第三章函數(shù)的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)(二十三)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)一、選擇題1．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是()A．若f(a)·f(b)>0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0答案：C解析：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可判斷，若f(a)·f(b)<0，則一定存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的個(gè)數(shù)不確定，故B，D錯(cuò)誤．若f(a)·f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C正確．2．函數(shù)y＝eq\f(4,x)－x的零點(diǎn)是()A．2 B．－2C．2，－2 D．(2，－2)答案：C3．已知函數(shù)f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值()A．恒為負(fù) B．等于零C．恒為正 D．不小于零答案：A解析：因?yàn)閤0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0.4．函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2，e) D．(3,4)答案：B解析：∵f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(1,2)．5．已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b答案：B解析：由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，故f(x)＝2x＋x的零點(diǎn)a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零點(diǎn)b＝2.∵h(yuǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，故h(x)的零點(diǎn)c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a＜c＜b.6．已知x0是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lnx的一個(gè)零點(diǎn)，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＞0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＜0，f(x2)＞0答案：D解析：令f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lnx＝0，從而有l(wèi)nx＝eq\f(1,x－1)，此方程的解即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象如圖所示．由圖象易知eq\f(1,x1－1)＞lnx1，從而lnx1－eq\f(1,x1－1)＜0，故lnx1＋eq\f(1,1－x1)＜0，即f(x1)＜0.同理f(x2)＞0.7．若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－4,0] B．(－4,0)C．[0,4] D．(0,4)答案：B解析：畫(huà)出函數(shù)y＝|4x－x2|的圖象，再畫(huà)出函數(shù)y＝－a的圖象，要使函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，所以0＜－a＜4，∴－4＜a＜0.二、填空題8．對(duì)于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判斷：①在(－2，－1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根；②在(－1,0)內(nèi)有實(shí)數(shù)根；③在(1,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)根；④在(－∞，＋∞)內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根．其中正確的有________．(填序號(hào))答案：①②③9．根據(jù)下表，能夠判斷f(x)＝g(x)有實(shí)數(shù)解的區(qū)間是________．(填序號(hào))x－10123f(x)－g(x)－①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．答案：②10．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三個(gè)零點(diǎn)之和等于________．答案：0解析：∵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則其和必為0.三、解答題11．求下列函數(shù)的零點(diǎn)．(1)f(x)＝－6x2＋5x＋1；(2)f(x)＝x3＋1；(3)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1).解：(1)∵f(x)＝－6x2＋5x＋1＝－(6x＋1)(x－1)，令－(6x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－eq\f(1,6)或x＝1，∴f(x)＝－6x2＋5x＋1的零點(diǎn)是x＝－eq\f(1,6)和x＝1.(2)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，∴f(x)＝x3＋1的零點(diǎn)是x＝－1.(3)∵f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1)＝eq\f(x＋12,x－1)，令eq\f(x＋12,x－1)＝0，解得x＝－1，∴f(x)＝eq\f(x2＋2x＋1,x－1)的零點(diǎn)是x＝－1.12．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)若a＝0，則f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，易知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．(2)若a≠0，則函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，若其只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程ax2－x－1＝0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．故判別式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq\f(1,4).綜上所述，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,4)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．13．求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：解法一：因?yàn)閒(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2≈＞0，所以由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，知f(x)在(0,2)上必定存在零點(diǎn)．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)．解法二：在同一坐標(biāo)系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的圖象，如圖所示．由圖象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)．尖子生題庫(kù)14．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝－x2＋mx－1.(1)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若方程y＝f(x)有五個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)設(shè)x>0，則－x<0，∴f(－x)＝－x2－mx－1.又f(x)為奇函數(shù)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x2＋mx＋1(x>0)．又f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋mx＋1，x>0，,0，x＝0，,－x2＋mx－1，x<0.))(2)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即方程f(x)＝0有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，得y＝f(x)的圖象與x軸有五個(gè)不同的交點(diǎn)．又f(