第3章空間向量與立體幾何一.空間向量的基本概念0

1

長度相等方向相反長度相等方向相同任意2.空間向量的加法、減法運算abABbCO三角形法則：首尾相連首尾相接平行四邊形法則：起點相同連對角.(1)空間向量的加法⑵空間向量的減法三角形法則ABab.注意：

1、兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同2、由減向量的終點指向被減向量的終點。共起點O1、兩個向量的夾角二、空間向量的數量積及其運算2、兩個向量的數量積3、空間向量數量積的運算律與平面向量一樣，空間向量的數量積滿足如下運算律：7任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。4、空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使都叫做基向量三、空間向量的坐標運算1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。2.兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，反向；（3）當時，。設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a⊥u?________?__________(2)面面平行設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?________?__________________________(λ∈R)．a·u＝0a1a2＋b1b2u＝λva1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2＋c1c2＝0(1)線面平行四、空間向量與立體幾何（一）空間平行關系的向量表示（二）空間垂直關系的向量表示(1)線線垂直設直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?_____?_______?_____________．(2)線面垂直設直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?u∥v?______．(3)面面垂直設平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?______?________?____________________．四、空間向量與立體幾何方法小結求空間的角考點突破解(1)因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD．考點一求異面直線所成的角利用空間向量求解考點突破(2)法一如圖1，取PB中點F，連接EF，AF，則EF∥BC，從而∠AEF(或其補角)是異面直線BC與AE所成的角．在△AEF中，考點一求異面直線所成的角F則△AEF是等腰直角三角形，圖1利用空間向量求解考點突破法二如圖2，建立空間直角坐標系，考點一求異面直線所成的角圖2xyz利用空間向量求解考點突破考點一求異面直線所成的角考點突破(1)證明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD．又CD?平面BCD，∴AB⊥CD．(2)解過點B在平面BCD內作BE⊥BD，如圖．由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD．【例2】(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．考點二利用空間向量求直線與平面所成的角E考點突破以B為坐標原點，【訓練2】(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．考點二利用空間向量求直線與平面所成的角的正方向建立空間直角坐標系．依題意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，xyzE考點突破【訓練2】(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．考點二利用空間向量求直線與平面所成的角取z0＝1，得平面MBC的一個法向量為n＝(1，－1，1)．設直線AD與平面MBC所成角為θ，設平面MBC的法向量為n＝(x0，y0，z0)，xyzE考點突破規律方法

利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．考點二利用空間向量求直線與平面所成的角利用法向量求二面角的原理：設

分別為平面

的法向量，二面角

的大小為

，向量

的夾角為

，則有

（圖1）或

（圖2）。向量

的夾角為，二面角

的大小為

，和相等還是互補？“同進同出為補角，一進一出為夾角”考點突破考點三利用空間向量求二面角1詳細答案思考題考點突破(1)證明

∵ED⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴ED⊥AD．又∵四邊形ABCD為正方形，因此AD⊥CD．∵ED∩CD＝D，∴AD⊥平面CDEF.由于CF?平面CDEF，∴AD⊥CF.又AF⊥CF，AF∩AD＝A．故CF⊥平面ADF.考點三利用空間向量求二面角【例3】(2014·廣東卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點F，FE∥CD，交PD于點E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．考點突破(2)解如圖所示，建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC＝1.由于∠DPC＝30°，PD⊥CD，考點三利用空間向量求二面角【例3】(2014·廣東卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點F，FE∥CD，交PD于點E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．xyz由于CF⊥FD，FE∥CD，從而D，A，C，F，E五點的坐標分別為D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，考點突破設平面AEF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，考點三利用空間向量求二面角【例3】(2014·廣東卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點F，FE∥CD，交PD于點E.(1)證明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．xyz由于CF⊥平面ADF，由圖可見所求二面角θ的余弦值為考點突破規律方法

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．考點三利用空間向量求二面角（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題(還常建立坐標系來輔助)；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義.（化為向量問題或向量的坐標問題）（進行向量運算）（回到圖形）利用空間向量求距離空間兩點之間的距離根據兩向量數量積的性質和坐標運算，利用公式或(其中)

，可將兩點距離問題轉化為求向量模長問題空間中的距離主要有:點點、點線、點面、線線、線面、面面一、求點到平面的距離一般方法：利用定義先作出過這個點到平面的垂線段，再計算這個垂線段的長度。還可以用等積法求距離.