2021屆福建省福市高三第二期畢業班3月質量檢測（一模）數學試題【含案】注意事項：答前考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓考生要認真核對題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一.第I卷小題選出答案后，用鉛把答題卡上對應題目的答案標號涂如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.II卷0.5毫黑色簽字筆在答題卡上書寫作在試題卷上作答答案無.考結，考生必須將試題卷和答題卡一并交.第I卷一、單項選擇題：本題共8小，每小題5分共40分在每小題給出的四個選項中，只有一是符合題目要求的.已集

A

，

xkkA}，AB

{1,3}

{2,4}

C.

{3,5}

{1,3,5}設數

bi(aZ,b)

，則滿足

|1

的復數z有個

C.4個

個“

”是“

m2m

”的充而不必要條件C.充分必要條件

B.要而不充分條件既充分也不必要條件若物

上一點

t,2)

到其焦點的距離等于，

11m42

C.

m

m已函

f(x)ln

，則函數

1yf(1

)

的圖象大致為ABD

0n0+1nnnnLL,3120n0+1nnnnLL,312在

中為AB邊的中點D為AC邊的點BDCE交點F.若

3AC7的值為B.C.分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學如圖，有一列曲線P，P，，P，.已知P是長為1的等邊三角形，P是進如下操作而到：將P的條邊三等分，以每邊中間部分，下列結論正確的是的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉面積為.對于N

(k0,1,2,

)

.記的周長為L、所圍成的P

0

P

1

P

2

…

P

…

為等差數列

為等比數列C.

，使

，使

已函數

()

2

)

的圖象過點，區間

上為單調函數，把f()

的圖象向右平移π個單位長度后與原來的圖象重合

5,,6

且

x

，若f

C.1

二、多項選擇題：本題共4小，每小題5分共20分在每小題給出的四個選項中，有多項合題目要求.全部選對的得分，部分選對的得3分有選錯的得分“粥一飯，當思來之不易”，道理雖簡單，但每年我國還是有2000多億元的餐桌浪費，被倒掉的食物相當于2億人一年的口為營造“節約光榮，浪費可恥”的氛圍，某市發起了“光盤行動”某機構為調研民眾對“光盤行動”的認可情況某型餐廳中隨機調查了90位店就餐的客人成如右所示的列聯表，通過計算得到K認可

的觀測值為不認可歲以下

1歲以（40歲101已

6.635，10.828

，則下列判斷正確的是在餐廳用餐的客人中大約有66.7%客人認可“光盤行動”在餐廳用餐的客人中大約有的客人認可光盤行動”C.有99%把握認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關在犯誤的概率不超過0.001的提下，認為光盤行動”的認可情況與年齡有關10.如，在下列四個正體中A，B為正方體的兩個頂點NP為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線∥

平面MNP的是ABD11.已知是雙曲線

E:

2y45

在第一象限上一點F分是E的、右焦點

eq\o\ac(△,，)PFF2

的面積為152

則以下結論正確的是點P的坐標為

52

3

PF12

2C.

△F1F1

的內切圓半徑為1平分線所在的直線方程為

xy12.在數學中，雙曲函數是一與三角函數類似的函數.最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數x

eex和雙曲余弦函數x22

等.雙函數在物理及生活中有著某些重要的應用，譬如達芬苦苦思索的懸鏈線（例如固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂項鏈所形成的曲線即為懸鏈線）問題，可以用雙曲余弦型函數來刻則下列結論正確的是

2x

為偶函數，且存在最小值C.

，

x

x

R且xx2

，

sinhx1212第II卷注意事項：用0.5毫黑簽字筆在答題卡上書寫作.試題卷上作答，答案無.三、填空題：本大題共4小，每小題分，共分把答案填在題中的橫線.13.設x，滿約束條件

xxy

則

的取值范圍為

y0,14.

xx

1的展開式中，的數為x

15.在棱錐P側PAC底面垂直，30，.則三棱錐

的外接球的表面積為

16.已圓的程為

(x

2

，點M(2,0)的線與圓C交兩（點Q在四象限）若

QPO

，則點的縱坐標為

四、解答題：本大題共6小，共70分解應寫出文字說明、證過程或演算步.17.（小題滿分10分在①

a

；②

a

，

n

；③

a

2n

ann

，

，

這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解.問題：已知單調數列

n和為S，滿足

（1）求

式（2）求數列

項和

18.（小題滿分12分在

ABC

中，內角A，，C所的邊分別為，b，c，

acosBC

（1）求角大小；（2）設CD是

ABC

的角平分線，求證：

1CACBCD

.

