1234﹣2﹣，，2，，﹣，﹣1234﹣2﹣，，2，，﹣，﹣，﹣22，，，﹣2b一、選擇題〔共小題，每題分，總分值54〕1分〕A．

的值是〔〕B1

D2分〕如果函數y=sin〔〕〔ωx〕的最小正周期是4，那么常數為〔〕AB2C．D．3分〕極坐標方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個圓的圓心距是〔〕AB．CD．4分〕方程的一個解是〔〕A10°BD70°5分〕已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的外表積的比是〔〕A：B5：4C：D：6分〕圖中曲線是冪函數y=xn

在第一象限的圖象．已知n取2四個值，則相應于曲線、c、、的n次為〔〕A．B．C．D．2

﹣2

﹣7分〕假設2＜＜，則〔〕A＜a＜b1B0＜b＜＜＞b＞1

D＞＞8分〕直線

〔t為參數〕的傾斜角是〔〕

2y+1=0[arcsina，+arcsina12121111A20°2y+1=0[arcsina，+arcsina121211119分〕在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有〔〕A個B2個D個10分〕圓心在拋物線y2

，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是〔〕A

2

﹣x﹣B

2

+xC

2

﹣x﹣D

2

﹣x﹣﹣=0=011分〕在〔x

2

+3x+2

的展開式中x系數為〔〕AB240D80012分〕假設＜＜，在[0，π上滿足sinx≥a的x的范圍是〔〕A[0arcsina，πarcsinaCπ﹣，D．π]13〕已知直l和l的夾角平分線為y=x，如l的方程是，那么直l的方程為〔〕AB﹣by+c=0Cbx+ay﹣c=0D﹣14分〕在棱長為的正方體ABCD﹣BCD中，M和N分別AB和BB的中點，那么直線AM與CN成角的余弦值是〔〕A．

B．

C．

D．15分〕已知復數z的模為2，則﹣i|的大值為〔〕AB2C．D16分〕函數y=

的反函數〔〕A奇函數，它B偶函數，它在〔，+∞〕上是減函數在〔0，∞〕上是減函數C奇函數，它D偶函數，它在〔0，+〕上是增函數在〔0，∞〕上是增函數17分〕如果函數fx〕=x

對任意實數t都有f〔〕=f2t么〔〕A〔〕〔1〔1〕〔〔2〔〔〕＜〔〕

12n1311nn3121312120＜f4〕＜f4〕＜f〔1〕＜f〔1〕12n1311nn312131212018分〕長方體的全面積11，十二條棱長度之和，則這個長方體的一條對角線長〕A．B．CD二、填空題〔共5題，每題3分，總分值15分〕19分〕方程

的解是

_________

．20分〕sin15°sin75°值是

_________

．21分〕設含10個元素的集合的全部子集數為S，其中個元素組成的子集數為T，則的值為

_________

．22分〕焦點為F〔﹣，0和〔6，0心率為的雙曲線的方程是_________．23分?東城區模擬已知等差數列{}公差d≠0a成等比數列的值是．_________三、解答題〔共5題，總分值分〕24分〕已知，解方程z﹣3i．25分〕已知，〔α﹣〕=

，sin〔α+〕=

．求sin2α的值．26分〕已知：兩條異面直、b所成的角為，它們的公垂線段AA的長度為d．在直、b上分別取點E、，設AE=m，．求證：EF=

．27分〕設等差數列{}前n項和為S．已知，＞，S＜．〔1〕求公差的取值范圍．〔2〕指出S，，…，中哪一個值最大，并說明理由．28分〕已知橢圓〔a＞b＞0A、B橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點x，明．

1992全國統一高考數學試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共小題，每題分，總分值54〕1分〕A．考點：分析：解答：點評：

