2．直線與圓的位置關系為了更好地了解鯨的生活習性，某動物保護組織在受傷的鯨身上安裝了電子監測裝置，從海岸放歸點A處(如右圖所示)把它放歸大海，并沿海岸線由西到東不停地對鯨進行了長達40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點，測得數據如下表(設鯨沿海面游動)．然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細觀測．已知AB＝15km，觀測站B的觀測半徑為5km.寫出a，b近似滿足的關系式，并預測：若按此關系式運動，那么鯨經過多長時間可進入觀測站觀測時刻t/min跟蹤觀測點到放歸點的距離x/km鯨位于跟蹤觀測點正北方的距離y/km101202430314040

1．直線與圓的位置關系有相交、相切、相離三種．2．(1)若直線與圓相交?圓心到直線的距離d<圓的半徑r；(2)若直線與圓相切?圓心到直線的距離d＝圓的半徑r；(3)若直線與圓相離?圓心到直線的距離d>圓的半徑r.3．由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，,y＝x＋b，))消去y，可得關于x的一元二次方程2x2＋2bx＋b2－2＝0，方程的根的判別式Δ＝16－4b2．(1)當－2<b<2時，Δ>0，方程組有兩組不同的實數解，因此直線與圓相交；(2)當b＝±2時，Δ＝0，方程組有兩組相同的實數解，因此直線與圓相切；(3)當b<－2或b>2時，Δ<0，方程組沒有實數解，因此直線與圓相離．4．若P(x0，y0)(y0≠0)是圓x2＋y2＝r2上一點，過P(x0，y0)的直線與圓相切，則切線的斜率為－eq\f(x0,y0)，切線方程為x0x＋y0y＝r2．5．過圓(x－a)2＋(y－b)2＝R2外一點P(x0，y0)作圓的切線PT(T為切點)，則切線長PT＝eq\r(（x0－a）2＋（y0－b）2－R2)．一、直線與圓的位置關系①直線與圓相交，有兩個公共點；②直線與圓相切，只有一個公共點；③直線與圓相離，沒有公共點．二、判定直線與圓的位置關系的方法有兩種：代數法和幾何法．方法一：代數法．判斷直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置關系，可將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0))聯立，可得mx2＋nx＋p＝0.然后利用Δ，當Δ＝0時相切，當Δ＞0時相交，當Δ＜0時相離．方法二：幾何法．已知直線Ax＋By＋C＝0和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)).相交?d＜r；相切?d＝r；相離?d＞r.三、圓中的弦長公式直線與圓相交有兩個交點，設弦長為l，弦心距為d，半徑為r，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2.即半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形的三邊，數形結合，利用勾股定理求解．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)知識點一直線與圓的位置關系1．已知直線x＝a(a＞0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是________．解析：由已知|a－1|＝2，∴a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.答案：32．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程是__________________________________________________________．解析：設圓心為C(2，0)，則直線CP的斜率為eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，又切線與直線CP垂直，故切線斜率為eq\f(\r(3),3)，由點斜式得切線方程y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0.答案：x－eq\r(3)y＋2＝03．已知集合A＝{(x，y)|x，y為實數，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數，且y＝x＋1}，則A∩B的元素個數為(C)A．0個B．1個C．2個D．3個解析：集合A表示圓x2＋y2＝1上的點構成的集合，集合B表示直線y＝x＋1上的點構成的集合，可判定直線和圓相交，故A∩B的元素個數為2.知識點二圓的弦長及切線長4．設直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2eq\r(3)，則a＝________．解析：∵AB＝2eq\r(3)，R＝2，∴圓心(1，2)到直線ax－y＋3＝0的距離為eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，即eq\f(|a－2＋3|,\r(a2＋1))＝1，∴a＝0.