山西省呂梁市林楓中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，若當時，恒成立，則實數的取值范圍是（）A．(－∞,－1)

B．(－∞,1)

C.

D．(0,1)參考答案：B2.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為(

)A.20

B.30

C.40

D.50參考答案：B略3.已知集合，那么（

）A．[2,4)

B．(－1,+∞)

C．[2,+∞)

D．(－1,2]參考答案：A，所以.4.已知、是非零向量且滿足(－2)⊥，(－2)⊥，則與的夾角是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B5.重慶巴蜀中學高三的某位學生的10次數學考試成績的莖葉圖如圖所示，則該生數學成績在內的概率為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A6.已知a＞0，且a≠1，則函數f（x）=ax+（x﹣1）2﹣2a的零點個數為（）A．1 B．2 C．3 D．與a有關參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數判斷．【專題】函數的性質及應用．【分析】令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1時：g（x）=ax﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，從而得出函數有2個交點，即函數f（x）有2個零點．【解答】解：令f（x）=0，得：ax﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=ax﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1時：ax﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1時，畫出函數g（x）和h（x）的草圖，如圖示：，兩個函數有2個交點；0＜a＜1時，畫出函數g（x）和h（x）的草圖，如圖示：，兩個函數有2個交點，故選：B．【點評】本題考查了函數的零點問題，考查轉化思想，考查數形結合思想，是一道基礎題．7.集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：8.關于函數y=sin2x的判斷，正確的是（）A．最小正周期為2π，值域為[﹣1，1]，在區間[﹣，]上是單調減函數B．最小正周期為π，值域為[﹣1，1]，在區間[0，]上是單調減函數C．最小正周期為π，值域為[0，1]，在區間[0，]上是單調增函數D．最小正周期為2π，值域為[0，1]，在區間[﹣，]上是單調增函數參考答案：C【考點】H7：余弦函數的圖象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化簡函數，再利用余弦函數的圖象與性質，即可得出結論．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函數的最小正周期為π，值域為[0，1]，在區間[0，]上是單調增函數，故選C．【點評】本題考查三角函數的化簡，考查余弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．9.如圖，邊長為1的正方形的頂點,分別在軸、軸正半軸上移動，則的最大值是（

）A.

B.

C.

D.4參考答案：A略10.定義：在區域內任取一點，則點滿足的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用幾何概型計算公式，求出試驗包含的全部事件對應的集合以及滿足條件的事件A對應的面積，即可求得。【詳解】試驗包含的全部事件對應的集合是，滿足條件的事件，如圖所示，，，所以，故選A。【點睛】本題主要考查簡單線性規劃中可行域的畫法和幾何概型的概率計算。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線的焦點為F，P是的準線上一點，Q是直線PF與的一個交點．若則直線PF的方程為

。參考答案：或

12.有下列各式：，

……則按此規律可猜想此類不等式的一般形式為：_________________________．參考答案：13.已知函數，若不等式|f（x）|﹣mx+2≥0恒成立，則實數m的取值范圍為．參考答案：[﹣3﹣2，0]【考點】絕對值三角不等式．【分析】將原問題轉化為兩個函數圖象之間的關系的問題，然后數形結合即可求得最終結果．【解答】解：不等式即：mx≤|f（x）|+2恒成立，繪制函數|f（x）|+2的圖象，則正比例函數y=mx恒在函數|f（x）|+2的圖象下方，考查函數：y=x2﹣3x+2經過坐標原點的切線，易求得切線的斜率為，據此可得：實數m的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查了分段函數的應用，數形結合的數學思想等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．14.定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實數a=

．參考答案：考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；點到直線的距離公式．專題：導數的概念及應用．分析：先根據定義求出曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，然后根據曲線C1：y=x2+a的切線與直線y=x平行時，該切點到直線的距離最近建立等式關系，解之即可．解答： 解：圓x2+（y+4）2=2的圓心為（0，﹣4），半徑為，圓心到直線y=x的距離為=2，∴曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離為2﹣=．則曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于，令y′=2x=1解得x=，故切點為（，+a），切線方程為y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由題意可知x﹣y﹣+a=0與直線y=x的距離為，即解得a=或﹣．當a=﹣時直線y=x與曲線C1：y=x2+a相交，故不符合題意，舍去．故答案為：．點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及點到直線的距離的計算，同時考查了分析求解的能力，屬于中檔題．15.．曲線在點處的切線斜率為

▲

.