的值是〔〕B1對數的運算性質．根據，從而得到答案．解：．故選A．此題考查對數的運算性質．

D2分〕如果函數y=sin〔〕〔ωx〕的最小正周期是4，那么常數為〔〕AB2C．D．考點：

二倍角的正弦．分析：

逆用二倍角正弦公式，得到y=Asin〔ωx+φ〕+b形式，再利用正弦周期公式和周期是求出解答：

的值解：∵y=sin〔ωx〕〔ωx〕sin〔ωx∴T=2π÷2ω=4∴ω=，故選D點評：

二倍角公式是高考中?？嫉降闹R點，特別是余弦角的二倍角公式，對它們正用、逆用、變形用都要熟悉，此題還考的周期的公式求法，記住公式，是解題的關鍵，注意的正負，要加絕對值．3分〕極坐標方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個圓的圓心距是〔〕AB．CD．考點：專題：

簡單曲線的極坐標方程．計算題．分析：

先利用直角坐標與極坐標間的關系用ρcosθ=xy=x2坐標方程為ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐標方程，最后利用直角坐標方程的形式，結合兩點間的距離公式求解即得．解答：

解：由ρ=cosθ，化為直角坐標方程為x

2

+y2

﹣其圓心是A〔，

1234由ρ=sinθ，化為直角坐標方程為1234

2

﹣，其圓心是B〔0，由兩點間的距離公式，得AB=故選D．

，點評：

本小題主要考查圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化及利用圓的幾何性質計算圓心距等基本方法，我們要給予重視．4分〕方程的一個解是〔〕A10°BD70°考點：

兩角和與差的正弦函數．分析：

把原式移項整理逆用兩角和的正弦公式解一個正弦值為零的三角函數方程對應的解寫出解答：

所有的解，選擇一個合適的，因為是選擇題，也可以代入選項驗證．解：∵﹣cos4xsin5x，∴∴sin〔4x+5x〕=0∴sin9x=0，∴9x=kπ，k，∴故選B點評：

抓住公式的結構特征利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征聯想到相應的公式而找到解題的切入點對公式的逆用公式變形式也要熟悉．5分〕已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的外表積的比是〔〕A：B5：4C：D：考點：專題：分析：

旋轉體〔圓柱、圓錐、圓臺計算題．設圓柱的底面半徑，求出圓柱的全面積以及球的外表積，即可推出結果．解答：

解：設圓柱的底面半徑為r，則圓柱的全面積是：2πr2

+2rπ×2r=62球的全面積是：4故選D．

，所以圓柱的全面積與球的外表積的比：：點評：

此題考查旋轉體的外表積，是基礎題．6分〕圖中曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象．已知n2，四個值，則相應于曲線c、c、、的n次為〔〕

﹣2﹣，，2，，﹣，﹣，﹣22，﹣2﹣，，2，，﹣，﹣，﹣22，，，﹣21234bbb222考點：專題：

﹣2冪函數的圖像．閱讀型．

﹣分析：

由題中條件：n取，四個值”，依據冪函數y=xn

的性質，在第一象限內的圖象特征可得．解答：

解：根據冪函數y=xn的性質，在第一象限內的圖象，越大，遞增速度越快，故曲線c的﹣2，曲線的n=

，c的n=，曲線c的，故依次填﹣2，﹣，，2．故選A．點評：

冪函數是重要的基本初等函數模型之一學習冪函數重點是掌握冪函數的圖形特征即圖象語言，熟記冪函數的圖象、性質，把握冪函數的關鍵點1〕和利用直y=x來刻畫其它冪函數在第一象限的凸向．7分〕假設2＜＜，則〔〕A＜a＜b1B0＜b＜＜＞b＞1D＞a＞1考點：專題：分析：解答：

對數函數圖象與性質的綜合應用．計算題．利用對數的換底公式，將題中條件：“log＜log2＜0，轉化成同底數對數進行比較即可．解：∵＜log2＜0，由對數換底公式得：∴∴0＞loga∴根據對數的性質得：∴0＜b＜＜．故選B點評：

此題主要考查對數函數的性質對數函數是許多知識的交匯點是歷年高考的必考內容在高考中主要考查：定義域、值域、圖象、對數方程、對數不等式、對數函數的主要性質〔單調性等〕及這些知識的綜合運用．8分〕直線A20°

