第三章3.2一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列結論：①(sinx)′＝－cosx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)；③(log3x)′＝eq\f(1,3lnx)；④(lnx)′＝eq\f(1,x).其中正確的有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：(sinx)′＝cosx，故①錯誤；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，故②錯誤；(log3x)′＝eq\f(1,xln3)，故③錯誤；(lnx)′＝eq\f(1,x)，故④正確．答案：B2．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，則α的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5解析：∵f′(x)＝(xα)′＝α·xα－1.由題意f′(－1)＝－4，即α·(－1)α－1＝－4.∴α＝4.答案：A3．曲線f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為()\f(π,6) B．eq\f(3π,4)\f(π,4) D．eq\f(π,3)解析：f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切線的傾斜角為eq\f(3π,4).答案：B4．曲線y＝xsinx在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面積為()\f(π2,2) B．π2\f(π4,4) D．2π2解析：切線方程為y＝－x，故圍成的三角形的面積為eq\f(π2,2).答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．函數y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數等于________．解析：y′＝[(x＋1)2(x－1)]′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1∴y′|x＝1＝4.答案：46．曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為________．解析：利用導數的幾何意義先求得切線斜率．∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·eq\f(3,x)＝3lnx＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－3三、解答題(每小題10分，共20分)7．求下列函數的導數．(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝eq\f(ex,sinx)；(4)y＝eq\f(1,x4)；(5)y＝log2x2－log2x.解析：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋eq\f(cosx,x).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,sinx)))′＝eq\f(ex′·sinx－ex·sinx′,sin2x)＝eq\f(ex·sinx－ex·cosx,sin2x)＝eq\f(exsinx－cosx,sin2x).(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(5)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).8．已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx過點(1,5)，其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，求f(x)的解析式．解析：∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由圖象可知f′(1)＝0，f′(2)＝0.∴3a＋2b＋c＝0，①12a＋4b＋c又函數f(x)的圖象過點(1,5)，∴f(1)＝5，即a＋b＋c＝5③由①②③可得a＝2，b＝－9，c＝12.∴函數y＝f(x)的解析式為f(x)＝2x3－9x2＋12x.9．(10分)設函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋bx＋c，其中a>0，曲線y＝f(x)在點P(0，f(0))處的切線方程為y＝1，確定b，c的值．解析：由題意得：f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，由切點P(0，f(0))既在曲線f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋bx＋c上又在切線y＝1上知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c