山東省青島市膠南第一中學高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下面有四個命題：（1）集合中最小的數是；（2）若不屬于，則屬于；（3）若則的最小值為；（4）的解可表示為；其中正確命題的個數為（

）A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：A

解析：（1）最小的數應該是，（2）反例：，但（3）當,（4）元素的互異性2.若函數，則等于（

）

A．3

B．3x

C．6x+3

D．6x+1參考答案：B略3.（5分）三個數a=30.5，b=0.53，c=log0.53的大小順序為（） A． c＜b＜a B． c＜a＜b C． b＜c＜a D． a＜b＜c參考答案：A考點： 對數值大小的比較．專題： 函數的性質及應用．分析： 利用指數函數與對數函數的單調性即可得出．解答： ∵a=30.5＞1，0＜b=0.53＜1，c=log0.53＜0，∴a＞b＞c．故選；A．點評： 本題考查了指數函數與對數函數的單調性，屬于基礎題．4.直線l：8x﹣6y﹣3=0被圓O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的長度為，則實數a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣參考答案：B【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】把圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，利用點到直線的距離公式求出弦心距，再利用弦長公式求得a的值．【解答】解：圓O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2+a=1﹣a，∴a＜1，圓心（1，0）、半徑為．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故選：B．5.在等差數列{an}中，，且，Sn為其前n項和，則使的最大正整數n為（

）A.202 B.201 C.200 D.199參考答案：D【分析】根據條件判斷出等差數列中正負項的分界點，然后再結合等差數列的前項和公式和下標和的性質求解即可．【詳解】由條件得，等差數列的公差，∵，且，∴，即．∴，，∴使的最大正整數為．故選D．【點睛】解答類似問題的關鍵是找到數列的項或和的正負值的分界點，其中利用等差數列中項的下標和的性質和前項和的結合是解題的突破口，考查靈活運用知識解決問題和分析能力，屬于中檔題．6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，則直線PB與平面PCD所成角的大小為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】取中點，中點，連接，先證明為所求角，再計算其大小.【詳解】取中點，中點，連接.設易知：平面平面易知：四邊形為平行四邊形平面，即為直線與平面所成角故答案選A【點睛】本題考查了線面夾角，先找出線面夾角是解題的關鍵.7.一個三棱錐的棱長均為2，四個頂點都在同一個球面上,若過該球球心的一個截面如圖,則圖中三角形(三棱錐的截面)的面積是

（

)

參考答案：8.給出下列命題：（1）若，則；

（2）向量不可以比較大??；（3）若，則；（4）其中真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】平行向量與共線向量．【分析】根據向量不能比較大小，故可判斷（1），（2），根據共線和向量的模即可判斷（3），（4）．【解答】解：（1）若，則，故錯誤（2）向量不可以比較大小，故正確，（3）若，則；故正確，（4），故錯誤，其中真命題的個數為2個，故選：B．9.偶函數在上單調遞增，則與的大小關系是

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.三個數大小的順序是

（

）A．

B.C．

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在下列四個正方體中,能得出AB⊥CD的序號是

▲

參考答案：①12.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的k=_________.參考答案：4【分析】模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環條件即可.【詳解】第一次循環，，；第二次循環，，；第三次循環，，；此時.故退出循環，輸出.【點睛】本題考查程序框圖，解題時只要模擬程序運行，觀察其中變量值的變化情況，進行判斷．13.在邊長為1的正三角形紙片ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點，使沿線段DE折疊三角形紙片后，頂點A正好落在邊BC（設為P），在這種情況下，AD的最小值為。

參考答案：

14.函數的單調增區間是

參考答案：略15.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=60°，b=1，△ABC的面積為，則a的值為．參考答案：【考點】HP：正弦定理．【分析】根據三角形的面積公式，求出c，然后利用余弦定理即可得到a的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，△ABC的面積為，∴S△=，即，解得c=4，則由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×=13，即a=，故答案為：16.在空間直角坐標系中，點在平面yOz上的射影為點B，在平面xOz上的射影為點C，則|BC|=

．參考答案：因為點在平面yOz上的射影為點,在平面xOz上的射影為點，所以由兩點間距離公式可得.

