比為q(q>0)，則a所以12q2-q-1=0，所以q=13或q=-14(舍)，a所以an=a1qn-1=2×137.(2023·邢臺(tái)高一檢測(cè))設(shè)an=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*)，那么an+1-aA.12n+1 B.C.12n+1+12n+2 【解析】選D.因?yàn)閍n=1n+1+1n+2+…+12n所以an+1=1n+2+…+12n+12n+1+1所以an+1-an=-1n+1+12n+1=12n+1-1【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)若對(duì)題意理解不準(zhǔn)確，則容易出現(xiàn)an+1-an=12n+1+18.(2023·深圳高二檢測(cè))記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a5+a21=a12，那么S27=()015 014 013 【解析】選D.因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a5+a21=2a13，又a5+a21=a12，所以2a13=a12，所以a13+a13-a12=0，所以a13+d=0，即a14=0，所以S27=27a1+a9.下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列annp4：數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列.其中的真命題為()，p2 ，p4，p3 ，p4【解析】選D.對(duì)于p1，數(shù)列{an}的公差d>0，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；對(duì)于p4，因?yàn)?an+1+3(n+1)d)-(an+3nd)=d+3d=4d>0，是遞增數(shù)列.對(duì)于p2，因?yàn)?n+1)an+1-nan=(n+1)an+(n+1)d-nan=a1+2nd，a1不知道正負(fù)，不一定大于零，所以不一定是遞增數(shù)列；同理，對(duì)于p3，也不一定是遞增數(shù)列，故選D.10.(2023·荊州高一檢測(cè))數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且數(shù)列l(wèi)og3an是等差數(shù)列，若a5a6+a4a7=18，則log3a B.10 +log3【解析】選B.因?yàn)閿?shù)列l(wèi)o所以log3an+1-log3an=log3an+1所以an+1an=3d所以數(shù)列an所以a5a6=a4a又a5a6+a4a7=18，所以a5a6=a所以a1a10=a2a9=…=a4a7=a所以log3a1+log3a2+…+log=log3a1a2·…·a11.一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了3個(gè)伙伴；第2天，4只蜜蜂飛出去，各自找回了3個(gè)伙伴……如果這個(gè)找伙伴的過(guò)程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中蜜蜂的總只數(shù)為() B.729 024 【解析】選D.設(shè)第n天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為an，由題意可得數(shù)列{an}成等比數(shù)列，它的首項(xiàng)為4，公比q=4，所以{an}的通項(xiàng)公式：an=4·4n-1=4n，所以到第6天，所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有a6=46=4096只蜜蜂.【補(bǔ)償訓(xùn)練】我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)起源于公元前幾百年前.在公元前一百年前成書(shū)的《周髀算經(jīng)》提到：在周城的平地立八尺高的周髀(表竿)，日中測(cè)影，在二十四節(jié)氣中，冬至影長(zhǎng)1丈3尺5寸，以后每一節(jié)氣遞減9寸9分(以10寸計(jì)算)，則9尺5寸應(yīng)是二十四節(jié)氣中從冬至開(kāi)始的第__________個(gè)節(jié)氣.【解析】用{an}表示從冬至開(kāi)始的“影長(zhǎng)”組成的等差數(shù)列，則a1=135，an=95，公差d=-10，所以由an=a1+(n-1)d，得n=an答案：512.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=164，對(duì)于n∈N*，bn=log12an，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn取得最大值A(chǔ).(3，23) B.(3，4)C.(22，4) D.(22，32)【解析】選C.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)a1=164所以bn+1-bn=log12an+1-log12an=lo所以數(shù)列{bn}是以log12q為公差，以log1所以bn=6+(n-1)log1由于當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，Tn最大，所以log12所以6所以-2<log12q<-即22<q<4.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.等差數(shù)列{an}中，a2=8，S10=185，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=__________(n∈N*).【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2=8，S10=185，所以a解得a1=5，d=3.所以an=5+(n-1)×3=3n+2.答案：3n+214.(2023·泰興高一檢測(cè))等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為T(mén)n，若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25【解析】a3a6a18=a13q2+5+17=(a1q8即a9為定值，所以下標(biāo)和為18的兩項(xiàng)積為定值，可知T17為定值.答案：T1715.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，an+1-an=bn+1bn=2，n∈N*，則數(shù)列{b【解析】因?yàn)閍n+1-an=bn+1所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差是2，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且公比是2.又因?yàn)閍1=1，所以an=a1+(n-1)d=2n-1，所以ban=b2n-1=b1·22n-2=2設(shè)cn=ba所以cn=22n-2，所以cncn-1所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為1×(1-4n)1-4答案：13(4n16.定義na1+a2+…+an為n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”.