山東省青島市經濟技術開發區致遠中學(高中部)高二數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線x－=1的漸近線方程和離心率為

（

）

A.y=2x.

e=.

B.y=x,

e=.

C.y=x,

e=

D.y=2x,

e=參考答案：D略2.直線2x＋1＝0的傾斜角為()A．不存在

B.

C.

D.參考答案：C略3.定義在上的偶函數滿足，且當時，，若函數有個零點，則實數的取值范圍為（

）．

A． B．C． D．參考答案：A∵函數可得圖象關于直線對稱，且函數為偶函數則其周期，又∵，當時，有，則函數在為減函數，其函數圖象如圖所示，當，，當時，符合要求，由函數的對稱性，當時，符合要求，綜上．故選．4.已知關于的不等式的解集為，則實數的值分別為(

)

參考答案：B5.已知函數f（x）=x﹣2sinx，則的大小關系為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數值的大小即可．【解答】解：f（x）=x﹣2sinx，f′（x）=1﹣2cosx，令f′（x）＞0，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ﹣，令f′（x）＜0，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，故f（x）在（﹣，）遞減，而﹣＜﹣1＜﹣＜3log1.2＜，故f（﹣1）＞f（﹣）＞f（log31.2），故選：D．6.是成立的

A.不充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件

D.充要條件參考答案：C略7.已知為虛數單位，復數的虛部是（

）．A． B． C． D．參考答案：A，則其虛部為，故選．8.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）種

A

480

B

720

C

960

D

1440參考答案：A略9.已知f（n）=1+++…+（n∈N*），計算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：當n≥2時，有（）A．f（2n）＞（n∈N*） B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*） D．f（2n）＞（n∈N*）參考答案：D【考點】歸納推理．【專題】推理和證明．【分析】根據已知中的等式f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，我們分析等式左邊數的變化規律及等式兩邊數的關系，歸納推斷后，即可得到答案．【解答】解：觀察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，歸納可得：f（2n）＞，n∈N*）故選：D．【點評】本題主要考查了歸納推理的問題，其一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．10.已知函數f(x)對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4,則f(-1)=

（

）

A．

-2

B．

1

C．

0.5

D．

2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義在R上的奇函數f（x），對于?x∈R，都有，且滿足f（4）＞﹣2，，則實數m的取值范圍是．參考答案：{m|m＜﹣1或0＜m＜3}【考點】函數奇偶性的性質．【分析】根據，然后用代換x便可得到，再用代換x便可得出f（x+3）=f（x），從而便得到f（x）是以3為周期的周期函數，這樣即可得到f（1）＞﹣2，，從而解不等式便可得出實數m的取值范圍．【解答】解：∵；用代換x得：；用代換x得：；即f（x）=f（x+3）；∴函數f（x）是以3為周期的周期函數；∴f（4）=f（1）＞﹣2，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）＜2；∴；解得m＜﹣1，或0＜m＜3；∴實數m的取值范圍為{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．故答案為：{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．12.若實數滿足，則的最小值為

參考答案：略13.已知圓C：x2+y2﹣2x﹣5y+4=0，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為

．參考答案：y2﹣=1【考點】雙曲線的標準方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由題意求得雙曲線的頂點、焦點的坐標，可得b的值，再根據雙曲線的標準方程的特征求出雙曲線的標準方程．【解答】解：根據圓C：x2+y2﹣2x﹣5y+4=0，可得它與坐標軸的交點分別為A（0，1），B（0，4），故要求的雙曲線的頂點為A（0，1），焦點為B（0，4），故a=1，c=4且焦點在y軸上，∴b==，故要求的雙曲線的標準方程為y2﹣=1，故答案為：y2﹣=1．【點評】本題主要考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．14.．已知，，根據以上等式，可猜想出的一般結論是

.參考答案：，．略15.設p：|4x﹣3|≤1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是．參考答案：0≤a≤考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：計算題．分析：分別求出關于p，q的解集，根據p?q，得到不等式組，解出即可．解答：解：∵p：{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}，若p是q的充分不必要條件，則p?q，∴，解得：0≤a≤，故答案為：0≤a≤．點評：本題考查了充分必要條件，考查了集合之間的關系，是一道基礎題．16.設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，若A為線段F1F2的一個三等分點，則該雙曲線離心率的值為

▲

．參考答案：3由題可知：故雙曲線離心率的值為3.