17.已知點（1，﹣1，2）關于x軸對稱點為A，則點A的坐標為．參考答案：（1，1，﹣2）【考點】空間中的點的坐標．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間向量及應用．【分析】一個點關于x軸對稱的點的坐標是只有橫標不變，縱標和豎標改變符號．【解答】解：∵點（1，﹣1，2）關于x軸對稱點為A，一個點關于x軸對稱的點的坐標是只有橫標不變，縱標和豎標改變符號，∴點（1，﹣1，2）關于x軸對稱的點的坐標為（1，1，﹣2），∴A（1，1，﹣2）．故答案為：（1，1，﹣2）．【點評】本題考查點的坐標的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對稱性質的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數f（x）=3cosωx+sinωx（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點．B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．（1）求ω的值及f（x）的值域；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數的化簡求值．【分析】（1）化簡函數解析式可得f（x）=2sin，由題意可求BC，由周期公式可求ω，由正弦函數的性質可求值域．（2）由已知及（1）可求sin，結合范圍x0∈，得+∈，可求cos，故f（x0+1）=2sin=2sin利用兩角和的正弦函數公式即可求值．【解答】解：（1）由已知可得f（x））=3cosωx+sinωx=2sin…易得正三角形ABC的高為2，則BC=4，所以函數f（x）的周期為4×2=8，即=8，解得ω=．所以函數f（x）的值域為[﹣，]…（2）因為f（x0）=，由（1）有f（x0）=2sin=，即sin=，由x0∈，得+∈．即cos==，故f（x0+1）=2sin=2sin===．…19.已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，且AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．(1)證明：CM⊥SN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小．參考答案：(1)設PA＝1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖所示，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)．所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．因為·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.(2)＝(－，1,0)，設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．因為|cos〈a，〉|＝＝＝，所以SN與平面CMN所成的角為45°.20.函數的定義域為，且滿足對于定義域內任意的都有等式(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)判斷的奇偶性并證明；(Ⅲ)若，且在上是增函數，解關于的不等式.參考答案：解：(Ⅰ)∵對于定義域內任意的都有等式∴令

(Ⅱ)令

再令

∵函數的定義域關于原點對稱∴為偶函數

(Ⅲ)令再令∵

∴

又∵在上是增函數，且為偶函數∴

∴

略21.已知各項都是正數的數列{an}的前n項和為，，．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列{bn}滿足：，，數列的前n項和求證：．(3)若對任意恒成立，求的取值范圍．參考答案：（1）；（2）證明見解析；（3）．試題分析：（1）由和項求數列通項，注意分類討論：當，得，當時，，得數列遞推關系式，因式分解可得，根據等差數列定義得數列通項公式（2）因為，所以利用疊加法求通項公式：，因此，從而利用裂項相消法求和得，即證得（3）不等式恒成立問題，一般先變量分離，轉化為求對應函數最值問題：由得，而有最大值，所以試題解析：（1）時，是以為首項，為公差的等差數列…4分（2），，即…9分（3）由得，當且僅當時，有最大值，………………14分考點：等差數列定義，疊加法求通項，裂項相消法求和【方法點睛】裂項相消法是指將數列的通項分成兩個式子的代數和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如（其中是各項均不為零的等差數列，c為常數）的數列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和（如本例），還有一類隔一項的裂項求和，如或.22.已知數列{an}中，，，數列{bn}滿足，.（1）求數列{an}的通項公式；（2）證明：；（3）證明：.參考答案：（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）代入可求得；利用可整理得，從而得到，采用累乘法可得，驗證后可得；（2）由可知數列是正項單調遞增數列，利用整理可得結論；（3）當時，結論顯