二元一次方程組的應用一、行程問題1.基本數量關系路程=時間×速度時間=路程/速度速度=路程/時間同時相向而行路程=時間×速度之和同時同向而行路程=時間×速度之差船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流的速度船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流的速度ABSV1V2S=T（+）V1V2AB同時同地同向在同一跑道進行比賽當男生第一次趕上女生時男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周長乙甲St同時異地追及問題乙的路程-甲的路程=甲乙之間的距離T(-)=sV乙甲V例1.某站有甲、乙兩輛汽車，若甲車先出發1ｈ后乙車出發，則乙車出發后5ｈ追上甲車；若甲車先開出30ｋｍ后乙車出發，則乙車出發4ｈ后乙車所走的路程比甲車所走路程多10ｋｍ．求兩車速度．若甲車先出發1ｈ后乙車出發，則乙車出發后5ｈ追上甲車解:設甲乙兩車的速度分別為xKm/h、yKm/h根據題意，得x5x5y5y=6x若甲車先開出30ｋｍ后乙車出發，則乙車出發4ｈ后乙車所走的路程比甲車所走路程多10ｋｍ．30km4x4y4y=4x+40解之得X=50Y=6o答：甲乙兩車的速度分別為50km、60km例2.一列快車長230米，一列慢車長220米，若兩車同向而行，快車從追上慢車時開始到離開慢車，需90秒鐘；若兩車相向而行，快車從與慢車相遇時到離開慢車，只需18秒鐘，問快車和慢車的速度各是多少？快車長230米，慢車長220米，若兩車同向而行，快車從追上慢車時開始到離開慢車，需90秒鐘230m甲220m乙450m甲乙解：設快車、慢車的速度分別為xm/s、ym/s根據題意，得90（x-y）=450若兩車相向而行，快車從與慢車相遇時到離開慢車，只需18秒鐘解：設快車、慢車的速度分別為xm/s、ym/s根據題意，得90（x-y）=450230m甲220m乙230m甲220m乙450m18s18（x+y）=450解之得X=15Y=10答：快車、慢車的速度分別為15m/s、10m/s例3．甲、乙兩人在周長為400ｍ的環形跑道上練跑，如果相向出發，每隔2.5min相遇一次；如果同向出發，每隔10min相遇一次，假定兩人速度不變，且甲快乙慢，求甲、乙兩人的速度．甲、乙兩人在周長為400ｍ的環形跑道上練跑，如果相向出發，每隔2.5min相遇一次解：設甲乙兩人的速度分別為xm/min、ym/min根據題意，得2.5(x+y)=400AB

解：設甲乙兩人的速度分別為xm/min、ym/min根據題意，得2.5(x+y)=400甲、乙兩人在周長為400ｍ的環形跑道上練跑，如果同向出發，每隔10min相遇一次甲乙A10(X-Y)=400解之得X=100Y=60答:甲乙兩人的速度分別為100m/min、60m/minB乙甲ABC環形跑道追及問題等同于異地追及問題水流方向輪船航向船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流的速度水流方向輪船航向船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流的速度例4.已知A、B兩碼頭之間的距離為240km,一艏船航行于A、B兩碼頭之間,順流航行需4小時;逆流航行時需6小時,求船在靜水中的速度及水流的速度.解:設船在靜水中的速度及水流的速度分別為xkm/h、ykm/h，根據題意，得4（x+y）=2406（x-y）=240解之得X=50Y=10答：船在靜水中的速度及水流的速度分別為50km/h、10km/h例1．某旅行團從甲地到乙地游覽。甲、乙兩地相距100公里，團中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4:00同時到達乙地，必須在什么時候出發?X公里乙y公里C甲上車點下車點ADB(1)汽車從A→B→D所需的時間與先步行的一部分人從A到D所需的時間相等。(2)汽車從B→D→C所需的時間與后步行的一部分人從B到C所需要的時間相等。因此可設先坐車的一部人下車地點距甲地x公里，這一部分人下車地點距另一部分人的上車地點相距y公里，如圖所示。由以上兩個等量關系，得：X公里乙y公里C甲上車點下車點ADB(1)汽車從A→B→D所需的時間與先步行的一部分人從A到D所需的時間相等(2)汽車從B→D→C所需的時間與后步行的一部分人從B到C所需要的時間相等因此可設先坐車的一部人下車地點距甲地x公里，這一部分人下車地點距另一部分人的上車地點相距y公里，如圖所示。由以上兩個等量關系，得：解方程組即可得到方程組的解。(100-X)公里練習：一輛汽車從甲地駛往乙地，途中要過一橋。用相同時間，若車速每小時60千米，就能越過橋2千米；若車速每小時50千米，就差3千米才到橋。問甲地與橋相距多遠？用了多長時間？二、工程問題工作量=工作時間×工作效率工作效率=工作量/工作時間、工作時間=工作量/工作效率解:設這批零件有x個,按原計劃需y小時完成,根據題意,得10y=x+311(y-1)=x解之得X=77Y=8答:這批零件有77個,按計劃需8小時完成例1.某工人原計劃在限定時間內加工一批零件.如果每小時加工10個零件,就可以超額完成3個;如果每小時加工11個零件就可以提前1h完成.問這批零件有多少個?按原計劃需多少小時完成?例2.甲乙兩家服裝廠生產同一規格的上衣和褲子,甲廠每月(按30天計算)用16天生產上衣,14天做褲子,共生產448套衣服(每套上、下衣各一件）；乙廠每月用12天生產上衣，18天生產褲子，共生產720套衣服，兩廠合并后，每月按現有能力最多能生產多少套衣服？

