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材料力學(5)Sunday,February5,2023返回總目錄范欽珊FANQin-ShansEducation&TeachingStudio

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算基礎篇之五材料力學下一章上一章返回總目錄(Chapter4

DesignofStrengthandRigidityforcircularshaftundertorsion

)

桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對轉動，這種受力與變形形式稱為扭轉（torsion）。第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算本章主要分析圓軸扭轉時橫截面上的剪應力以及兩相鄰橫截面的相對扭轉角，同時介紹圓軸扭轉時的強度與剛度設計方法。MeMe圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析與強度設計圓桿扭轉時的變形及剛度計算工程中承受扭轉的圓軸外加扭力矩、扭矩與扭矩圖結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算剪應力成對定理剪切胡克定律工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算返回返回總目錄工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算請判斷哪一桿件將發生扭轉？連接汽輪機和發電機的傳動軸將產生扭轉。工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算傳動軸請判斷哪些零件將發生扭轉？傳動軸將產生扭轉工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算請判斷哪一桿件將發生扭轉？當兩只手用力相等時，擰緊螺母的工具桿將產生扭轉。工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算工程中承受扭轉的圓軸第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算受扭圓軸的力學模型MeMe外加扭力矩、扭矩與扭矩圖返回返回總目錄第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算■

外加扭力矩與功率和轉速的關系

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算作用于構件的外扭矩與機器的轉速、功率有關。在傳動軸計算中，通常給出傳動功率P和轉遞n，則傳動軸所受的外加扭力矩Me可用下式計算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉速，單位為轉/分（r/min）。

如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算■

圓軸扭轉時橫截面上的內力分量

——扭矩

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算外加扭力矩Me確定后，應用截面法可以確定橫截面上的內力——扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時，橫截面上將產生分布剪應力，這些剪應力將組成對橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

MeMeMeMx外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算扭矩的正負號規則+MeMxnMx扭矩矢量與所在橫截面的外法線方向一致時，扭矩為正。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算扭矩的正負號規則－MeMxnMx扭矩矢量與所在橫截面的外法線方向相反時，扭矩為負。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算扭矩的正負號規則+MeMxnMxMxMeMxnMeMe同一截面兩側的扭矩同為正。

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算扭矩的正負號規則MeMe－MeMxnMxMxMeMxn同一截面兩側的扭矩同為負。

■

扭矩圖

外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算如果只在軸的兩個端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算MeMe外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算當在軸的長度方向上有兩個以上的外力偶矩作用時，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。Me1Me2Me3Me4Me5扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算確定約束力偶（必要時）；

根據圓軸上作用的外加力偶以及約束力偶，確定控制面，也就是扭矩圖的分段點；應用截面法，用假想截面從控制面處將圓軸截開，在截開的截面上，畫出未知扭矩，并假設為正方向；對截開的部分圓軸建立平衡方程，確定控制面上的扭矩

建立Mx－x坐標系，將所求得的扭矩值標在坐標系中，畫出扭矩圖。

繪制扭矩圖的方法外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算例題1圓軸受有四個繞軸線轉動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。

試：畫出圓軸的扭矩圖。

BACD3153151116486150015002000外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應用截面法，由平衡方程確定各段圓軸內的扭矩

。

486nBACD3153151116486150015002000n315Mx1=-315Mx3=486n315315Mx2=-630外加扭力矩、扭矩與扭矩圖第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

3．建立Mx－x坐標系，畫出扭矩圖建立Mx－x坐標系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標在Mx－x坐標系中，得到相應的點，過這些點作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。

315630Mx/N.mOx486630486BACD3153151116486150015002000315剪應力成對定理第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算返回返回總目錄第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算剪應力成對定理剪切胡克定律

zyxdxdydz微元能不能平衡？

作用在左右兩側面上的剪應力乘以它們作用的面積，形成一對大小相等方向相反的力，這一對力組成一力偶，因而微元不能平衡。

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算剪應力成對定理剪切胡克定律

怎樣才能平衡？zyxdxdydz

根據力偶只能與力偶平衡的理論，微元的上下表面也必然有剪應力存在，而且這一對剪應力乘以它們作用的面積，同樣形成一對大小相等方向相反的力，組成一力偶，從而使微元保持平衡。

τ和τ′之間存在什么關系？第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算剪應力成對定理剪切胡克定律

