第二章第1課時基礎鞏固一、選擇題1．(2023·湖南岳陽模擬)已知等差數列{an}的公差d≠0，且a3＝2a1，則eq\f(a1＋a3,a2＋a4)的值為eq\x(導學號54742264)(C)A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[解析]∵等差數列{an}的公差為d≠0，且a3＝2a1，∴a3＝a1＋2d＝2a1，∴a1＝2d，∴an＝2d＋(n－1)d＝(n＋1)∴eq\f(a1＋a3,a2＋a4)＝eq\f(2d＋4d,3d＋5d)＝eq\f(3,4).2．(2023·四川南充期中)已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是eq\x(導學號54742265)(B)A．2 B．3C．6 D．9[解析]由題意得2n＋m＝8,2m＋n＝10.兩式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以m和3．(2023·重慶理，2)在等差數列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝eq\x(導學號54742266)(B)A．－1 B．0C．1 D．6[解析]根據題意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.4．等差數列{an}中，a5＝33，a45＝153，則201是該數列的第()項eq\x(導學號54742267)(B)A．60 B．61C．62 D．63[解析]設公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝21,d＝3)).∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.5．等差數列的首項為eq\f(1,25)，且從第10項開始為比1大的項，則公差d的取值范圍是eq\x(導學號54742268)(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).6．已知數列{an}為等差數列，且a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于eq\x(導學號54742269)(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]設公差為d，則a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12二、填空題7．(2023·甘肅嘉峪關期末)已知△ABC的三邊a，b，c成等差數列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差數列，則△ABC的形狀為等邊三角形.eq\x(導學號54742270)[解析]由a，b，c成等差數列得a＋c＝2b.①由eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數列得eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b).②②2－①得2eq\r(ac)＝2b，即b2＝ac.將①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2③，將b2＝ac代入③得a2＋2ac＋c2＝4ac，即(a－c)2＝0，∴a＝又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，∴a＝b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等邊三角形8．一個直角三角形三邊長a、b、c成等差數列，面積為12，則它的周長為12eq\r(2).eq\x(導學號54742271)[解析]由條件知b一定不是斜邊，設c為斜邊，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,\f(1,2)ab＝12,a2＋b2＝c2))，解得b＝4eq\r(2)，a＝3eq\r(2)，c＝5eq\r(2)，∴a＋b＋c＝12eq\r(2).三、解答題9．成等差數列的四個數之和為26，第二個數和第三個數之積為40，求這四個數.eq\x(導學號54742272)[分析]已知四個數成等差數列，有多種設法，但如果四個數的和已知，常常設為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更簡單．再通過聯立方程組求解．[解析]設四個數分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26①,a－da＋d＝40②))由①，得a＝eq\f(13,2).代入②，得d＝±eq\f(3,2).∴四個數為2,5,8,11或11,8,5,2.[點評]對稱法設未知項(1)若三個數成等差可設為a－d，a，a＋d.(2)若四個數成等差，可設為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.請練習：已知單調遞增的等差數列{an}的前三項之和為21，前三項之積為231，求數列的通項公式．[解析]設等差數列的前三項分別為a－d，a，a＋d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21,aa－da＋d＝231))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21,aa2－d2＝231))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝±4)).∵等差數列{an}是遞增數列，∴d＝4.∴等差數列的首項為3，公差為4.∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.10．已知等差數列{an}中，a15＝33，a61＝217，試判斷153是不是這個數列的項，如果是，是第幾項？eq\x(導學號54742273)[分析]等差數列中只要已知首項和公差就可以寫出數列．由a15＝a1＋14d，a61＝a1＋60d解關于a1和d的方程組；也可以利用等差數列的通項是關于n的一次函數(d≠0)來考慮．[解析]解法一：設首項為a1，公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋15－1d＝33,a1＋61－1d＝217))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23,d＝4))，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所給數列的第45項．解法二：∵{an}不是常數列，∴{an}的通項公式是關于n的一次函數．假設153是該數列的第n項，則(15,33)，(61,217)，(n,153)三點共線．∴eq\f(217－33,61－15)＝eq\f(153－33,n－15)，解得n＝45∈N*.∴153是所給數列的第45項．能力提升一、選擇題11．等差數列前三項為x－1，x＋1,2x＋3，則這個數列的通項公式為eq\x(導學號54742274)(C)A．an＝2n＋1 B．an＝2n－1C．an＝2n－3 D．an＝2n－5[解析]由條件知，2(x＋1)＝(x－1)＋(2x＋3)，∴x＝0，∴此等差數列的首項a1＝1，公差d＝2，∴an＝2n－3.12．若a≠b，兩個等差數列a，x1，x2，b與a，y1，y2，y3，b的公差分別為d1，d2，則eq\f(d1,d2)等于eq\x(導學號54742275)(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[解析]由題意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，∴d1＝eq\f(b－a,3)，d2＝eq\f(b－a,4)，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(b－a,3)·eq\f(4,b－a)＝eq\f(4,3).13．設等差數列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n是eq\x(導學號54742276)(C)A．48 B．49C．50 D．51[解析]a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50.二、填空題14．一個等差數列的前4項分別是a，x，b,2x，則eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).eq\x(導學號54742277)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝3x，))∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).15．《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為eq\f(67,66)升.eq\x(導學號54742278)[解析]設此等差數列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答題16．設{an}是等差數列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋\x(導學號54742279)[解析]設公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝n,a1＋n－1d＝m))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝m＋n－1,d＝－1))，∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.[點評]解答本題經常出現的錯誤是：am＋n＝am＋an＝m＋n.錯因是，在等差數列中，只有當兩項的序號和相等時，其對應項的和才相等，而上述解答中，am＋an是兩項的和，而am＋n只有一項，雖然序號滿足但項數不符．17．(2023·黑龍江哈爾濱期中)已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝f(an－1)，n≥2，n∈N*.eq\x(導學號54742280)(1)證明：{eq\f(1,an)}是等差數列．(2)求a95的值．[解析](1)證明：因為an＝f(an－1)，所以an＝eq\f(2an－1,an－