例設例已知由參數方程確定二階可導函數（1）求證點x=0是y=f(x)的極大值點；（2)求曲線y=f(x)在點（0，0）處的曲率。一、內容小結

二、實例分析空間解析幾何設1.向量運算一、內容小結

向量模單位向量向量的方向余弦運算性質：加減:數乘:點積:(1)交換律(2)結合律(3)分配律叉積:向量方向:且符合右手規則模:運算性質(2)分配律(3)結合律平行四邊形的面積

向量關系:混合積平行六面體的體積運算性質1）具有輪換對稱2）兩向量積互換，混合積變號定義.一條平面曲線（1）旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:2.空間曲面思考：當曲線C

繞y

軸旋轉時，方程如何？旋轉過程中的特征：如圖將代入將代入得方程axyoz.雙曲線繞y

軸一周

單葉旋轉雙曲面..x0zy.繞x

軸一周

雙葉旋轉雙曲面x0zy.

雙葉旋轉雙曲面.繞x

軸一周y.oxz.

旋轉拋物面拋物線繞z

軸一周得旋轉拋物面環面yxorR繞y軸旋轉所成曲面環面z繞y軸旋轉所成曲面yxo.環面z繞y軸旋轉所成曲面環面方程.生活中見過這個曲面嗎？yxo..例

試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方（2）柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,定義.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)C

叫做準線,l

叫做母線.xzy0母線F(

x,y)=0z

=0準線

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一點都滿足方程；曲面S外的每一點都不滿足方程表示母線平行于z軸的柱面點N滿足方程，故點M滿足方程

一般柱面

F(x,y)=0母線準線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面

一般柱面

F(y,z)=0abzxyo橢圓柱面zxy=0yo

雙曲柱面（3）二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數不全為0)截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo橢球面yzoxa.

單葉雙曲面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面橢圓拋物面.用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法

（馬鞍面）

雙曲拋物面截痕法

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面截痕法.

雙曲拋物面

（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面（1）空間平面一般式點法式截距式3.空間直線與平面的方程為直線的方向向量.（2）空間直線一般式對稱式參數式為直線上一點;面與面的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:（3）線面之間的相互關系直線線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:平面:垂直：平行：夾角公式：面與線間的關系直線:點的距離為到平面

：Ax+B

y+C

z+D

=0d(4)點到面的距離點到直線的距離為（5）點到直線的距離4、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy

面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox

面上的投影曲線方程例求曲線繞z

軸旋轉的曲面與平面的交線在

xoy

平面的投影曲線方程.解：旋轉曲面方程為交線為此曲線向xoy

面的投影柱面方程為此曲線在xoy

面上的投影曲線方程為,它與所給平面的例設(a×b)c=2,則[(a+b)×(b+c)](c+a)=

.及平面（A）平行于π.（B）在π上.（C）垂直于π.（D）與π斜交.例設有直線，則直線L【】例求點到平面的距離

例求過直線且垂直于平面的平面方程.例求平行于平面而與三坐標面所構成的四面體體積為一個單位的平面。設平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡得令代入體積式所求平面方程為例求過點平行于平面，且與直線相交的直線方程