工廠甲乙上衣（褲子）上衣褲子上衣褲子

生產天數

生產套數填寫下表16144481218720

生產套數

生產天數褲子上衣褲子上衣上衣（褲子）乙甲

工廠16144481218720解：設該廠用x天生產上衣，y天生產褲子，則共生產（）x套衣服，由題意得448/16+720/12X+y=30（448/16+720/12）x=（448/14+720/18）y解之得X=13.5Y=16.5所以88x=88·13.5=1188例3有一批機器零件共418個,若甲先做2天,乙再加入合作,則再做2天可超產2個;若乙先做3天,然后兩人再共做2天,則還有8個未完成.問甲、乙兩人每天各做多少個零件？(1)甲先做2天,乙再加入合作共做2天,可超產2個(2)乙先做3天,然后兩人再共做2天,還有8個未完成(甲共做4天)(乙共做2天)4x2y(乙共做5天)(甲共做2天)2x5y甲完成個數乙完成個數甲完成個數乙完成個數+=418+2+=418-8解:設甲每天做x個零件,乙每天做y個零件,根據題意,有①②例4：某學校新建一棟4層高的教學樓，每層有8間教室，進出這棟樓共有4道門，其中2道正門大小相同，2道側門大小也相同，安全檢查中，對4道門進行了測試，當同時開啟1道正門和2道側門，2分鐘內可通過560名學生；當同時開啟1道正門和1道側門時，4分鐘可通過800名學生。（1）求平均每分鐘1道正門和1道側門分別可以通過多少名學生？（2）檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規定，在緊急情況下，全樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離。假設這棟樓每間教室有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規定？請說明理由。解：（1）設平均每個分鐘1道正門可以通過x名學生，1道理側門可以通過y名學生。根據題意得：解得：答：平均每分鐘1道正門可以通過120名學生，1道側門可以通過80名學生。經過檢驗，符合題意例4：某學校新建一棟4層高的教學樓，每層有8間教室，進出這棟樓共有4道門，其中2道正門大小相同，2道側門大小也相同，安全檢查中，對4道門進行了測試，當同時開啟1道正門和2道側門，2分鐘內可通過560名學生；當同時開啟1道正門和1道側門時，4分鐘可通過800名學生。（1）求平均每分鐘1道正門和1道側門分別可以通過多少名學生？（2）檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規定，在緊急情況下，全樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離。假設這棟樓每間教室有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規定？請說明理由。解：（2）這棟樓共有學生4×8×45=1440(名)擁擠時5分鐘4道門可以通過：5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(名)因為1600>1440，所以建造的4道門符合安全規定。練一練

某工程隊計劃在695米線路上分別裝8.25米和6.25米長兩種規格的水管共100根，問這兩種水管各需多少根？三、商品經濟問題本息和=本金+利息利息=本金×年利率×期數×利息稅利息所得稅=利息金額×5℅例1；李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅后可得利息43.92元，已知這兩種儲蓄的年利率的和為3.24℅，問這兩種儲蓄的年利率各是幾分之幾？（注：公民應交利息所得稅=利息金額×20℅）解:設這兩種儲蓄的年利率分別是x、y，根據題意得x+y=3.24%2000x80%+1000y80%=43.92解之得x=2.25%y=0.99%答:這兩種儲蓄的年利蓄分別為2.25%、0.09%