1211119.（小題滿分12分12111如圖，在三棱臺

ABCAC

中，

AAACCC1

，

，

AB

（1）求證：平面

ACCAA11

；（2）若BACAB，二面角

ABB

的正弦值20.（小題滿分12分已知橢圓

:

x22a0)a2b2

的左頂分別為

(，(2,0)

頂分別為，B，邊形

1

的周長為

4

（1）求E的程；（2）設P為上異于A，的動點，直線P與y軸于點，過作

A∥PA2

，交y軸點D試探究在x上是否存在一定點，使得

QC

，若存在，求出點坐；若不存在，說明理.21.（小滿分分）從年1月1日起某商業銀行推出四種存款品括協定存款七通知存款結性存款及大額存單.協定存款年利率為1.68%，有效期一年，服務期客戶帳戶余額須不少于萬，多出的資金可隨時支取天知存款年利率為1.8%期須超過7天取需要提前七天建立通知構性存款存期一，年利率為；額存單，年利率為，起點金額1000萬.（注：月利率為年利率的十二分一）已知某公司現有2020年結余資金1050萬.（1若公司有股東他們將通過投票的方式確定投資一種存款產品個東只能選擇一種產品且不能棄權，求恰有個股東選擇同一種產品的概率；（2）公司決定將萬元作協定存款于2021年1月1日存入該銀行賬戶，規定從份起，每月首日支取萬元作為公司的日常開將余下500萬中的萬元作七天通知存款，準備投資高新項目，剩余(500)

萬元作結構性存款.①求2021年年該公司從協定存款中所得的利息；②假設該公司于2021年月1日七天通知存款全部取金萬用于投資高新項目專業機構評

估，該筆投資到2021年將有的概率獲得

x30000

0.02x2

萬元的收益，有20%概率虧損x萬元，有的概率保本.問為值時，該公司年存款利息和投資高新項目所得的總收益的期望最大，并求最大值.22.（小題滿分12分已知

f(x)

.（1）判斷

f(x

的零點個數，并說明理由；（2）若

f(x)a)

，求實數的值范圍.參考答案及分細則評分說明：本答出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則。對算，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的答有較嚴重的錯誤，就不再給分。解右所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。只整分數。一、單項選擇題：本題共題，每小題分共分4.AD6.C二、多項選擇題：本題共題，每小題分共分AC10.ABD11.BCD12.BCD三、填空題：本大題共4小，每小題分，共分13.

[

14.515.π16.

12四、解答題：本大題共6小，共70分17.（小題滿分10分

【命題意圖】本小題主要考查等比數列、與S的系、數列求和等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力查歸與轉化思函數與方程思想查邏輯推理數學運算等核心素養現礎性、綜合性滿分10分.【解答）①，即

a

（i）當n時S，a1

；當

2

時，

（ii（iii）兩式相減得

a

，所以

列其中公比為，首項為所以

.選②，即

a

，

n所以當2時，n即，n

an所以

k

N*)

為等比數列，其中首項為

a

，公比為，所以

a

(2

.由

a

，

2

，得

，同理可得，

a

(N*)

.綜上，

選③，即

a

，

a

.所以

列設其公比為，則

(1)

解得

2,

或2q3又因為

列所以

，故

aq所以

.

（2）由（）知，

，所以

T

n

2nn

，兩式相減得

n

nT所以18.（小題滿分12

.

分）【命題意圖】本小題主要考查解三角形等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查數與方程思想、數形結合思想；考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，體現基礎性、綜合.分12分【解答】解法一）為C

，由正弦定理得sinAsinBCcosBsinBcosC

，因為

B)sin(

)sinA

，所以

sin(B)Bcos

，所以2sinBC

，因為

(0,

)

，所以B，以C

12又

(0,

)

，所以

C

3（2）因為CD是ABC

的角平分線，且

C

3

，所以

ACD

3

.在

ABC

中，

eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)ACD

eq\o\ac(△,)BCD

，則由面積公式得121sinCDsin233

，即

CACA

.兩邊同時除以

CA

得

1CACBCD

.

