山東省青島市經濟技術開發區育才初級中學2023年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三個數構成一個等比數列，則圓錐曲線的離心率為（

）A．

B.

C.

或

D.

或參考答案：C略2.已知集合，，則中所含元素的個數為(

)

A．2 B．3 C．4 D．6參考答案：B略3.函數的圖象大致是參考答案：D函數為奇函數，圖象關于原點對稱，排除A,B。當時，，排除C，選D.4.設是兩條不同直線，α是一個平面，則下列四個命題正確的是（

）

A．若

B．若

C．若

D．若

參考答案：D略5.已知A，B為拋物線y2=2x上兩點，且A與B的縱坐標之和為4，則直線AB的斜率為（）A．

B．

C.－2

D．2參考答案：A6.已知數列滿足，，則數列的前40項的和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由已知條件得到，，，左右兩側累加得到正好是數列的前40項的和，消去一些項，計算得到。故答案為D。

7.若，則等于

A．

B．-l

C.

D．參考答案：A略8.下列各組函數是同一函數的是

(

）①與；②與；③與；④與。A．①②

B．①③

C．②④

D．①④參考答案：C9.平面上O,A,B三點不共線，設，則的面積等于（）A.

B.C.

D.參考答案：C略10.已知，為兩個平面向量，若||=||，與的夾角為，則與的夾角為（）A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據向量減法的三角形法則作出三角形，根據正弦定理求出B，則與的夾角為π﹣B．【解答】解：設，，則．∵與的夾角為，∴A=．在△AOB中，由正弦定理得，∴，解得sinB=．∴B=或．∴與的夾角為π﹣B=或．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的值為__參考答案：7略12.二項式的展開式中的常數項是________________參考答案：答案：49513.已知實數，滿足約束條件，若目標函數僅在點取得最小值，則的取值范圍是

．參考答案：不等式組表示的平面區域的角點坐標分別為,∴，，．∴，解得．14.已知，向量在向量上的投影為，則

．參考答案：120°

15.已知點在直線上，點在直線上，中點為，且的取值范圍為

.參考答案：略16.(2013·山東)函數的定義域為________．參考答案：17.用表示自然數的所有因數中最大的那個奇數，例如:9的因數有1,3,9,，10的因數有1,2,5,10,,那么=

.參考答案：

【知識點】等比數列及等比數列前n項和解析：根據g（n）的定義易知當n為偶數時，g（n）=g（n），且若n為奇數則g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）則f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1﹣1）=1+3+…+（2n+1﹣1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1﹣2）=+g（1）+g（2）+…+g（2n+1﹣2）=4n+f（n）即f（n+1）﹣f（n）=4n分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）=4+42+…+4n=（4n﹣1）又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）=（4n﹣1﹣1）+1令n=2015得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22015﹣1）=．故答案為：【思路點撥】本題解決問題的關鍵是利用累加法和信息題型的應用，即利用出題的意圖求數列的和．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，H為線段PC上一點．（1）證明：平面BHD⊥平面PAC；（2）若OH⊥PC，PC與底面ABCD所成的角為45°，求三棱錐H﹣BCD的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出AC⊥BD，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面BHD⊥平面PAC．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐H﹣BCD的體積．【解答】證明：（1）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，∴AC⊥BD，PA⊥BD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD?平面BHD，∴平面BHD⊥平面PAC．解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，∵PC與底面ABCD所成的角為45°，∴PA=AC==2，∴O（1，1，0），P（0，0，2），C（2，2，0），設H（a，b，c），，0≤γ≤1，則（a，b，c﹣2）=（2λ，2λ，﹣2），∴a=2λ，b=2λ，c=2，∴H（2），=（2λ﹣1，2λ﹣1，2），=（2，2，﹣2），∵OH⊥PC，∴=2（2λ﹣1）+2（2λ﹣1）﹣2（2）=0，解得，∴H到平面BCD的距離d=2=，∴三棱錐H﹣BCD的體積V===．【點評】本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數形結合思想，是中檔題．19.（本小題滿分12分）的三個內角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求角.參考答案：(1)；（2）（2）設，則，于是.即.由余弦定理得.所以.考點：正弦定理；余弦定理；同角三角函數基本關系20.（本小題滿分12分）已知數列的前項和和通項滿足,數列中，,.（Ⅰ）求數列,的通項公式；（Ⅱ）數列滿足，求證：.參考答案：（Ⅰ）由，得當時，即（由題意可知）是公比為的等比數列，而，由，得（2），設，則

由錯位相減，化簡得：21.已知某校有歌唱和舞蹈兩個興趣小組，其中歌唱組有4名男生，1名女生，舞蹈組有2名男生，2名女生，學校計劃從兩興趣小組中各選2名同學參加演出.（1）求選出的4名同學中至多有2名女生的選派方法數；（2）記為選出的4名同學中女生的人數，求的分布列和數學期望.參考答案：（1）由題意知，所有的選派方法共有種，其中有3名女生的選派方法共有種，所以選出的4名同學中至多有2名女生的選派方法數為60-4=56種.

…………3分（2）的可能取值為.

……………………5分,,,,8分所以的分布列為所以.…………………10分22.(12分)某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．（I）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；（II）如何定價才能使一個星期的商品銷售