山東省青島市開發區第八中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量=（m，2），向量=（2，﹣3），若|+|=|﹣|，則實數m的值是（）A．﹣2 B．3 C． D．﹣3參考答案：B【考點】平面向量數量積的運算．【專題】計算題；平面向量及應用．【分析】將等式兩邊平方，運用向量的平方即為模的平方，結合向量的數量積的坐標表示，解m的方程，即可得到．【解答】解：若|+|=|﹣|，則（+）2=（﹣）2，即+2=﹣2，即=0，由向量=（m，2），向量=（2，﹣3），則2m﹣6=0，解得m=3．故選：B．【點評】本題考查向量的數量積的坐標表示和性質，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎題．2.設函數Ｒ）滿足，則的值是(

)A．3

B.2

C.1

D.0參考答案：D3.如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D試題分析:由三視圖可知，該幾何體是一個半圓柱（所在圓柱）與四棱錐的組合體，其中四棱錐的底面為圓柱的軸截面，頂點在半圓柱所在圓柱的底面圓上（如圖所示），且在上的射影為底面的圓心.由三視圖數據可得，半圓柱所在的圓柱的底面半徑，高，故其體積；四棱錐的底面為邊長為的正方形，，且，故其體積，故該幾何體的體積.考點：三視圖的識讀和理解.4.已知函數若關于的方程有六個不同的實根，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D5.程序框圖表示求式子23×53×113×233×473×953的值，則判斷框內可以填的條件為（）A．i≤90？ B．i≤100？ C．i≤200？ D．i≤300？參考答案：B考點： 循環結構．

專題： 圖表型．分析： 先根據已知循環條件和循環體判定循環的次數，然后根據運行的后輸出的結果，從而得出所求．解答： 解：根據題意可知該循環體運行情況如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因為輸出結果是23×53×113×233×473×953的值，結束循環，判斷框應該是i≤100？．故選B．點評： 本題主要考查了循環結構，循環結構有兩種形式：當型循環結構和直到型循環結構，以及周期性的運用，屬于基礎題．新課改地區高考常考題型．也可以利用循環的規律求解．6.已知函數（）圖象上任一點處的切線方程為，那么函數的單調減區間是（

）A． B． C．和

D．參考答案：C試題分析：因為函數上任一點的切線方程為，即函數在任一點的切線斜率為,即知任一點的導數為.由,得或,即函數的單調遞減區間是和.故選C.考點：1、導數的幾何意義；2、導數在研究函數中的應用.7.（文）已知全集，，，則集合為

(

)A． B． C． D．參考答案：C：因為，，所以，所以.故選C.8.已知點A（，2），B（0，3），C（0，1），則∠BAC=（）A．30° B．45° C．60° D．120°參考答案：C【考點】兩直線的夾角與到角問題．【分析】利用兩個向量的數量積的定義，求得cos∠BAC的值，可得∠BAC的值．【解答】解：∵點A（，2），B（0，3），C（0，1），∴=（﹣，1），=（﹣，﹣1），則cos∠BAC===，∴∠BAC=60°，故選：C．9.如圖，過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，則p為（）A． B．2 C． D．參考答案：C【分析】分別過A、B作準線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點的距離轉化為到準線的距離，結合已知比例關系，即可得p值．【解答】解：解：設A，B在準線上的射影分別為M，N，則由于|BC|=3|BF|=3|BN|，則直線l的斜率為2，∵|AF|=4，∴AM=4，故|AC|=3|AM|=12，從而|CF|=8，|CB|=6．故，即p=，故選：C．【點評】本題考查拋物線的定義及其應用，拋物線的幾何性質，過焦點的弦的弦長關系，轉化化歸的思想方法，屬中檔題．10.已知集合，.若，則實數a的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小

．參考答案：90°【考點】異面直線及其所成的角．【專題】計算題．【分析】將異面直線所成角轉化成證明線面垂直，根據題目的條件很容易證得線面垂直，則異面直線互相垂直．【解答】解：如圖，取A1B1的中點D，連接BD，C1D若，B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B?面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案為90°【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．12.已知的展開式中的系數是－35，則=

