山東省青島市第二十四中學2022年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等式成立是成等差數列的 （

）A．充分不必要條件

B.充要條件

C．必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：【答案解析】A

解析：若等式成立，則，

此時不一定成等差數列，

若成等差數列，則，等式成立，所以“等式成立”是“成等差數列”的．必要而不充分條件．

故選A．【思路點撥】由正弦函數的圖象及周期性以及等差數列進行雙向判斷即可．2.過點（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0參考答案：B【考點】圓的切線方程．【分析】由題意畫出圖形，可得點（3，1）在圓（x﹣1）2+y2=r2上，求出圓心與切點連線的斜率，再由直線方程的點斜式得答案．【解答】解：如圖，∵過點（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=r2的切線有且只有一條，∴點（3，1）在圓（x﹣1）2+y2=r2上，連接圓心與切點連線的斜率為k=，∴切線的斜率為﹣2，則圓的切線方程為y﹣1=﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7=0．故選：B．3.設集合，，則A. B. C. D.參考答案：C4.下列命題中的假命題是

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C5.函數的圖像大致是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據奇偶性和函數的特殊點，對選項進行排除，由此得出正確選項.【詳解】令，則，故函數為偶函數，圖像關于軸對稱，排除C選項.由，解得且.，排除D選項.，故可排除B選項.所以本小題選A.【點睛】本小題主要考查函數圖像的識別，主要通過函數的奇偶性和函數圖像上的特殊點進行排除，屬于基礎題.6.函數的零點所在區間為(

)

A．（3,+∞）

B．（2,3）

C．（1,2）

D．（0,1）參考答案：B略7.命題，，則為…………（

）A． B．

C． D．參考答案：C略8.已知圓C：x2＋y2－10y＋21＝0與雙曲線的漸近線相切，則該雙曲線的離心率是A.

B.

C.

D.參考答案：C9.設i為虛數單位，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】化簡題目所給表達式為的形式，由此得出正確選項.【詳解】.故選C.【點睛】本小題主要考查復數乘法的運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.10.命題“存在”為假命題是命題“”的(

)A．充要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則cos2θ=．參考答案：【考點】誘導公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案為：﹣．【點評】本題考查誘導公式及二倍角公式的應用．12.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為

參考答案：13.二項式的展開式中的系數為_____；系數最大的項為_____．參考答案：﹣160

【分析】根據二項展開式的通項公式，求得展開式中x2的系數，再根據二項式系數的性質，求出系數最大的項．【詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，令，求得，可得展開式中的系數為．第項的系數為，要使該項的系數最大，應為偶數，經過檢驗，時，該項的系數最大，為240，故系數最大的項為，故答案為：﹣160；．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．14.隨機地向半圓（為正常數）內擲一點，點落在半圓內任何區域的概率與區域的面積成正比，則原點與該點的連線與軸的夾角小于的概率為

.參考答案：【知識點】幾何概型．解：由已知得半圓（a＞0）則半圓的面積S=其中原點與該點的連線與x軸夾角小于的平面區域面積為：S1=故原點與該點的連線與x軸夾角小于的概率P===故答案為：【思路點撥】根據已知條件，分別求出題目中半圓的面積，再求出滿足條件原點與該點的連線與x軸夾角小于的事件對應的平面區域的面積，然后代入幾何概型，即可得到答案．【典型總結】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據P=求解．15..已知復數z滿足（為虛數單位），則z的模為______參考答案：【分析】根據復數模長運算性質可直接求得結果.【詳解】

本題正確結果：【點睛】本題考查復數模長的求解，屬于基礎題.16.已知函數，若,則實數的最小值為

．參考答案：317.是定義在R上的偶函數，則實數a=________.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，設橢圓C1：+=1（a＞b＞0），長軸的右端點與拋物線C2：y2=8x的焦點F重合，且橢圓C1的離心率是．（1）求橢圓C1的標準方程；（2）過F作直線l交拋物線C2于A，B兩點，過F且與直線l垂直的直線交橢圓C1于另一點C，求△ABC面積的最小值，以及取到最小值時直線l的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由已知可得a，又由橢圓C1的離心率得c，b=1即可．（2）過點F（2，0）的直線l的方程設為：x=my+2，設A（x1，y1），B（x2，y2）聯立得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得|CF|=?．△ABC面積s=|AB|?|CF|=．令，則s=f（t）=，利用導數求最值即可．【解答】解：（1）∵橢圓C1：+=1（a＞b＞0），長軸的右端點與拋物線C2：y2=8x的焦點F重合，∴a=2，又∵橢圓C1的離心率是．∴c=，?b=1，∴橢圓C1的標準方程：．（2）過點F（2，0）的直線l的方程設為：x=my+2，設A（x1，y1），B（x2，y2）聯立得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．過F且與直線l垂直的直線設為：y=﹣m（x﹣2）聯立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，xC+2=，?xC=．∴|CF|=?．△ABC面積s=|AB|?|CF|=．令，則s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，則t2=，即1+m2=時，△ABC面積最小．即當m=±時，△ABC面積的最小值為9，此時直線l的方程為：x=±y+2．【點評】本題考查了直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查了運算能力，屬于中檔題．19.(本小題滿分14分)已知函數，.(Ⅰ)求函數的單調遞增區間；

(Ⅱ)設，，，為函數的圖象上任意不同兩點，若過，兩點的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)依題意，的定義域為，.(ⅰ)若，當時，，為增函數.(ⅱ)若，恒成立，故當時，為增函數.20.某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數.（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；（2）根據（1）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論。參考答案：21.雙曲線的焦點分別為：,且雙曲線C經過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）設O為坐標原點，若點A在雙曲線C上，點B在直線上，且，是點的面積.參考答案：（1）設直線，代入得：設，則；由得：因為,所以化簡得：，于是原點到的距離特別地，當軸時，也符合，故存在圓與直線恒相切.（2）設，則代入得，，于是所以.22.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理列出關系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用誘導公式及二倍角的余弦函數公式化簡，把cosB的值代入計算即可求出值；（Ⅱ）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式求出面積的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2=2