山西省臨汾市曲沃縣西常鄉中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復數z滿足(i為虛數單位)，則在復平面上，復數z對應的點在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：A2.“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】“x＞0，y＞0”?“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”?“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要條件．故選：A．3.若，且，則的值為A. B. C. D.參考答案：B4.設全集是實數集，，，則圖中陰影部分表示的集合是A． B． C． D．參考答案：B略5.若復數z滿足，其中i為虛數單位，則共軛復數（

）A．1+i B．1－i C．－1－i D．－1+i參考答案：C6.復數，則其共軛復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】由復數代數形式的乘除運算化簡復數z，求出，再求出在復平面內對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：∵=，∴，則其共軛復數在復平面內對應的點的坐標為：（，﹣），位于第三象限．故選：C．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．7.復數為虛數單位）的共軛復數在復平面上對應的點的坐標是(

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.已知等差數列{an}的公差為d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，則m為(

) A．12 B．8 C．6 D．4參考答案：B考點：等差數列的性質．專題：等差數列與等比數列．分析：根據a3+a6+a10+a13中各項下標的特點，發現有3+13=6+10=16，優先考慮等差數列的性質去解．解答： 解：a3+a6+a10+a13=32即（a3+a13）+（a6+a10）=32，根據等差數列的性質得2a8+2a8=32，a8=8，∴m=8故選：B．點評：本題考查了等差數列的性質．掌握等差數列的有關性質，在計算時能夠減少運算量，凸顯問題的趣味性．9.已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標都不屬于區間（2π，3π），則ω的取值范圍是（）A．[，]∪[，] B．（，]∪[，]C．[，]∪[，] D．（，]∪[，]參考答案：C【考點】三角函數的最值；三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．【分析】由題意可得，=≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．檢驗當ω=時，f（x）=sin（x﹣）滿足條件，故排除B，從而得出結論．【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標都不屬于區間（2π，3π），則=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D．當ω=時，f（x）=sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，可得函數f（x）的圖象的對稱軸為

x=kπ+，k∈Z．當k=1時，對稱軸為x=＜2π，當k=2時，對稱軸為x==3π，滿足條件：任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標都不屬于區間（2π，3π），故排除B，故選：C．【點評】本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性和周期性，屬于中檔題．10.定義一種運算：的值是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將一枚質地均勻的骰子（各面分別標有數字1，2，3，4，5，6的正方體）連續拋擲兩次，記面朝上的數字依次為a和b，則的概率為

．參考答案：基本事件共6×6個，∵，∴（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1、6）、（2，5）、（2，6）共6個，故概率為=．故答案是:．

12.某高中共有學生900人，其中高一年級240人，高二年級260人，為做某項調查，擬采用分層抽樣法抽取容量為45的樣本，則在高三年級抽取的人數是

______．參考答案：20高三的人數為400人，所以高三抽出的人數為人。13.已知數列{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若S9=27，則a2﹣3a4等于

．參考答案：﹣6【考點】等差數列的前n項和．【專題】等差數列與等比數列．【分析】在等差數列{an}中，由S9=27求得a5，利用a4﹣a2=2（a5﹣a4）可求解a2﹣3a4的值．【解答】解：因為數列{an}為等差數列，且Sn為其前n項和，由S9=27，得9a5=27，所以a5=3．又在等差數列{an}中，a4﹣a2=2（a5﹣a4），所以a2﹣3a4=﹣2a5=﹣6．故答案為﹣6．【點評】本題考查了等差數列的前n項和，考查了等差數列的性質，考查了學生的靈活變形能力，是基礎題．14.如圖所示,C是半圓弧x2+y2=1(y≥0)上一點,連接AC并延長至D,使|CD|=|CB|,則當C點在半圓弧上從B點移動至A點時,D點的軌跡是_______的一部分，D點所經過的路程為.參考答案：圓，解：設點（其中D點不與A、B兩點重合），連接BD，設直線BD的傾斜角為，直線AD的傾斜角為。由題意得，。因為|CD|=|CB|,所以，則有，即，即由此化簡得（其中D點不與A、B兩點重合）．又因為D點在A、B點時也符合題意，因此點D的軌跡是以點（0，1）為圓心，為半徑的半圓，點D所經過的路程．15.設是正實數，且，則的最小值是

