2020-2021學年天市南開區一上學期末考試數學試題一、選題：本大題10小，每小3，共30分．在每小給出的個選項中，有一個是合題目要求．1設集合U={n|n∈N*

且n，B={1則∪B中元素個數（）UA．4B．5C．6D．72．與α=+2kπ（k∈Z）終邊相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣

πD．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函數中是奇函數的是（）A．y=x+sinxB．y=|x|﹣cosxC．y=xsinxD．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（A．第一象限B．第二象限

）=，則θ在（）C．第三象限D．第四象限6．函數f（x）=logx+x的零點在區間為（）2A，1）B，2）C，3）D，4）7．若偶函數f（x）在[0∞）上單調遞減，設a=f（1（log3（log30.52則（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC＜c＜aD．c＜a＜b8．如圖，正方形ABCD邊長為1，從某時刻起，將線段AB，BC，CD，DA分別繞點A，B，C，D順時針旋轉相同角度＜α＜=（）

旋轉后的四條線段所圍成的封閉圖形面積為則αA．

或B．

或C．

或D．

或

9．函數f（x）=Asinφ）的單調遞減區間為[k﹣法錯誤的是（）A．函數f（﹣x）的最小正周期為π

，kπ+]∈Z則下列說B．函數f（﹣x）圖象的對稱軸方程為C．函數f（﹣x）圖象的對稱中心為（+

+（k∈Z），0∈Z）D．函數f（﹣x）的單調遞減區間為[kπ+

，kπ+

]（k∈Z）10．設函數f（x）=①若a≤0，則f（f（a﹣a；②若f（f（a﹣a，則≤0；③若a≥1，則f（f（a；④若f（f（a，則a．

，則下列說法正確的是（）A．①③B．②④

C．①②③D．①③④二、填題：本大題5小題，每小分，共20）11．函數f（x）=

的定義域為．12．函數f（x）=2cosx?tanx+cos2x的最小正周期為；最大值為．13．如果將函數f（x）=sin2x圖象向左平移φ（φ）個單位，函數g（2x﹣圖象向右平移φ個長度單位后，二者能夠完全重合，則φ的最小值為．

）14如圖所示知A是單位圓上兩點且|AB|=β=∠OCB，則sinαsinαcosβ=．

設AB與x軸正半軸交于點α=∠AOC，

15．設函數（x）=

，若關于方程f（x）﹣a=0有三個不等實根x，x，x，且x+x+x=﹣，則a=．123123三、解題：本大題5小題，共50．解寫出文說明、證明程或演過程．16．已知集合A={x|2x﹣6

﹣2x

≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）寫出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求實數的取值范圍．17．已知函數f（x）=cos﹣）﹣sin（x﹣（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性，并給出證明；（Ⅱ）若θ為第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．設函數f（x）為R上的奇函數，已知當x＞0時，f（x）=﹣（x+1）2

．（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，求m的取值范圍．19．設某等腰三角形的底角為α，頂角為β，且β=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函數f（x）=tanx[﹣

，α]上的值域與函數g（x）=2sin（2x）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范圍．20．函數（xωx?cos（）+1（ω＞0圖象上有兩點，t（s+2π，t其中﹣2＜t＜2，線段與函數圖象有五個交點．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函數f（x）在[x，x]和[x，x]單調遞增，在x，x]上單調遞減，且滿足等式x123423

4﹣x=x﹣x=（x﹣x求、x有可能取值．3213214

2020-2021學年天市南開區一上學期末考試數學試題參答案一、選題：本大題10小，每小3，共30分．在每小給出的個選項中，有一個是合題目要求．1設集合U={n|n∈N*

且n，B={1則?∪B中元素個數（）UA．4B．5C．6D．7【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】根據已知中集合∈N*

且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}結合集合并集，補集的定義，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*

且n，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴?（A∪B）={3，6，7，9}，U故?（A∪B）共有5個元素，U故選：B．2．與α=+2kπ（k∈Z）終邊相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣【考點】終邊相同的角．

πD．π【分析】把

化成15°，再根據終邊相同的角之間相差周角的整數倍，即可得答案．【解答】解：由α=

+2kπ（k∈Z得與角α終邊相同的角是：

，360°+15°=375°．故選：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=）A．﹣B．﹣C．D．【考點】三角函數的化簡求值．

【分析】直接由三角函數的誘導公式化簡求值即可得答案．【解答】解：=

．故選：C．4．下列函數中是奇函數的是（）A．y=x+sinxB．y=|x|﹣cosxC．y=xsinxD．y=|x|cosx【考點】函數奇偶性的判斷．【分析】運用奇偶性的定義，即可判斷出奇函數的函數．【解答】解：A，y=x+sinx有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x奇函數；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x偶函數；C，y=xsinx，f（﹣x）=（）sin（﹣x）=xsinx=f（x偶函數；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|（﹣x）=f（x為偶函數．故選：A．5．已知cosθ＞0，tan（A．第一象限B．第二象限

