第2課時對數的運算性質1．掌握對數的運算性質，并能運用運算性質進行對數的有關運算．(重點)2．了解換底公式．3．能用換底公式將一般對數化成自然對數或常用對數解題．(難點)[基礎·初探]教材整理1對數的運算性質閱讀教材P75～P76，完成下列問題．1．符號表示如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.2．文字表述(1)兩正數的積的對數等于這兩個正數的對數的和；(2)兩正數的商的對數等于被除數的對數減去除數的對數；(3)一個正數的n次冪的對數等于n倍的該數的對數．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)積、商的對數可以直接化為對數的和、差．()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．()【解析】根據對數的運算性質(1)只有正數積、商的對數才可以直接化為對數的和、差，(2)錯誤，(3)中－2不能作真數．【答案】(1)×(2)×(3)×2．(1)log225－log2eq\f(25,4)＝________；(2)log28＝________.【解析】(1)log225－log2eq\f(25,4)＝log225×eq\f(4,25)＝log24＝log222＝2log22＝2.(2)log28＝log223＝3log22＝3.【答案】(1)2(2)3教材整理2換底公式閱讀教材P77～P78，完成下列問題．1．換底公式一般地，我們有logaN＝eq\f(logcN,logca)，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，這個公式稱為對數的換底公式．2．與換底公式有關的幾個結論(1)logab·logba＝1(a，b>0且a，b≠1)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.【解析】log75＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).【答案】eq\f(a,b)[小組合作型]對數運算性質的應用計算下列各式的值．(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2logeq\f(1,2)eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.【精彩點撥】根據對數的運算性質，先將式子轉化為只含有一種或幾種真數的形式再進行計算．【自主解答】(1)lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.(2)原式＝log5eq\f(35×50,14)＋2logeq\f(1,2)2eq\f(1,2)＝log553－1＝2.(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.1．對于同底的對數的化簡要用的方法(1)“收”，將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數；(2)“拆”，將積(商)的對數拆成兩對數的和(差)．2．注意對數的性質的應用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N.3．化簡的式子中有多重對數符號時，應自內向外逐層化簡求值．[再練一題]1．計算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(3)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53.【解】(1)法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.化簡：【精彩點撥】將需表示式子中的真數用已知的式子中的真數表示出來．【自主解答】(1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2214＝14.(2)lg24＝lg(3×8)＝lg3＋lg8＝lg3＋3lg2.這類問題一般有兩種處理方法：一種是將式中真數的積、商、方根運用對數的運算法則將它們化為對數的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的對數的和、差、積、商運用對數的運算法則將它們化為真數的積、商、冪、方根，然后化簡求值．要特別注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.[再練一題]2．化簡：(1)logeq\r(2)(45×82)；(2)logeq\f(1,3)27－logeq\f(1,3)9；(3)用lgx，lgy，lgz表示lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).【解】(1)logeq\r(2)(45×82)＝logeq\r(2)(210×26)＝logeq\r(2)216＝16logeq\r(2)2＝16×2＝32.(2)logeq\f(1,3)27－logeq\f(1,3)9＝logeq\f(1,3)eq\f(27,9)＝logeq\f(1,3)3＝－1.(3)lgeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝lgx2＋lgeq\r(y)－lgeq\r(3,z)＝2lgx＋eq\f(1,2)lgy－eq\f(1,3)lgz.換底公式及其應用(1)已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則c的值為________．(2)已知x，y，z為正數，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【精彩點撥】用換底公式統一底數再求解．【自主解答】(1)由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5.又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝eq\r(15).【答案】eq\r(15)(2)①設3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，則x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，解得p＝2log34.②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，而eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2log4k)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2.故eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).1．換底公式即將底數不同的對數轉化成底數相同的對數，從而進行化簡、計算或證明．換底公式應用時，一般換成以10為底的常用對數，或以e為底的自然對數，但也應該結合已知條件來確定．2．換底公式推導出的兩個恒等式：(1)logamNn＝eq\f(n,m)logaN；(2)logab·logba＝1，要注意熟練應用．[再練一題]3．計算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．【解】原式＝(log253＋log2252＋log235)(log52＋log5222＋log5323)＝(3log25＋log25＋eq\f(1,3)log25)·(log52＋log52＋log52)＝eq\f(13,3)·log25·3log52＝13.對數運算在實際問題中的應用2023年我國國民生產總值為a億元，如果年平均增長8%，那么經過多少年，我國國民生產總值是2023年的2倍？(已知lg2≈0，lg3≈1，lg≈4，精確到1年)【精彩點撥】認真分析題意，找出其中各量之間的關系，列出式子，并利用對數運算求解．【自主解答】設經過x年，我國國民生產總值是2023年的2倍．經過1年，總產值為a(1＋8%)，經過2年，總產值為a(1＋8%)2，……經過x年，總產值為a(1＋8%)x.由題意得a(1＋8%)x＝2a，即兩邊取常用對數，得lg＝lg2，則x＝eq\f(lg2,lg≈eq\f0,4)≈9(年)．答：約經過9年，國民生產總值是2023年的2倍．解對數應用題的步驟[再練一題]4．2000年我國國內生產總值(GDP)為89442億元，如果我國的GDP年均增長%左右，按照這個增長速度，在2000年的基礎上，經過多少年后，我國GDP才能實現比2000年翻兩番的目標？(lg2≈0，lg≈6，結果保留整數)．【解】假設經過x年實現GDP比2000年翻兩番的目標，根據題意，得89442×(1＋%)x＝89442×4，即＝4，故x＝4＝eq\f(lg4,lg≈.答：約經過19年以后，我國GDP才能實現比2000年翻兩番的目標．[探究共研型]含對數式的方程的解法探究1對數的運算性質有哪些？【提示】logaMN＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logab＝eq\f(logcb,logca)，logaMn＝nlogaM，logambn＝eq\f(n,m)logab.探究2解對數方程logaM＝logaN，應注意什么？【提示】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M＝N，,M>0，,N>0.))已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))的值．【精彩點撥】根據對數的運算性質得到x，y的關系式，解方程即可．【自主解答】lgx＋lgy＝lg(xy)＝2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2，由題知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＋4＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－4))＝0，故eq\f(x,y)＝1或4.又當x＝y時，x－2y＝－y<0，故舍去，∴eq\f(x,y)＝4.∴logeq\f(1,2)eq\f(x,y)＝logeq\f(1,2)4＝－2.解含對數式的方程應注意兩點：(1)對數的運算性質；(2)對數中底數和真數的范圍限制．[再練一題]【解】原方程等價于3(2log3x)－4log42x2－12＝0，即3log3x2－4log4x－12＝0，∴x2－x－12＝0，∴(x＋3)(x－4)＝0，∴x＝4或－3.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x2>0，))∴x＝4，即原方程的解為x＝4.1．log227·log34＝________；log23·log310·lg8＝________.【解析】log227·log34＝log233·log322＝(3log23)·(2log32)＝6.log23·log310·lg8＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg10,lg3)·eq\f(lg8,lg10)＝eq\f(lg8,lg2)＝log28＝3.【答案】632．已知lg2＝a，lg7＝b，那么log898＝________.【解析】log898＝eq\f(lg98,lg8)＝eq\f(2lg7＋lg2,3lg2)＝eq\f(a＋2b,3a).【答案】eq\f(a＋2b,3a)3．若log5eq\f(1,4)·log4