參考答案：16.已知函數是R上的奇函數，若對于，都有，時，的值為

參考答案：-117.參考答案：10略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．(1)若f(x)在(0,1)上是減函數，求a的最大值；(2)若f(x)的單調遞減區間是(－，1)，求函數y＝f(x)的圖像過點(1,1)的切線與兩坐標軸圍成圖形的面積．參考答案：19.已知數列{an}前n項和為Sn，首項為a1，且成等差數列．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）數列滿足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求證：．參考答案：考點：數列與不等式的綜合；等差數列的性質．專題：綜合題；等差數列與等比數列．分析：（Ⅰ）由題意可得，令n=1可求a1，n≥2時，，，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數列為等比數列，從而可得an；（Ⅱ）表示出bn，進而可得，并拆項，利用裂項相消法可求和，由和可得結論；解答：解：（Ⅰ）∵成等差數列，∴，當n=1時，，解得；當n≥2時，，，兩式相減得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴，所以數列{an}是首項為，公比為2的等比數列，．（Ⅱ）bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）=×=（2n﹣1）（2n+1），，則==．點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查裂項相消法對數列求和，考查等比數列的通項公式，屬中檔題．20.（本小題滿分12分）

英語老師要求學生從星期一到星期四每天學習3個英語單詞；每周五對一周內所學單詞隨機抽取若干個進行檢測（一周所學的單詞每個被抽到的可能性相同）（Ⅰ）英語老師隨機抽了4個單詞進行檢測，求至少有3個是后兩天學習過的單詞的概率；（Ⅱ）某學生對后兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為，對前兩天所學過的單詞每個能默寫對的概率為．若老師從后三天所學單詞中各抽取一個進行檢測，求該學生能默寫對的單詞的個數ξ的分布列和期望．參考答案：（Ⅰ）設英語老師抽到的4個單詞中，至少含有3個后兩天學過的事件為A，則由題意可得

…………………5分

（Ⅱ）由題意可得ξ可取0，1，2，3，則有P(ξ=0)

………6分P(ξ=1)，P(ξ=2)，…………………9分ξ0123P

P(ξ=3)

…………………10分所以ξ的分布列為：

…11分故Eξ=0×+1×+2×+3×=……………12分21.（本小題滿分12分）已知數列{a}的前n項和Sn=—a—()+2

(n為正整數).（1）求數列{a}的通項（2）若=，T=c+c+···+c，求T.參考答案：解：⑴由S=—an—（）+2，得S=—a—()+2，兩式相減，得a=a+().因為S=—a—（）+2，令n=1，得a=.對于a=a+()，兩端同時除以()，得2a=2a+1，即數列{2a}是首項為2·a=1，公差為1的等差數列，故2a=n，所以a=.--------6分⑵由⑴及=，得c=(n+1)()，

所以T=2×+3×（）+4×（）+···+(n+1)()，①

T=2×（）+3×（）+4×（）+···+(n+1)()，②

由①—②，得

T=1+（）+（）+···+()－(n+1)()=1+—

(n+1)()=—.

所以T=3—.----------12分22.（13分）已知函數f（x）=x2+alnx的圖象在點P（1，f（1））處的切線斜率為10（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個數，證明你的結論．參考答案：【考點】：利用導數研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數判斷．【專題】：導數的概念及應用．【分析】：（Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），根據導數的幾何意義和條件求出a的值；（Ⅱ）由條件設g（x）=f（x）﹣2x，化簡后求出函數g（x）的定義域，求出g′（x）后利用基本不等式判斷出g′（x）＞0，再判斷出g（x）的單調性，根據g（1）和g（e）的符號，判斷出函數零點的個數，即可得到方程f（x）=2x根的個數．解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=x2+alnx，則，因為在點P（1，f（1））處的切線斜率為10，所以f′（1）=2+a=10，解得a=8；（Ⅱ）方程f（