哪些力互相平衡？zyxdxdydz

應力是內力在一點的集度，應力只有乘以它的的作用面積形成力，才能參與平衡。

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算剪應力成對定理剪切胡克定律

剪應力成對定理在兩個互相垂直的平面上，剪應力必然成對存在，且數值相等，兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線，這就是剪應力成對定理（pairingprincipleofshearstresses）。zyxdxdydz圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算返回返回總目錄應用平衡方法可以確定圓桿扭轉時橫截面上的內力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點剪應力的大小。為了確定橫截面上各點的剪應力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應力是怎樣分布的。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算應力分布應力公式變形應變分布平面假定物性關系靜力方程確定橫截面上剪應力的方法與過程圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

平面假定

變形協調方程

物性關系——剪切胡克定律

靜力學方程

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

平面假定

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算假定：圓軸受扭發生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉過一角度。這一假定稱為平面假定。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算BAMeMe圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

變形協調方程圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算dxrOBACDC'D'Mx圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'dxrOBACDC'D'Mx圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算O若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據上述結論，在dx長度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉過相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產生的剪應變各不相同，半徑越小者剪應變越小。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'O設到軸線任意遠處的剪應變為（），則從圖中可得到如下幾何關系：

BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'O圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

物性關系——剪切胡克定律圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算O剪切胡克定律當在彈性范圍內加載時，剪應力與剪應變成正比:這種線性關系稱為剪切胡克定律。比例常數G稱為材料的切變模量。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算rOOMx圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

靜力學方程圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算MxO圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算式中

GIP—扭轉剛度；

IP—橫截面的極慣性矩。圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

圓軸扭轉時橫截面上的剪應力表達式圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算rOMx圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算最大剪應力Wp——

扭轉截面模量。rOMx圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算截面的極慣性矩與扭轉截面模量=d/D

對于直徑為d

的實心圓截面

對于內、外直徑分別為d

和

D

的圓環截面圓軸扭轉時橫截面上的剪應力分析第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓軸扭轉時的強度設計第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算返回返回總目錄受扭圓軸的強度設計準則圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算與抗壓桿的強度設計相似，為了保證圓軸扭轉時安全可靠地工作，必須將圓軸橫截面上的最大剪應力max限制在一定的數值以下，即：

這一關系式稱為受扭圓軸的強度設計準則，或稱圓軸扭轉的強度條件。

受扭圓軸的強度設計準則

[

]為許用剪應力；

max是指圓軸所有橫截面上最大剪應力中的最大者，對于等截面圓軸，最大剪應力發生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點；對于變截面圓軸，如階梯軸，最大剪應力不一定發生在扭矩最大的截面，這時需要根據扭矩Mx和相應扭轉截面模量WP的數值綜合考慮才能確定。

圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:

各軸橫截面上的最大剪應力。例題

2圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：計算各軸的功率與轉速圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m解：計算各軸的扭矩圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算解：計算各軸的橫截面上的最大剪應力圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大剪應力不得超過40MPa,空心圓軸的內外直徑之比=0.5。二軸長度相同。例題

3求:

實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算解：首先根據軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩實心軸圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算解：對于空心軸，則有算得d2＝0.5D2=23mm圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算解：確定實心軸與空心軸的重量之比空心軸D2＝46mmd2＝23mm實心軸d1=45mm在長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：圓軸扭轉時的強度設計

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓軸扭轉時的變形及剛度計算

返回返回總目錄第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算受扭圓軸的相對扭轉角

圓桿受扭矩作用時，dx

微段的兩截面繞軸線相對轉動的角度稱為相對扭轉角沿軸線方向積分，得到dxrOBACDC'D'MxBlA圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算受扭圓軸的相對扭轉角對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，兩端面的相對扭轉角為：MeMe圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算BACDl1l2l3Me1Me2Me3Me4對于各段扭矩不等或截面極慣性矩不等的階梯狀圓軸，軸兩端面的相對扭轉角為：AxMe圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算AlBMemx=Me/l對于承受沿軸線方向均勻分布扭轉力偶的圓軸，兩端面的相對扭轉角為：xOxMx

(x)Me圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算單位長度的相對扭轉角在很多情形下，兩端面的相對扭矩角不能反映圓軸扭轉變形的程度，因而更多采用單位長度扭轉角表示圓軸的扭轉變形，單位長度扭轉角即扭轉角的變化率。單位長度相對扭轉角為：圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算受扭圓軸的剛度設計準則為了機械運動的穩定和工作精度，機械設計中要根據不同要求，對受扭圓軸的變形加以限制，亦即進行剛度設計。扭轉剛度設計是將單位長度上的相對扭轉角限制在允許的范圍內，即必須使構件滿足剛度設計準則或稱剛度條件：

對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，剛度設計準則又可以寫成：

圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算受扭圓軸的剛度設計準則其中，[]

為單位長度上的許用相對扭轉角，其數值根據軸的工作要求而定。例如，精密機械的軸

[]