某牛奶加工廠現有鮮奶9噸,若在市場上直接銷售鮮奶,每噸可獲利潤500元,若制成酸奶銷售,每噸可獲利潤1200元,若制成奶片銷售,每噸可獲利潤2000元.該廠生產能力如下:每天可加工3噸酸奶或1噸奶片,受人員和季節的限制,兩種方式不能同時進行.受季節的限制,這批牛奶必須在4天內加工并銷售完畢,為此該廠制定了兩套方案:方案一:盡可能多的制成奶片,其余直接銷售現牛奶方案二:將一部分制成奶片,其余制成酸奶銷售,并恰好4天完成。你認為哪種方案獲利最多,為什么?例2其余5噸直接銷售,獲利500×5=2500(元)∴共獲利:8000+2500=10500(元)方案二:設生產奶片用x天,生產酸奶用y天另：設x噸鮮奶制成奶片,y噸鮮奶制成酸奶x+y=4x+3y=9x+y=9x=1.5y=2.5x=1.5y=7.5方案一:生產奶片4天,共制成4噸奶片,獲利2000×4=8000

1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000∴共獲利:1.5×2000+7.5×1200=3000+9000=12000∴共獲利:例3：學校書法興趣小組準備到文具店購買A、B兩種類型的毛筆，文具店的銷售方法是：一次性購買A型毛筆不超過20支時，按零售價銷售；超過20支時，超過部分每支比零售價低0.4元，其余部分仍按零售價銷售．一次性購買B型毛筆不超過15支時，按零售價銷售；超過15支時，超過部分每支比零售價低0.6元，其余部分仍按零售價銷售．如果全組共有20名同學，若每人各買1支型A毛筆和2支B型毛筆，共支付145元；若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付129元．這家文具店的A、B兩種類型毛筆的零售價各是多少？練習1：有甲乙兩種債券年利率分別是10%與12%，現有400元債券，一年后獲利45元，問兩種債券各有多少？練習2：購買甲種圖書10本和乙種圖書16本共付款410元，甲種圖書比乙種圖書每本貴15元，問甲、乙兩種圖書每本各買多少元？練習3：某單位甲、乙兩人，去年共分得現金9000元，今年共分得現金12700元.已知今年分得的現金，甲增加50％，乙增加30％.問兩人今年分得的現金各是多少元？

練一練：某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元．當地一家農工商公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季節條件的限制，公司必須在15天之內將這批蔬菜全部加工或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒有來得及加工的蔬菜在市場上全部銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好在15天完成．你認為選擇哪種方案獲利最多？為什么？四、配套與物質、人員分配問題例1.某車間22名工人生產螺釘與螺母，每人每天平均生產螺釘1200個或螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產的產品剛好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母？一個螺釘配兩個螺母螺釘數:螺母數=1:2解:設分配名x工人生產螺釘,y名工人生產螺母,則一天生產的螺釘數為1200x個,生產的螺母數為2000y個.所以為了使每天生產的產品剛好配套,應安排10人生產螺釘,12人生產螺母根據題意,得x+y=222×1200x=2000y解得x=10Y=12例2.某工地需雪派48人去挖土和運土,如果每人每天平均挖土5方或運土3方,那么應該怎樣安排人員,正好能使挖的土能及時運走?每天挖的土等于每天運的土解:設安排x人挖土,y人動土,則一天挖土5x,一天動土3y方根據題意,得x+y=485x=3y解得X=18Y=30所以每天安排18人挖土，30人運土正好能使挖的土及時運走例3：22名工人按定額完成了1400件產品,其中三級工每人每天定額200件,二級工每人每天定額50件.若這22名工人只有二級工與三級工,問二級工與三級工各有多少名?分析二級工人數+三級工人數=22(人)二級工定額完成產品件數+三級工定額完成產品件數=1400(件)解:設二級工有名,三級工有名.根據題意,有=22,++=1400.①②即解這個方程組,得答:二級工有20名,三級工有2名.例4：第一小組的同學分鉛筆若干枝.若其中有4人每各取4枝,其余的人每人取3枝,則還剩16枝;若有1人只取2枝,則其余的人恰好每人各可得6枝,問同學有多少人?鉛筆有多少枝?解:設同學有x人,鉛筆有y枝,根據題意,有y=4×4+3(x-4)+16,y=1×2+6(x-1).即y=3x+20,y=6x-4.答:設同學有8人,鉛筆有44枝.①②②代入①,得3x+20,6x-4=6x-3x=20+4,3x=24,x=8.把x=8代入①,得y=44.例5、100個和尚分100個饅頭，大和尚每人吃3個，小和尚每3人吃一個，問：大小和尚各有幾個？解：設大和尚x人,小和尚y人，則根據題意得解這個方程組得，答：大和尚75人,小和尚25人.1.有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.50噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸。求：3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸?2.山上牧童趕著一群羊,山下牧童也趕著一群羊,山下牧童對山上牧童說：“如果你的羊跑下來4只，那么我們二人的羊恰好相等。”山上牧童說：“如果你的羊跑上來4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍。”他們到底各趕多少只羊？試一試例1.用白鋼鐵皮做罐頭，每張鐵皮可做盒身25個，或做盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套，現有36張白鐵皮，用多少張做盒身，多少張做盒底，可使盒身與盒底正好配套？解:設用x張白鐵皮做盒身,用y張制盒底,則共制盒身25x個,共制盒底40y個.答：所以用16張制盒身,20張制盒底正好使盒身與盒底配套根據題意,得x+y=362×25x=40y解得X=16Y=20例2.一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面50個，或桌腿300條，現有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配成多少方桌？解：設用x立方米做桌面，y立方米做桌腿，則可以做桌面50x個，做桌腿300y條根據題意得x+y=54×50x=300y答：用3立方米做桌面，2立方米做桌腿，恰能配成方桌，共可做成150張方桌。解得X=3Y=2例3.某車間每天能生產甲種零件120個，或者乙種零件200個，甲、乙2種零件分別取3個、1個，才能配一套，要在18天內生產最多的成套產品，問甲，乙2種零件各應生產多少天？例4：養牛場原有30只母牛和15只小牛，１天約需用飼料６７５ｋｇ；一周后又購進１２支母牛和５只小牛，這時一天約需用飼料９４０ｋｇ。飼養員李大叔估計平均每只母牛１天約需飼料１８－２０ｋｇ，每只小牛１天約需飼料７－８ｋｇ，你能否通過計算檢驗他的估計？解：設：（相等關系）

