3.3二階系統的動態性能

凡是由二階微分方程描述的系統，稱為二階系統。在控制工程中的許多系統都是二階系統，如電學系統、力學系統等。即使是高階系統，在簡化系統分析的情況下有許多也可以近似成二階系統。因此，二階系統的性能分析在自動控制系統分析中有非常重要的地位?；驗槎A系統的阻尼系數（阻尼比），稱為二階系統的無阻尼自然振蕩頻率．或圖3.3.1標準化的二階系統1、數學模型的標準式通常都把二階系統的方程化成標準的微分方程形式：二階系統的傳遞函數為：3.3.1二階系統的數學模型2、學習過的二階系統的數學模型設初始條件為零，當輸入量為單位階躍函數時，輸出量的拉普拉斯變換式為閉環特征方程其特征根即為閉環傳遞函數的極點為

閉環極點的性質決定了二階系統在單位階躍信號下響應的不同性質。3.3.2二階系統的單位階躍響應1.無阻尼（ζ=0）狀態時特征根閉環特征方程圖3.12ζ=0時特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得響應曲線為等幅振蕩曲線，稱為無阻尼狀態。系統有一對共軛純虛根，見圖3.12圖3.13ζ=0時二階系統的單位階躍響應曲線2.欠阻尼（0<ζ<1

）狀態特征根閉環特征方程系統有一對共軛復根，見圖3.14．阻尼自然振蕩頻率圖3.140<ζ<1時特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得令(1)衰減的正弦振蕩曲線,振幅按指數衰減,振蕩頻率為，稱為阻尼自然振蕩頻率；(2)越小，振蕩越強；(3)阻尼角只與阻尼系數有關。圖3.140<ζ<1時特征根3.臨界阻尼（ζ=1）狀態閉環特征方程特征根系統特征根為一對相等的負實根，見圖3.16圖3.16ζ=1時特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得出輸出的表達式1、響應具有非周期性，沒有振蕩和超調，其響應曲線如圖所示。圖3.17ζ=1時二階系統的單位階躍響應曲線3、動態性能指標為：4、穩態誤差為0，說明典型二階系統跟蹤階躍輸入信號時，無穩態誤差，系統為無靜差系統。2、該響應曲線不同于典型一階系統的單位階躍響應。4.過阻尼（ζ>1）狀態閉環特征方程特征根令系統特征根為一對不等的負實根，見圖3.18圖3.18ζ>1時特征根其輸出量的拉普拉斯變換上式取拉氏反變換，得圖3.19ζ>1時二階系統的單位階躍響應曲線1、響應具有非周期性，沒有振蕩和超調，該響應曲線不同于典型一階系統的單位階躍響應。2、動態性能指標為：3、穩態誤差為0，說明典型二階系統跟蹤階躍輸入信號時，無穩態誤差，系統為無靜差系統。4、需要說明的是，對于臨界阻尼和過阻尼的二階系統，其單位階躍響應都沒有振蕩和超調，系統的調節時間隨ζ的增加而變大，在所有無超調的二階系統中，臨界阻尼時，響應速度最快。圖3.20二階系統在單位階躍作用下的響應曲線3.3.3典型二階系統的動態性能指標1.欠阻尼二階系統的動態性能指標

當0<ζ<1時,二階系統的單位階躍響應為（1）上升時間tr

根據上升時間的定義,當t=tr時，y(tr)=1∵上升時間tr是y(t)第一次達到穩態時間弧度制計算（2）峰值時間tP

tP處有極值，故該處導數值為0

峰值對應振蕩第一個周期內極大值（3）超調量σ%

當t=tP時,y(t)有最大值上式表明，超調量σ％僅是阻尼比ζ的函數，與自然頻率ωn無關。圖3.21σ％

和ζ的關系（4）調節時間ts可見，寫出調節時間的表達式是困難的。由右圖可知響應曲線總在一對包絡線之內。包絡線為當t=t’s時，有：

由于實際響應曲線的收斂速度比包絡線的收斂速度要快，因此可用包絡線代替實際響應來估算調節時間。即認為響應曲線的包絡線進入誤差帶時，調整過程結束。當z較小時，近似取，且所以（5）振蕩次數N由此可見振蕩次數N僅與阻尼系數ζ

有關。阻尼系數z是二階系統的一個重要參數，用它可以間接地判斷一個二階系統的瞬態品質。在z≥1的情況下瞬態特性為單調變化曲線，無超調和振蕩，但ts長。當z≤0時，輸出量作等幅振蕩或發散振蕩，系統不能穩定工作。[總結]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調量大，振蕩次數多，調節時間長，瞬態控制品質差。注意到只與有關，所以一般根據來選擇。

越大，（當一定時）為了限制超調量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調量在25%~1.5%之間。最佳阻尼比0.707,此時超調量為4.3%.2.過阻尼二階系統的動態性能指標

階躍響應是從0到1的單調上升過程，超調量為0。用ts即可描述系統的動態性能。

需要說明的是，在所有非振蕩過程中，臨界阻尼系統的調節時間最小。通常，都希望控制系統有較快的時間響應，即希望系統的阻尼系數在0.7左右。而不希望處于過阻尼情況(調節時間過長)。但對于一些特殊的不希望出現超調系統(如液位控制)和大慣性系統(如加熱裝置，艦船靠岸)，則可采用ζ

>1的過阻尼系統。【例3-2】設控制系統方框圖如圖所示。當有一單位階躍信號作用于系統時，試求系統的暫態性能指標tr、tp、ts、N和σ%.解:閉環傳遞函數為因此有:振蕩次數：性能指標：【例3-3】一位置隨動系統，K＝4。求①該系統的阻尼比、自然振蕩角頻率和單位階躍響應；②系統的峰值時間、調節時間和超調量；③若要求阻尼比等于0.707，應怎樣改變系統放大系數K值。Y(s)R(s)_解：(1)系統的閉環傳遞函數為則單位階躍響應為：(2)峰值時間為：調節時間為：超調量為：

從上可以看出，降低開環放大系數K值能使阻尼比增大、超調量下降，可改善系統動態性能。但在以后的系統穩態誤差分析中可知，降低開環放大系數將使系統的穩態誤差增大。

(3)要求ζ=0.707時:【例3-4】設典型二階系統的單位階躍響應曲線如圖所示，試確定系統的傳遞函數。解：根據題意33單位階躍響應極點位置特征根阻尼系數單調上升兩個互異負實根單調上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型二階系統響應特性的小結1.極點位置與階躍響應形式的關系34z=0z=0.3z=1z=2z=00<z<1z=1z=2-1<z<0z=－0.05z=-1z=－1①阻尼系數、阻尼角與最大超調量的關系z=cos-1zd%z

=cos-1zd%0.184.26°72.90.6946.37°50.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7838.74°20.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15⒉極點位置與特征參數z、wn及性能指標的關系36②wn是極點到原點的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。36③極點距虛軸的距離與系統的調節時間成反比(0<Z<0.8)對于臨界阻尼和過阻尼時，此規律也存在。-1-2-3-40ts=4ts=2ts=1【例3-5】求如下隨動系統的特征參數,分析與性能指標的關系。+n-電壓放大器+-+-功放若假設電樞電感La=0，則Ta=0，方程為當只考慮

ua時，電動機的微分方程方程為電動機傳遞函數為電壓放大器和功放的傳遞函數分別為K1和K2，可得方框圖因所以Y–K1K2R設Y–K1K2R，則閉環傳遞函數為：401、T不變，K↑下面分析瞬態性能指標和系統參數之間的關系(假設):→

N↑?！鷝

↓→

d

%↑→