＝(0.25~0.5)()／m；一般傳動軸[]

＝(0.5~1.0)()／m；剛度要求不高的軸[]

＝2（）／m。

圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算受扭圓軸的剛度設計準則

需要注意的是：剛度設計中要注意單位的一致性。上式不等號左邊的單位為rad/m；而右邊通常所用的單位為()／m。因此，在實際設計中，若不等式兩邊均采用rad／m，則必須在不等式右邊乘以（π／180）；若兩邊均采用()／m，則必須在左邊乘以（180／π）。鋼制空心圓軸的外直徑D＝100mm，內直徑d＝50mm。若要求軸在2m長度內的最大相對扭轉角不超過1.5，材料的剪切彈性模量G＝80.4GPa。圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算例題

5

解：1．確定軸所能承受的最大扭矩根據剛度設計準則，有

1.求該軸所能承受的最大扭矩；

2.確定此時軸橫截面上的最大剪應力。BlAMeMedD圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算例題

5

解：1．確定軸所能承受的最大扭矩根據剛度設計準則，有

由已知條件，許用的單位長度上相對扭轉角為空心圓軸截面的極慣性矩軸所能承受的最大扭矩為圓桿扭轉時的變形及剛度條件

第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算例題

5軸所能承受的最大扭矩為＝9.688×103

N·m＝9.688kN·m

結論與討論返回返回總目錄第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

圓軸強度與剛度設計的一般過程

關于公式的應用條件結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

矩形截面桿扭轉時橫截面上的剪應力圓軸強度與剛度設計的一般過程

結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

根據軸傳遞的功率以及軸每分鐘的轉數，確定作用在軸上的外加力偶的力偶矩。

應用截面法確定軸的橫截面上的扭矩，當軸上同時作用有兩個以上的繞軸線轉動的外加扭力矩時，需要畫出扭矩圖。

根據軸的扭矩圖，確定可能的危險面以及危險面上的扭矩數值。校核、設計軸的直徑以及確定許用載荷。

計算危險截面上的最大剪應力或單位長度上的相對扭轉角。

根據需要，應用強度設計準則與剛度設計準則對圓軸進行強度與剛度校核，設計軸的直徑以及確定許用載荷。結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算需要指出的是，工程結構與機械中有些傳動軸都是通過與之連接的零件或部件承受外力作用的。這時需要首先將作用在零件或部件上的力向軸線簡化，得到軸的受力圖。在這種情形下，圓軸將同時承受扭轉與彎曲，而且彎曲可能是主要的。這一類圓軸的強度設計比較復雜。圓軸強度與剛度設計的一般過程

此外，還有一些圓軸所受的外力(大小或方向)隨著時間的改變而變化。這些問題將在以后的章節中介紹。關于公式的應用條件結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算扭轉剪應力公式是圓軸在彈性范圍內導出的，其適用條件是：

1.必須是圓軸，否則橫截面將不再保持平面，變形協調公式將不再成立。關于公式的應用條件結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算

2.材料必須滿足胡克定律，而且必須在彈性范圍內加載，只有這樣，剪應力和剪應變的正比關系才成立：二者結合才會得到剪應力沿半徑方向線性分布的結論，才會得到反映作用力分布的剪應力公式，即rOMx1.變形特征——翹曲扭轉后，橫截面將不再保持平面。結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算矩形截面桿扭轉時橫截面上的剪應力2.由平衡直接得到的結論角點剪應力等于零；邊緣各點剪應力沿切線方向。結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算矩形截面桿扭轉時橫截面上的剪應力3.剪應力分布與剪應力公式角點剪應力等于零;邊緣各點剪應力沿切線方向;最大剪應力發生在長邊中點。結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算矩形截面桿扭轉時橫截面上的剪應力長邊中點處短邊中點處結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算3.剪應力分布與剪應力公式矩形截面桿扭轉時橫截面上的剪應力h——厚度4.狹長矩形截面結論與討論第5章圓軸扭轉時的強度與剛度計算矩形截面桿扭轉時橫截面上的剪應力由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1＝2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動。G1=2G2d2dOABOAB(B)OAB(A)OAB(D)OAB(C)Mx關于橫截面上的剪應力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結論，請判斷哪一種是正確的？

G2G1開放式思維案例

解：圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動，這表明二者形成一個整體，同時產生扭轉變形。根據平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當于原來的位置轉過一角度。開放式思維案例OABOABOABOAB(B)(A)(D)(C)G1=2G2d2dOABMxG2G1

解：因此，在里、外層交界處二者具有相同的剪應變。由于內層（實心軸）材料的