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1HUST-XD-D-1007-2013有限元分析及應用袁銳01變分法基礎2

變分法基礎

FundamentalsofVariationalCalculus3變分及其特性1.泛函的定義在函數論中，自變量x對應著另一變量y，稱變量y為自變量x的函數y(x)。如果自變函數y(x)對應著另一個函數J[y(x)],則稱J[y(x)]為泛函。也即，泛函是函數的函數。如圖2.1所示，通過兩點A(x1,y1)及B(x2,y2)的曲線長度是函數的函數

于是這一問題的泛函是通過兩點的長度。通過兩點的函數很多，因此泛函值也很多，然而其中最短的只有一個，這就是泛函極值問題。變分原理就是研究泛函極值問題或駐值問題。4【定義】函數y(x)與另一函數Y(x)之差叫做函數y(x)的變分。（定義中的x泛指單元或多元變量）1.函數的變分(Variation)說明：（1）與函數增量y的區(qū)別

變分y反映的是整個函數的改變增量

y反映的是同一函數y(x)因為x取不同值而產生的差異（2）與微分的關系如果y(x)和y=Y(x)-y(x)都可求導，則即：函數變分的導數等于函數導數的變分。換言之，函數求導與求變分這兩種運算的順序是可以變換的。53.泛函的連續(xù)性(continuity)【定義】如果當y(x)產生微量改變，有相應的J[y(x)]的微量改變，則就說J[y(x)]是連續(xù)的。【定義】如果對于任意給定的一個正數，可以找到一個，且就稱泛函J[y(x)]在y(x)=y1(x)有m階連續(xù)，記為Cm。能使…C0C1圖2.262.泛函的變分A.泛函的增量定義可展開為泛函的線性項和非線性項是y(x)的線性泛函自變函數的變分所引起的泛函的增量線性泛函是指滿足下列條件的泛函其中C為常數7當泛函的變分定義為時，有是非線性泛函項，是y(x)的同階或高階的微量是y(x)的最大值因此，泛函的變分是泛函增量的主部，且該主部對于是線性的8

【例題】給出泛函

求變分【解答】9B.泛函的拉格朗日定義設按則泛函的增量可寫成引入將進行泰勒展開10

【例題】給出泛函

求變分【解答】11

【例題】給出泛函

求變分【解答】

【例題】給出泛函

求變分【解答】123.泛函的運算

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