sinsinsinsinsinsinsinsinsinsin解法二）為BC

，由余弦定理得

a

a

a2ac2ab

，整理得

ac2b

，即

222

，所以

ab2cosC)

，所以

cosC

12

，又

(0,

)

，所以

C

3

.（2）因為CD是ABC

的角平分線，且

C

3

，所以

ACD

3

.在ABC

中，由正弦定理得CBsinsinA

，CBADDB即sinsinA

.同理在

△CAD

和

△CBD

中，得CD，sin3

，所以

CACD，即，sinBsinsinBsinsinA故

CACDCDCD，即1CACBCA

，

11故

1CACB

.19.（小題滿分12分【命題意圖】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知；考查推理論證能力、運算求解能力與空間想象能力；考查數形結合思想；考查直觀想象、邏輯推理、學運算等核心素養，體現基礎性、綜合.分分【解答）題意，四邊形

ACCA

為等腰梯形，過

，

分別引的線，垂足分別為D，AD

11ACACAA，6022

.在

△ACA

中，

AC

AC

AAcos

12

，所以

2AC

，故

C1

.因為

AB，A，，AA平A111

，所以

平ABBA11

，因為

平面CCA

，所以

平面AA平面ABB

平面（2

AC

ACAC平面CC1

AB平面AA

，結合（）可知AB，，D三直線兩兩垂以為點，分別以

ABACDA

的方向為x，y，

1222111212的正方向，建立空間直角坐標系，圖所示，則各點坐標為1222111212A

，

B

，

C

，

1

133,

.由（）知，

n1

2AC33

3,為面ABBA

的法向1,2,0)

，

1,2

，設

n,z

為平面

BCCB

的法向量，則

,2C21

故

0,3y0,2

取

n

，所以

cosnn12

121

1設二面角

A的小，則1

154

.20.（小題滿分12分【命題意圖】本小題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查推理論證能力、運算求能力；考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想；考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等心素養，體現基礎性、綜合性與創新性.滿分12【解答】解法一）題意，

由橢圓的對稱性可知，四邊形

B121

為菱形，其周長為

4

.所以

b所以E的方程為

x2

y

.

00111000011100（2）設

y0

，則

2

20

0

，直線

A1

的方程為

yyx20

(2)

，故

2y0x20

由

A∥PA知D的程為y12

y0x20

(，故

20x0

假設存在

t

，使得

QC

，則yyQCx20

2

y2x200x20

.解得t

所以當Q的標為時，QC解法二（1）同解法（2點P與重時C點(0,1)而點D即

(0,

假設存在

t使得QC

，則

(，即t

，得

.以下證明當Q為

(

時，

QC設

Py0

，則

2

20

20

，直線A的方程為

yyx20

(

，故

20x20

由

A∥PA12

知的程為

y

y0x20

(，故

20x20

所以

QC

2yx20

2

y2x20x20

.說明：Q只求出

(2,0)

或

(

，不扣21.（小題滿分12分【命題意圖】本小題主要考查古典概型、概率分布列、等差數列、導數等基礎知識；考查數據理能力、推理論證能力、運算求解能力與創新意識；考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整思想、必然與或然思想；考查數學建模、邏輯推理、數學運算等核心素養，體現綜合性、應用性與創新滿分分.【解答恰有3個東同時選擇同一款理財產品的事件為A由題意知股東共有5種擇，而恰好有3個東同時選擇同一款理財產品的可能情況為C所以

P(A

5

445

.（2）①年全年該公司從協定存款中所得的利息：500

12500.00144.692

（萬元）.②由條件，高新項目投資可得收益頻率分布表投資收益

x30000

0.02x2

xP

0.6

0.2所以，高新項目投資所得收益的期望為：x3t)0.135x0.60.20.012x2所以，存款利息和投資高新項目所得的總收益的期望為：

2xxx2xxx()0.00002

0.012x

0.027x(500)0.018

612

x

0.012x

22.69(0500)

.'(x)

令

L'(x，x400，x由

L'(x

，得x400

；由

L'(x

，得

.由條件可知，當x時Lx)

取得最大值為：

L(400)

（萬元所以當x400時該公司2021年存款利息和投資高新項目所得的總收益的望取得最大值萬.22.（小題滿分12分【解答】解法一）題意，

f)x(

，則當