B

〔t為參數〕的傾斜角是〔〕C45°D135°考點：專題：分析：

直線的參數方程．計算題．已知直線

〔t為參數再將直線先化為一般方程坐標然后再計算直線l傾斜角．

2y+1=0解答：2y+1=0解：∵直線〔t為參數〕∴x﹣，﹣，∴x+y﹣∴直線傾斜角是135°，故選D．點評：

此題考查參數方程與普通方程的區別和聯系兩者要會互相轉化根據實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題．9分〕在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有〔〕A個B2個D個考點：專題：分析：解答：

棱錐的結構特征．作圖題．借助長方體的一個頂點畫出圖形，不難解答此題．解：如圖底面是矩形，一條側棱垂直底面，那么它的四個側面都是直角三角形．故選D．點評：

此題考查棱錐的結構特征，考查空間想象能力，要求學生心中有圖，是基礎題．10分〕圓心在拋物線y2

，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是〔〕A

2

﹣x﹣B

2

+xC

2

﹣x﹣D

2

﹣x﹣﹣=0=0考點：

圓的一般方程．分析：

所求圓圓心在拋物線y2=2x上x軸和該拋物線的準線都相切難由拋物線的定義知道，圓心、半徑可得結果．解答：

解：圓心在拋物線y2

上，且x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程，以及拋物線點評：

的定義可知，所求圓的圓心的橫坐標，即圓心〔，徑是1，所以排除A、B、．故選D．此題考查圓的方程，拋物線的定義，考查數形結合、轉化的數學思想，是中檔題．11分〕在〔x

2

+3x+2

的展開式中x系數為〔〕AB240D800考點：

二項式定理的應用．

[arcsina，+arcsina121212121[arcsina，+arcsina121212121221111

計算題．分析：

利用分步乘法原理展開式中的項是由個多項式各出一個乘起來的積展開式中x的系數是5多項式僅一個多項式出3x，其它4都出2成．解答：

解+3x+2展開式的含x項是由5個多項在按多項式乘法展開時僅一個多項式出3x，其它4都出2∴展開式中x的系數C故選項為B

15

?3?24

點評：

此題考查二項式定理的推導依據：分步乘法計數原理，也是求展開式有關問題的方法．12分〕假設＜＜，在[0，π上滿足sinx≥a的x的范圍是〔〕A[0arcsina，πarcsinaCπ﹣，D．π]考點：分析：解答：

正弦函數的圖象；反三角函數的運用．在同一坐標系中畫出、，根據sinx≥a即可得到答案．解：由題可知，如圖示，當sinx≥a時，arcsina≤xπ﹣故選B點評：

此題主要考查三角函數的圖象問題．三角函數的圖象和性質是高考熱點問題，要給予重視．13〕已知直l和l的夾角平分線為y=x，如l的方程是，那么直l的方程為〔〕AB﹣by+c=0Cbx+ay﹣c=0D﹣考點：專題：分析：解答：

與直線關于點、直線對稱的直線方程．計算題．因為由題意知，直線l和l關于直線y=x對稱，故把l的方程中的x和y交換位置即得直線l的方程．解：因為夾角平分線為y=x，所以直線l和l關于直線y=x對稱，故l的方程為bx+ay+c=0．故選A．點評：

此題考查求對稱直線的方程的方法兩直線關于直線y=x對稱時其中一個方程中的x和y交換位置，即得另一條直線的方程．14分〕在棱長為的正方體ABCD﹣BCD中，M和N分別AB和BB的中點，那么直線AM與CN成角的余弦值是〔〕

111111A．111111

B．

C．

D．考點：專題：

異面直線及其所成的角．計算題．分析：

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：

解：如圖，將AM平移到BE，平移到B，則∠EBF為直線AM與所成角設邊長為2，則BE=B，EF=，∴∠EB，故選D．點評：

此題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應用，屬于基礎題．15分〕已知復數z的模為2，則﹣i|的大值為〔〕AB2C．D考點：分析：解答：點評：

復數的代數表示法及其幾何意義．根據復數的幾何意義，知對應的軌跡是圓心在原點半徑為2的圓，﹣i|表示的是圓上一點到點〔0，1〕的距離，其最大值為圓上點〔，﹣〕到點〔0，1〕的距離．解：∵，則復數z應的軌跡是以圓心在原點，半徑為2圓，而z﹣表示的是圓上一點到點〔，〕的距離，∴其最大值為圓上點〔0，﹣2〕到點〔0，1〕的距離，最大的距離為3．故選D．此題考查了復數及復數模的幾何意義，數形結合可簡化解答．16分〕函數y=