參考答案：1

略13.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，曲線C的參數方程，（為參數）.則曲線C上的點到直線l的距離的最小值為________.參考答案：【分析】把參數方程，設極坐標化為直角坐標方程，求出弦心距，則即為所求，得到答案．【詳解】直線的極坐標方程為，即為，化為直角坐標方程，把曲線C的參數方程（為參數），可得普通方程，表示以(1,2)為圓心，半徑為的圓，則圓心到直線的距離為，所以曲線C上的點到直線的距離的最小值為．

14.已知，則

.參考答案：略15.二次函數與在它們的一個交點處切線互相垂直，則的最小值為

參考答案：略16.若，則行列式=

．參考答案：【考點】二倍角的余弦．【專題】計算題．【分析】根據行列式的運算法則可得式=cosθ2﹣sinθ2，再利用二倍角的余弦公式化為1﹣2sin2θ，運算得結果．【解答】解：則行列式=cosθ2﹣sinθ2=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案為．【點評】本題考查行列式的運算，二倍角的余弦公式的應用，把要求的式子化為1﹣2sin2θ，是解題的關鍵．17.（4分）sin585°的值為_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，（1）若，求函數的極值；（2）設函數，求函數的單調區間；（3）若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）的定義域為，

當時，，，

1—0+

極小

所以在處取得極小值1.（Ⅱ），

①當時，即時，在上，在上，所以在上單調遞減，在上單調遞增；

②當，即時，在上，所以，函數在上單調遞增.

（III）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數在上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知①即，即時，在上單調遞減，所以的最小值為，由可得，因為，所以；

②當，即時，在上單調遞增，所以最小值為，由可得；③當，即時，可得最小值為，因為，所以，故

此時，不成立.

綜上討論可得所求的范圍是：或.

略19.如圖，長為m＋1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且＝m．（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；（2）設過點Q(，0)且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點．試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案：解：（1）設A、B、M的坐標分別為(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，則x＋y＝(m＋1)2，

①由＝m，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，∴∴

②將②代入①，得(m＋1)2x2＋()2y2＝(m＋1)2，化簡即得點M的軌跡Γ的方程為x2＋＝1（m＞0）．當0＜m＜1時，軌跡Γ是焦點在x軸上的橢圓；當m＝1時，軌跡Γ是以原點為圓心，半徑為1的圓；當m＞1時，軌跡Γ是焦點在y軸上的橢圓．（2）依題意，設直線CD的方程為x＝ty＋，由消去x并化簡整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－m2＝0，△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝－．

③假設在x軸上存在定點P(a，0)，使PQ平分∠CPD，則直線PC、PD的傾斜角互補，∴kPC＋kPD＝0，即＋＝0，∵x1＝ty1＋，x2＝ty2＋，∴＋＝0，化簡，得4ty1y2＋(1－2a)(y1＋y2)＝0．

④將③代入④，得－－＝0，即－2m2t(2－a)＝0，∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式對?t∈R都成立，∴a＝2．故在x軸上存在定點P(2，0)，使PQ平分∠CPD．略20.（09年揚州中學2月月考）（16分）已知為實數，數列滿足，當時，，（Ⅰ）；(5分)（Ⅱ）證明：對于數列，一定存在，使；(5分)（Ⅲ）令，當時，求證：(6分)參考答案：解析:（Ⅰ）由題意知數列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,從而=

……(3分)

=.

…………(5分)

（Ⅱ）證明：①若,則題意成立…(6分)②若,此時數列的前若干項滿足,即.設,則當時,.從而此時命題成立……(8分)③若,由題意得,則由②的結論知此時命題也成立.綜上所述,原命題成立……………(10分)（Ⅲ）當時，因為,

所以=……………(11分)因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可.而………(13分)①當時,……(15分)②當時,由于>0,所以<綜上所述,原不等式成立………(16分)21.（本大題12分）

某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為元一本，經銷過程中每本書需

付給代理商元的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為

元一本，預計一年的銷售量為萬本.

（Ⅰ）求該出版社一年的利潤（