答案：05．由直線x－y＋1＝0上一點P向圓C：(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為________．解析：圓心C(3，0)到直線x－y＋1＝0的距離d＝2eq\r(2)，故直線上的點P到圓心的距離的最小值為2eq\r(2)，從而切線長的最小值為eq\r(7).答案：eq\r(7)6．過點P(3，－4)的直線l被圓x2＋y2＝25截得的弦長為8，求該直線方程．解析：當直線l不垂直于x軸時，可設直線l的方程為y＋4＝k(x－3)，即kx－y－3k－4＝0.因l被圓所截得的弦長為8，又圓的半徑R＝5，故知圓心到直線l的距離等于3.由點到直線的距離公式，得eq\f(|k×0－0－3k－4|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(7,24).此時，l的方程為y＋4＝－eq\f(7,24)(x－3)，即7x＋24y＋75＝0.又當l垂直于x軸時，這時的直線方程為x＝3，滿足題目要求，故所求的直線l的方程為x＝3或7x＋24y＋75＝0.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點一直線與圓的位置關系的判定7．直線3x－4y＋6＝0與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置關系是________．解析：圓心(2，3)到直線3x－4y＋6＝0的距離為d＝eq\f(|3×2－4×3＋6|,\r(32＋（－4）2))＝0.∴直線過圓心且與圓相交．答案：相交且過圓心8．直線(x＋1)a＋(y＋1)b＝0與圓x2＋y2＝2的位置關系是________．解析：直線方程為ax＋by＋a＋b＝0過定點(－1，－1)，又(－1，－1)在圓x2＋y2＝2上，故直線和圓相切或相交．答案：相切或相交9．若直線ax＋by－1＝0與圓x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)與圓的位置關系是________．解析：由題意得：eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，故點P(a，b)在圓x2＋y2＝1外．答案：在圓外綜合點二求圓的切線和割線10．從點P(4，5)向圓(x－2)2＋y2＝4引切線，求切線方程．解析：若切線的斜率不存在，切線方程為x＝4，滿足條件；若切線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0，又圓心坐標為(2，0)，r＝2，因為圓心到切線的距離等于半徑，即eq\f(|2k－0＋5－4k|,\r(k2＋1))＝2，k＝eq\f(21,20).所以切線方程為21x－20y＋16＝0或x＝4.11．圓x2＋y2＋4y－21＝0的割線l被圓截得的弦長為4eq\r(5)，若l過點M(－3，－3)，求l的方程．解析：將圓寫成標準式方程，得x2＋(y＋2)2＝25，所以圓心為(0，－2)，半徑r＝5.設圓心到直線l的距離為d，則d＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),2)))\s\up12(2))＝eq\r(5).設l的方程為y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0，所以d＝eq\f(|2＋3k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(5).解得k＝－eq\f(1,2)，或k＝2.故所求直線l有兩條，其方程分別為y＋3＝－eq\f(1,2)(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.綜合點三數形結合解決有關的問題12．當b取何值時，直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(1－x2)；(1)有一個公共點；(2)有兩個公共點；(3)沒有公共點．解析：由y＝eq\r(1－x2)得，y2＝1－x2(y≥0)，即x2＋y2＝1(y≥0)．由此可知，曲線y＝eq\r(1－x2)是x2＋y2＝1位于x軸上方的半圓，當直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝1相切時，b＝±eq\r(2)，故知直線與半圓y＝eq\r(1－x2)相切時，b＝eq\r(2).將點(1，0)的坐標代入直線方程y＝x＋b得，0＝1＋b，解得b＝－1；將點(－1，0)的坐標代入直線方程y＝x＋b得，0＝－1＋b，解得b＝1.由下圖可知，(1)當b＝eq\r(2)或－1≤b＜1時，直線與曲線只有一個公共點；(2)當1≤b＜eq\r(2)時，直線與曲線有兩個公共點；(3)當b＜－1或b＞eq\r(2)時，直線與曲線沒有公共點．13．已知圓(x－1)2＋(y＋1)2＝R2，直線4x＋3y＝11，問當圓半徑R取何值時，圓上：(1)有一點到直線的距離等于1；(2)有兩點到直線的距離等于