第2章數列等比數列2.3.1等比數列的概念2.3.2等比數列的通項公式A級基礎鞏固一、選擇題1．下列說法：①公差為0的等差數列是等比數列；②b2＝ac，則a，b，c成等比數列；③2b＝a＋c，則a，b，c成等差數列；④任意兩項都有等比中項．正確的有()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：公差為0的非零數列是等比數列，故①不正確；②中只有a，b，c都不為0才正確；④也需要看首項是正還是負．所以只有③正確．答案：B2．在等比數列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析：因為a4＝a1q3＝8·q3＝64，所以q3＝8，q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案：C3．等比數列x，3x＋3，6x＋6，…的第四項等于()A．－24B．0C．12D．24解析：由(3x＋3)2＝x(6x＋6)?x＝－3(x＝－1舍去)．該數列為－3，－6，－12，－24，….答案：A4．{an}是等比數列，下面四個命題中真命題的個數為()①{aeq\o\al(2,n)}也是等比數列；②{can}(c≠0)也是等比數列；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等比數列；④{lnan}也是等比數列．A．4個B．3個C．2個D．1個解析：考查等比數列定義，其中①②③為真．答案：B5．已知等差數列{an}的公差為3，若a1，a3，a4成等比數列，則a2等于()A．9B．3C．－3D．－9解析：a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3，a4成等比數列，則aeq\o\al(2,3)＝a1a4，所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.答案：D二、填空題6．等差數列{an}的首項為a1＝1，a1，a2，a5成等比數列，則d＝________．解析：因為a1，a2，a5成等比數列．所以aeq\o\al(2,2)＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)．所以(1＋d)2＝1＋4d.所以d＝0或d＝2.答案：0或27．在6和768之間插入6個數，使它們組成共8項的等比數列，則這個等比數列的第6項是________．解析：由條件得，768＝6×q7，解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案：1928．某林場的樹木每年以25%的增長率增長，則第10年末的樹木總量是今年的________倍．解析：設這個林場今年的樹木總量是m，第n年末的樹木總量為an，則an＋1＝an＋an·25%＝.則eq\f(an＋1,an)＝.則數列{an}是公式q＝的等比數列．則a10＝a1q9＝1.259所以eq\f(a10,a1)＝.答案：三、解答題9．在等比數列{an}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq\f(1,2)，求n；(2)a5＝8，a7＝2，an>0，求an.解：(1)法一：因為a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18,②eq\f(②,①)得q＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,4)a1＋eq\f(1,32)a1＝36，所以a1＝128，而an＝a1qn－1，所以eq\f(1,2)＝128×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)，所以n＝9.法二：因為a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，所以q＝eq\f(a4＋a7,a3＋a6)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，而a3＋a6＝a3(1＋q3)．所以a3＝eq\f(a3＋a6,1＋q3)＝eq\f(36,1＋\f(1,8))＝32.因為an＝a3qn－3，所以eq\f(1,2)＝32·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－3).所以n＝9.(2)因為a5＝a1·q4＝8，a7＝a1·q6＝2，所以q2＝eq\f(1,4)，q＝±eq\f(1,2).又an>0，所以q＝eq\f(1,2).所以an＝a5qn－5＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－5)＝28－n.10．已知{an}是首項為19，公差為－2的等差數列，Sn為{an}的前n項和．(1)求通項公式an及Sn；(2)設{bn－an}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{bn}的通項公式．解：(1)因為{an}是首項為19，公差為－2的等差數列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21，Sn＝19n＋eq\f(n（n－1）,2)·(－2)＝－n2＋20n，即Sn＝－n2＋20n.(2)因為{bn－an}是首項為1，公比為3的等比數列，所以bn－an＝3n－1，即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.B級能力提升一、選擇題11．已知{an}是等比數列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么aA．5B．10C．15D．20解析：a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a4a6＝aeq\o\al(2,5)，故得(a3＋a5)2＝25，又an＞0，所以a3＋a5＝5.答案：A12．設{an}是由正數組成的等比數列，且a5·a6＝81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3A．5B．10C．20D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3答案：C13．在正項等比數列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，則aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝()A．4B．6C．8D．4eq\r(2)解析：因為a3a7＝aeq\o\al(2,5)，a2a6＝a3a5，所以aeq\o\al(3,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝(eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋1)2＝(2eq\r(2))2＝8.答案：C二、填空題14.(2023·安徽卷)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，過點A作BC的垂線，垂足為A1，過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2作A1C的垂線，垂足為A3……依此類推，設BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________．解析：由題意知數列{an}是以首項a1＝2，公比q＝eq\f(\r(2),2)的等比數列，所以a7＝a1·q6＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)15．(2023·廣東卷)若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20解析：因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[a1a20·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11答案：50三、解答題16．已知等比數列{an}各項均為正數，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.求{an解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(2,3)＝9a2a6，,2a1＋3a2＝1))?eq\b\lc\