）=，則θ在（）C．第三象限D．第四象限【考點】兩角和與差的正切函數．【分析】由兩角和的正切公式化簡tan（值的符號判斷出θ所在的象限．【解答】解：由題意得，tanθ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，則θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故選：D．

）=，求出θ的值，結合條件和三角函數

6．函數f（x）=logx+x的零點在區間為（）2A，1）B，2）C，3）D，4）【考點】二分法的定義．【分析】判斷（x）=logx+x﹣4，在（0，+∞）上單調遞增．根據函數的零點存在性定理得2出答案．【解答】解：f（x）=log﹣4，在（0，+∞）上單調遞增．2∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0（3）=log3﹣1＞02∴根據函數的零點存在性定理得出：f（x）的零點在（2，3）區間內∴函數f（x）=logx+x﹣4零點所在的區間為（2，32故選：C．7．若偶函數f（x）在[0∞）上單調遞減，設a=f（1（log3（log30.52則（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC＜c＜aD．c＜a＜b【考點】對數值大小的比較．【分析】（x）在（﹣∞0]上調遞增，log3=0.5

＜=﹣1，log322∈（0，1求出結果．【解答】解：∵偶函數f）在[0，+∞）上單調遞減，∴f（x）在（﹣∞，0]上單調遞增，∵log3=＜=﹣1，log3﹣1=log1.5（0，10.522a=f（1（log3（log30.52∴b＜a＜c．故選：B．8．如圖，正方形ABCD邊長為1，從某時刻起，將線段AB，BC，CD，DA分別繞點A，B，C，D順時針旋轉相同角度＜α＜=（）

旋轉后的四條線段所圍成的封閉圖形面積為則α

A．

或B．

或C．

或D．

或【考點】扇形面積公式．【分析】由題意可得旋轉后的四條線段所圍成的封閉圖形為正方形，邊長為cosαα，得α﹣sinα）

=，進而解得cosα﹣sinα=±

，cosα+sinα=，聯立解得cosα=，利用特殊角的三角函數值即可得解．【解答】解：如圖所示，旋轉后的四條線段所圍成的封閉圖形為正方形，邊長為cosα﹣sinα，由題意可得α﹣sinα2

=，可得：cosα﹣sinα=±

①，2sinαcosα=又0＜α＜

，可得：cosα=

=，②所以：由①②可得：cos

．故α=

或．故選：A．9．函數f（x）=Asinφ）的單調遞減區間為[k﹣法錯誤的是（）A．函數f（﹣x）的最小正周期為π

，kπ+]∈Z則下列說

B．函數f（﹣x）圖象的對稱軸方程為C．函數f（﹣x）圖象的對稱中心為（+D．函數f（﹣x）的單調遞減區間為[kπ+【考點】正弦函數的圖象．

+（k∈Z），0∈Z），kπ+]（k∈Z）【分析】由題意，ω=2，函數f（x）=Asin（ωx+φ）的周期為π，φ=（﹣2x+再進行驗證，即可得出結論．【解答】解：由題意，ω=2函數f（x）=Asin（ωx+φ）的周期為π，

，f（﹣x）=Asinφ=

，f（﹣x）=Asin（﹣2x+

x=+

，﹣2x+=k

，f（﹣x）=Asin（﹣2x+

）≠0，故選C．10．設函數f（x）=

，則下列說法正確的是（）①若a≤0，則f（f（a﹣a；②若f（f（a﹣a，則≤0；③若a≥1，則f（f（a；④若f（f（a，則a．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考點】分段函數的應用．【分析根據已知中函數（x=【解答】解：當a≤0時，則f（f（a

逐一分析給定四個結論的真假可得答案．=﹣a，故①正確；當a≥1時，f（f（a=，故③正確；當0＜a＜1，f（f（a（loga）∈R，0.50.5故此時存在0＜a＜1，使得f（f（a﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f，

故②④錯誤；故選：A二、填題：本大題5小題，每小分，共20）11．函數f（x）=

的定義域為（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考點】函數的定義域及其求法．【分析】根據對數函數以及分母不為0，求出函數的定義域即可．【解答】解：由題意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函數的定義域是（﹣1）∪（0，+∞故答案為，0）∪，+∞12．函數f（x）=2cos2

x?tanx+cos2x的最小正周期為π；最大值為

．【考點】同角三角函數基本關系的運用；三角函數的周期性及其求法．【分析利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式再利用正弦函數的周期性以及最大值得出結論．【解答】解：函數f（x2

x?tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期為故答案為：π，

=π，最大值為，13．如果將函數f（x）=sin2x圖象向左平移φ（φ）個單位，函數g（2x﹣

）圖象向右平移φ個長度單位后，二者能夠完全重合，則φ的最小值為

．【考點】函數y=Asin（φ）的圖象變換．【分析】首先對函數關系式進行平移變換，然后利用對應相等求出結果．【解答解將函數圖象向左平移（φ＞0個單位得到y=sin[2（x+φ（2x+2φ）的圖象，