的反函數〔〕A奇函數，它B偶函數，它在〔，+∞〕上是減函數在〔0，∞〕上是減函數C奇函數，它D偶函數，它在〔0，+〕上是增函數在〔0，∞〕上是增函數考點：專題：

反函數；函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷．計算題；綜合題．分析：

先求函數的反函數，注意函數的定義域，然后判定反函數的奇偶性，單調性，即可得到選項．解答：

解：設x=t〔＞

則﹣，t2﹣，解方程得t=y+

負跟已舍去，x=y+

，對換X，Y同取對數得函數

的反函數：點評：

〔x〕由于〔﹣x〕==﹣g〔以它是奇函數，并且它在〔0，∞〕上是增函數．故選C．此題考查反函數的求法，函數的奇偶性，單調性的判定，是基礎題．17分〕如果函數fx〕=x

對任意實數t都有f〔〕=f2t么〔〕A〔〕〔1〔1〕〔〔2〔〔〕＜〔〕＜f4〕＜f4〕＜f〔1〕＜f〔1〕考點：專題：分析：解答：

二次函數的圖象；二次函數的性質．壓軸題；數形結合．先從條件“對任意實數t有f〔〕=f〔﹣〕”得到對稱軸，然后結合圖象判定函數值的大小關系即可．解：∵對任意實數都有f〔2+t〕〔﹣t〕∴fx〕的對稱軸，而fx〕是開口向上的二次函數故可畫圖觀察可得f2〕＜f1〕＜f〔4故選A．點評：

此題考查了二次函數的圖象通過圖象比較函數值的大小數形結合有助于我們的解題形象直觀．18分〕長方體的全面積11，十二條棱長度之和，則這個長方體的一條對角線長〕A．B．CD考點：專題：分析：

棱柱的結構特征．計算題；壓軸題．設出長方體的長、寬、高，表示出長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，然后整理

解答：

可得對角線的長度．解：設長方體的長、寬、高分別為，，c，由題意可知，4〔〕=24…①，2ab+2bc+2ac=11②，由①的平方減去②可得2

2

+c2

，點評：

這個長方體的一條對角線長為：5，故選C．此題考查長方體的有關知識，是基礎題．二、填空題〔共5題，每題3分，總分值15分〕19分〕方程

的解是

x=﹣1

．考點：分析：解答：

有理數指數冪的化簡求值．將方程兩邊乘以x，令t=3，然后移項、合并同類項，從而解出x．解：∵，∴1+3=3

x點評：

令t=3x，則1+=3+3t解得t=，∴x=﹣1，故答案為：x=﹣1．此題考查有理數指數冪的化簡，利用換元法求解方程的根，是一道不錯的題．20分〕sin15°sin75°值是

．考點：專題：分析：解答：

兩角和與差的正弦函數；兩角和與差的余弦函數．計算題．注意角之間的關系，先將原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解：∵=sin15°cos15°．∴的值．故填：．點評：

此題主要考查三角函數中二倍角公式求三角函數的值通常借助于三角恒等變換有時須逆向使用二倍角公式．

1212n13139121分〕設含10個元素的集合的全部子集數為S，其中個元素組成的子集數為T，則的值1212n131391為

．考點：專題：

子集與真子集．計算題；壓軸題．分析：

先根據子集的定義求集合的子集及其個數子集即是指屬于集合的部分或所有元素組成的集解答：

合，包括空集．解：∵含有10元素的集合的全部子集數為10，又∵其中由3元素組成的子集數為∴則的值為．

10

3

．故填：．點評：

此題考查集合的子集個數問題，對于集合M的子集問題一般來說假設M有n元素，則集合M的子集共有個．22分〕焦點為F〔﹣，0和〔6，0心率為的雙曲線的方程是．考點：專題：分析：解答：