參考答案：-116.已知是單位圓上（圓心在坐標原點）任一點，將射線繞點逆時針旋轉到交單位圓于點，則的最大值為

．參考答案：【知識點】三角函數的定義；兩角和與差的三角函數.

C1

C5【答案解析】

解析：設則,所以=，所以的最大值為.【思路點撥】利用以原點為圓心的圓上點的坐標，與過此點的半徑所在射線的和x軸的正半軸所成的角的關系，得關于的函數，求此函數的最大值即可.17.將2014-2015學年高一9班參加社會實踐編號分別為：1，2，3，…48的48名學生，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知5號，29號，41號學生在樣本中，則樣本中還有一名學生的編號是

．參考答案：17考點：系統抽樣方法．專題：概率與統計．分析：根據系統抽樣的定義，求出樣本間隔即可．解答： 解：樣本間距為48÷4=12，則另外一個編號為5+12=17，故答案為：17．點評：本題主要考查系統抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)已知函數的定義域是∈R,Z},且,,當時,.(1)求證:是奇函數;(2)求在區間Z)上的解析式;(3)是否存在正整數k,使得當x∈時,不等式有解?證明你的結論.參考答案：解析：(1)由得,所以是周期為2的函數.∴即為,故是奇函數.(2)當x∈時,.所以,當x∈Z)時,.(3)即為,亦即.令是正整數),則在上單調遞增,而,∴在上無解,從而不存在正整數k,使得當x∈時,不等式有解.19.（本小題滿分12分）已知函數是定義在上的奇函數，且.（1）求函數的解析式；（2）證明在上是增函數；（3）解不等式.參考答案：【知識點】奇偶性與單調性的綜合．B3B4

【答案解析】（1）；（2）見解析；（3）。解析：（1）是（-1，1）上的奇函數

（1分）又

（2分）

（4分）（2）證明：任設x1、x2（-1，1），且則

（6分），且

又

即

（7分）在（-1，1）上是增函數

（8分）（3）是奇函數

不等式可化為即

（9分）又在（-1，1）上是增函數∴有解之得，（11分）∴不等式的解集為．（12分）【思路點撥】（1）根據函數的奇偶性和條件，建立方程即可求函數f（x）的解析式；（2）根據函數單調性的定義即可證明在上是增函數；（3）根據函數的奇偶性將不等式進行轉化，利用函數的單調性即可得到結論．20.（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）若數列滿足：對于，都有（常數），則稱數列是公差為的準等差數列．如：若

則是公差為的準等差數列．（1）求上述準等差數列的第項、第項以及前項的和；（2）設數列滿足：，對于，都有．求證：為準等差數列，并求其通項公式；（3）設（2）中的數列的前項和為，若，求的取值范圍．參考答案：解：（1），

（2分）

（4分）（2）

①

②②-①得．

所以，為公差為2的準等差數列．

（2分）當為奇數時，；

（2分）當為偶數時，，

（2分）

（3）解一：在中，有32各奇數項，31各偶數項，所以，

（4分），．

（2分）解二：當為偶數時，，，……將上面各式相加，得．

（4分），．

（2分）21.已知函數()=，g()=+。（1）求函數h()=()-g()的零點個數。并說明理由；（2）設數列{}（）滿足，，證明：存在常熟M,使得對于任意的，都有≤

.參考答案：解析：（I）由知，，而，且，則為的一個零點，且在內有零點，因此至少有兩個零點解法1：，記，則。當時，，因此在上單調遞增，則在內至多只有一個零點。又因為，則在內有零點，所以在內有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，；所以，當時，單調遞減，而，則在內無零點；當時，單調遞增，則在內至多只有一個零點；從而在內至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。解法2：，記，則。當時，，因此在上單調遞增，則在內至多只有一個零點。因此在內也至多只有一個零點，綜上所述，有且只有兩個零點。（II）記的正零點為，即。（1）當時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：①當時，顯然成立；②假設當時，有成立，則當時，由知，，因此，當時，成立。故對任意的，成立。（2）當時，由（1）知，在上單調遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：①當時，顯然成立；②假設當時，有成立，則當時，由知，，因此，當時，成立。故對任意的，成立。綜上所述