將函數g（x）=cos（2x﹣

）圖象向右平移φ個長度單位后，可得函數y=cos[2﹣φ）﹣]=cos﹣2φ﹣

﹣（2x﹣2φ﹣（φφ+）的圖象，二者能夠完全重合，由題意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ+

+2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+當k=0時，φ=min

）．故答案為：

．14如圖所示知A是單位圓上兩點且|AB|=β=∠OCB，則sinαsinαcosβ=．

設AB與x軸正半軸交于點α=∠AOC，【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出結論．【解答】解：由題意，∠OAC=﹣α，∵A，B是單位圓上兩點且AB|=，∴sinαsinβ+cosαcos（β﹣α）=cos∠OAC=

=，故答案為

．15．設函數（x）=

，若關于方程f（x）﹣a=0有三個不等實根

x，x，x，且x+x+x=﹣，則a=．123123【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析圖所示出函數圖象妨設＜x＜xx+x=2×12312

x+x+x=123﹣，可得x，代入a3

即可得出a．【解答】解：如圖所示，畫出函數f（x）的圖象，不妨設x＜x＜x，則x+x12312又x+x+x=﹣，123∴x=．3∴a==．故答案為：．

=﹣3，三、解題：本大題5小題，共50．解寫出文說明、證明程或演過程．16．已知集合A={x|2x﹣6

﹣2x

≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）寫出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求實數的取值范圍．【考點】集合的包含關系判斷及應用；子集與真子集．【分析Ⅰ）根據題意，解2x﹣6≤2﹣2x≤1可得集合A，又由B={x|x∈A∩N}即可得集合B，進而由子集的定義可得集合B的子集；（Ⅱ）根據題意，分析可得C是A的子集，進而有：，解可得a的取值范圍．【解答】解Ⅰ）對于集合A，因為2x﹣6

≤2﹣2x

≤1，則x﹣6≤﹣2x≤0，解可得：0≤x≤2．

即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，則B={0，2}；故B的子集有、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，則C是的子集，則必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范圍是：[0，1]17．已知函數f（x）=cos﹣）﹣sin（x﹣（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性，并給出證明；（Ⅱ）若θ為第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考點】三角函數的化簡求值；正弦函數的圖象．【分析）結論：函數f（x）為定義R的偶函數，由函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱，求出f（x）和（﹣x）即可證得結論；（Ⅱ）由已知條件求出，再由θ為第一象限角，求出，然后利用三角函數的誘導公式化簡計算即可得答案．【解答】解Ⅰ）結論：函數f（x）為定義在R上的偶函數．證明：函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱，f（x）=cos（x﹣f（﹣x）=

）﹣sin﹣）=．因此，函數f（x）為定義在R上的偶函數；（Ⅱ）∵f（θ+∴

）=．

，由于θ為第一象限角，故

，∴cos（2θ+

）==

=．

18．設函數f（x）為R上的奇函數，已知當x＞0時，f（x）=﹣（x+1）2

．（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，求m的取值范圍．【考點】函數奇偶性的性質；函數解析式的求解及常用方法．【分析Ⅰ）根據函數奇偶性的性質進行轉化求解即可．（Ⅱ）根據條件判斷函數的單調性，利用函數奇偶性和單調性的關系進行轉化求解即可．【解答】解Ⅰ）∵函數（x）為R上的奇函數，∴f（0）=0，若x＜0，則﹣x＞0，∵當x＞0時，f（x）=﹣）2

．∴當﹣x＞0時，f（﹣x﹣（﹣x+1）2

=﹣（x﹣1）2

．∵f（x）是奇函數，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2

=（x則f（x）=（x﹣1）2

，x，則函數f（x）的解析式f）=；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，則f（m2

+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m當x＞0時，f（x）=﹣（x+12減函數，且f（x）＜﹣1＜f（0當x＜0時，f（x）=（x）2

為減函數，且f（x）＞1＞f（0則函數f（x）在R上是減函數，則m2

+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，則﹣3＜m＜0，即m的取值范圍是（﹣319．設某等腰三角形的底角為α，頂角為β，且β=．

（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函數f（x）=tanx[﹣上的值域相同，求m的取值范圍．【考點】函數的值域．

，α]上的值域與函數g（x）=2sin（2x）在[0，m]【分析Ⅰ）由題意，π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2

α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函數f（x）