雙曲線的標準方程；雙曲線的簡單性質．計算題；壓軸題．先由已知條件求出，，c的值，然后根據函數的平移求出雙曲線的方程．解：∵雙曲線的焦點為F〔﹣2，0〕和F〔6，0心率為2，∴2c=6〔﹣2〕=8，，

，

2

=16﹣4=12，∴雙曲線的方程是

．故答案為：

．點評：

此題考查雙曲線方程的求法，解題時要注意函數的平移變換，合理地選取公式．23分?東城區模擬已知等差數列{}公差d≠0a成等比數列的值是．考點：專題：分析：

等差數列的性質．壓軸題．由a，，a成等比數列求得a與的關系，再代入

即可．

13911111139111112

解：∵a，，a成等比數列，∴〔a+2d〕2=a?〔a+8d∴a=d，∴故答案是：

．

，點評：

此題主要考查等差數列的通項公式及等比數列的性質．三、解答題〔共5題，總分值分〕24分〕已知∈C，解方程﹣3i．考點：專題：分析：解答：

復數代數形式的混合運算．計算題．設出復數z將和它的共軛復數代入復數方程，利用復數相等，求出復數z可．解：設〔xyR將z=x+yi代入原方程，得〔xyi〕﹣3ix﹣〕整理得x

2

﹣3y﹣點評：

根據復數相等的定義，得由①得x=﹣1．將x=﹣1代入②式解得y=0，．∴z﹣1，=﹣1+3i．本小題考查復數相等的條件及解方程的知識，考查計算能力，是基礎題．25分〕已知

，〔α﹣〕=

，sin〔α+〕=

．求sin2α的值．考點：專題：分析：解答：

兩角和與差的余弦函數；兩角和與差的正弦函數；二倍角的正弦．計算題．此題主要知識是角的變換，要求的角α變化為〔α+〕〔α﹣用兩個角的范圍，得到要用的角的范圍，用兩角和的正弦公式，代入數據，得到結果．解：由題設知α﹣β為第一象限的角，∴sin〔α﹣〕=由題設知α+β為第三象限的角，∴〔α+β〕=∴sin2α=sin[〔﹣β〕+〔〕]，=sinα﹣〕〔α+β〕〔α﹣〕α+β〕．

．

，點評：

本小題主要考查三角函數和角公式等基礎知識及運算能力．已知一個角的某一個三角函數值，便可運用基本關系式求出其它三角函數值．角的變換是解題的關鍵．

11111111nn31213121212133121311226分〕已知：兩條異面直、b所成的角為，它們的公垂線段AA的長度為d．在直11111111nn312131212121331213112上分別取點E、，設AE=m，．求證：EF=

．考點：專題：分析：解答：

空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面垂直的判定．證明題．由題意作輔助面作出兩條異面直線所成的角再由垂直關系通過作輔助線把在直角三角形中求解．解：設經過ba平的平面為α，經過和AA的平面為β，α∩，則∥．因而b，所成的角等于，且AA⊥c．∵AA⊥b∴AA⊥α．根據兩個平面垂直的判定定理，⊥α．在平面β內作EG⊥c，垂足為，則EG=AA．根據兩個平面垂直的性質定理，⊥α．連接，則EG⊥．在RtEFG中，EF2=EG+FG．∵AG=m，∴在AFG中，FG22﹣2mncosθ．∵EG

=d2

，∴EF

=d2

+m2

2

﹣2mncosθ．如果點F〔或E〕在點A〔或A〕的另一側，則EF=d+m+n2+2mncos．因此，

．點評：

此題利用條件作出輔助面和輔助線結合線面面面垂直的定理在直角三角形中求公垂線的長；考查空間圖形的線面關系，空間想象能力和邏輯思維能力．27分〕設等差數列{}前n項和為S．已知，＞，S＜．〔1〕求公差的取值范圍．〔2〕指出S，，…，中哪一個值最大，并說明理由．考點：專題：

等差數列的前n項和；數列的函數特性．計算題；壓軸題．分析：〔1由＞，S＜0利用等差數列的前n和的公式化簡分別得到①和②，然后利用等差數列的通項公式化簡a得