若已知數(shù)列{an}的前【解析】由題可知：na1+所以a1+a2+…+an=n·(2n+1)，所以a1+a2+…+an+an+1=(n+1)·(2n+3)，兩式相減得：an+1=(n+1)·(2n+3)-n·(2n+1)=4(n+1)-1，又因?yàn)?a1=13，即a1答案：4n-1三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2023·德州高二檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和.【解析】設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知，可得2a1+2d=8，a1+3d2所以a1+d=4，dd-3解得a1=4，d=0，或a1=1，d=3，當(dāng)a1=4，d=0時(shí)，Sn=4n.當(dāng)a1=1，d=3時(shí)，Sn=3n18.(12分)(2023·畢節(jié)高一檢測(cè))已知{an}是首項(xiàng)為19，公差為-2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和.(1)求通項(xiàng)an及Sn.(2)設(shè){bn-an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)因?yàn)閍1=19，公差d=-2，所以an=19-2(n-1)=21-2n，Sn=19n+12n(n-1)×(-2)=20n-n2(2)由題意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1，所以bn=3n-1-2n+21，所以Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+3n19.(12分)在數(shù)列{an}中，已知a1=-1，an+an+1+4n+2=0.(1)若bn=an+2n.求證：{bn}是等比數(shù)列，并寫(xiě)出{bn}的通項(xiàng)公式.(2)求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)b1=1，bn+1bn=a所以{bn}是以1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.bn=(-1)n-1.(2)an=bn-2n=(-1)n-1-2n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=-n2-n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=1-n2-n.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=17，S10=100.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(-1)nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有a解得a故an=19+(n-1)(-2)=21-2n.(2)由(1)知，bn=(21-2n)(-1)n.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則Tn=(-19)+17+(-15)+13+…+(2n-23)+(21-2n)=(-2)+(-2)+…+(-2)=n2②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則Tn=Tn-1+an=-(n-1)+(2n-21)=n-20.綜上可知，Tn=n20.(12分)(2023·南昌高二檢測(cè))數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an是Sn和1的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列{bn}滿足b1+S4=0，b9=a1.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式.(2)若cn=1(bn+16)(bn【解析】(1)因?yàn)閍n是Sn和1的等差中項(xiàng)，因?yàn)镾n=2an-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1，所以an=2an-1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2a1-1，所以a1=1，所以an≠0(n∈N*)，因?yàn)閍n所以數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n-1，Sn=a1+a2+…+an=2n-1，設(shè){bn}的公差為d，b1=-S4=-15，b9=-15+8d=1?d=2，所以bn=-15+(n-1)×2=2n-17.(2)cn=1(2n-1)(2n+1)=1所以Wn=121-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an=Snn+n-1(n∈N(1)求證：數(shù)列Sn(2)設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為T(mén)n【解析】(1)由題意可得nan=Sn+n(n-1)，所以n(Sn-Sn-1)=Sn+n(n-1)，(n∈N*，n≥2)，即(n-1)Sn-nSn-1=n(n-1)，所以Snn-Sn-1(2)由(1)得Snn=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n所以an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，(n∈N*，n≥2)，又a1=1適合上式，所以an=2n-1.所以1an=12所以Tn=1=n2n+121.(12分)已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn=12an2+12(1)求a1，a2，a3，a4的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由Sn=12an2+12a1=12a12+12a1S2=a1+a2=12a22+12a2同理，a3=3，a4=4.(2)Sn=12an2+12當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=12an-12+12①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0，所以an-an-1=1，又由(1)知a1=1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an=n.22.(12分)(2023·襄陽(yáng)高一檢測(cè))已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=2，且b2S2=16，b3S(1)求數(shù)列an和b(2)令c1=1，c2k=a2k-1，c2k+1=a2k+kbk，其中k∈N*，求數(shù)列cn的前n(n≥3)項(xiàng)的和Tn【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，數(shù)列{bn}的公比為q，則2解得d所以an=2n-1，bn=2n.(2)當(dāng)n=2k+1(k∈N*)時(shí)T2k+1=c1+c2+c3+c4+…+c2k+c2k+1=1+(c2+c4+…+c2k)+(c3+c5+…+c2k+1)=1+(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+b1+a4+2b2+…+a2k+kbk)=1+(a1+a2+