17.若拋物線y2=4x上一點M到焦點F的距離為5，則點M的橫坐標為

．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求出拋物線的準線方程，利用拋物線的定義，求解即可．【解答】解：拋物線y2=4x的準線方程為x=﹣1，∵拋物線y2=4x上點到焦點的距離等于5，∴根據拋物線點到焦點的距離等于點到準線的距離，∴可得所求點的橫坐標為4．故答案為：4【點評】本題給出拋物線上一點到焦點的距離，要求該點的橫坐標，著重考查了拋物線的標準方程與簡單性質，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

如圖所示，在矩形中，，點是的中點，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角。（1）證明：（2）求二面角的余弦值。參考答案：（Ⅰ），是的中點，，是等腰直角三角形，易知,，即.又平面平面，面∩面面，又面,；…………………分（2）法一：設是線段的中點，過作垂足為，連接，，則 平面平面,平面, 是在平面上的射影，由三垂線定理得： 是二面角的平面角. 在中，，,二面角的余弦值為.………………分 法二：分別以，所在的直線為軸、軸，過垂直于平面的射線為軸，建立如圖空間直角坐標系.則，，, 設平面的法向量為；平面的法向量為

二面角的余弦值為.………分19.哈三中學生食堂出售甲、乙兩種食品，甲每份售價0.55元、乙每份售價0.40元，經檢測，食品中含有三種學生所需的營養物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分別為10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分別為2、3、9毫克，而營養師認為學生每餐至少需此三種營養物A、B、C分別為20、18、36毫克.問一學生進餐應對甲、乙食品各買幾份，能保證足夠的營養要求，又花錢最少？參考答案：當時，最小值為2.55元20.已知函數．當時，函數取得極值．（1）求函數的解析式；（2）若函數有3個解，求實數k的取值范圍．參考答案：解：(1),-----------------------------------------2分

所以,.即,由此可解得,， 所以函數的解析式為-------------------6分

(2)，=0,解得,-------------------------------------------8分

所以在處取得極大值,在處取得極小值，----12分

要滿足函數有3個解，須有

.

--------------14分

略21.為了解甲、乙兩廠產品的質量，從兩廠生產的產品中分別隨機抽取各10件樣品，測量產品中某種元素的含量（單位：毫克），如圖是測量數據的莖葉圖：規定：當產品中的此種元素含量不小于16毫克時，該產品為優等品.（1）從乙廠抽出的上述10件樣品中，隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優等品數的分布列及其數學期望；（2）從甲廠的10年樣品中有放回地逐個隨機抽取3件，也從乙廠的10件樣品中有放回地逐個隨機抽取3件，求抽到的優等品數甲廠恰比乙廠所2件的概率.參考答案：（1），分布列見解析（2）試題分析：（1）的所有可能取值為，由古典概型分別求概率，得到的分布列，再求期望即可；（2）抽取的優等品數甲廠比乙廠多兩件包括兩個基本事件：“抽取的優等品數甲廠件，乙廠件”，“抽取的優等品數甲廠件，乙廠件”,分別計算出它們的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的優等品數甲廠恰比乙廠多件的概率即可。（1）由題意知，的值為0,1,2,3，，，，，∴的分布列為0123．（2）甲廠抽取的樣本中優等品有6件，優等品率為，乙廠抽取的樣本中有5件，優等品率為，抽取的優等品數甲廠恰比乙廠多2件包括2個事件，即“抽取的優等品數甲廠2件，乙廠0件”，“抽取的優等品數甲廠3件，乙廠1件”，，，∴抽到的優等品數甲廠恰比乙廠多2件的概率：．點睛：離散型隨機變量均值與方差的求解方法數學期望與方差、標準差都是離散型隨機變量中重要的數字特征，數學期望反映了隨機變量取值的平均水平，方差、標準差都反映了隨機變量取值的穩定程度、集中與離散的程度．求解離散型隨機變量的分布列、期望與方差時，首先要分清事件的構成與性質，確定離散型隨機變量的取值，然后根據概率類型選擇公式，求解變量取某一個值的概率，列出分布列，最后根據期望與方差的定義或計算公式求解．22.為了了解某年級1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.參考答案：解：（1）百米成績在[16,17)內的頻率為0.321=0.32.0.321000=320∴估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數為320人。

……2分（2）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x，19x依題意，得3x+8x+19x+0.321+0.081=1，∴x=0.02

……4分設調查中隨機抽取了n個學生的百米成績，則

∴n=50∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績.

……6分（3）百米成績在第一組的學生數有30.02150=3，記他們的成績為a，b，c百米成績在第五組的學生數有0.08150=4，記他們的成績為m，n，p，q則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本