列解得：答：平均每只母牛１天約需飼料ｘｋｇ，每只小牛１天約需飼料ｙｋｇ，30只母牛和15只小牛，１天約需用飼料６７５ｋｇ４２只母牛和２０只小牛，１天約需用飼料９４０ｋｇ平均每只母牛１天約需飼料２０ｋｇ，每只小牛１天約需飼料５ｋｇ，李大叔對母牛的估計較準確，對小牛的估計偏高。

練習：某農場有300名職工，耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植各作物每公頃所需勞動力人數及投入的資金如下表.如果該農場計劃投入資金67萬元，應該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元五、數字問題兩位數=十位數字×10+個位數字三位數=百位數字×100+十位數字×10+個位數字例.一個三位數，各數位上的數字之和為13，十位上的數字比個位上的數字大2，如果把百位上的數字與個位上的數字對調，那么所得新數比原來的三位數大99，求這個三位數。x+(x+2)+y=13[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解這個方程組即可。

分析：怎樣設未知數?直接設可以嗎?

這里有三個未知數——個位上的數字，百位上的數字及十位上數字，若用二元一次方程組求解，該怎樣設未知數?

由“十位上數字比個位上的數字大2”，可設原三位數的個位上的數字為x，則十位上數字為x+2，另設百位上數字為y.

如何表示原三位數和新三位數?100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y2個等量關系是什么?(1)百位上數字十十位上數字十個位上數字＝13(2)新三位數一原三位數=99

根據題意，得試一試

一個兩位數的十位數字與個位數字的和是7，如果這個兩位數加上45，則恰好成為個位數字與十位數字對調后組成的兩位數，求這個兩位數。設個位數學為X，十位數字為y，有：根據題意得：X+y=7x+10y+45=10X+y六、濃度、比率問題:溶液＝溶質＋溶劑溶質＝濃度×溶液混合前溶液的和＝混合后的溶液混合前溶質的和＝混合后的溶質等量關系是：

兩種酒精,甲種含水15%,乙種含水5%,現在要配成含水12%的酒精500克.每種酒精各需多少克?解此方程組，得x=350y=150依題意，得x+y=50015%x+5%y=500×12%即x+y=5003x+y=1200答：甲種酒精取350克，乙種酒精取150克。解：設甲種酒精取x克，乙種酒精取y克。酒精重量含水量甲種乙種甲種乙種配制前配制后x克y克15%·x5%·y500克500×12%例1例5:有兩種合金,第一種合金含金90%,第二種合金含金80%,這兩種合金各取多少克,熔化以后才能得到含金82.5%的合金100克?合金重量含金量第一種第二種第一種第二種熔化前熔化后x克y克90%·x80%·y100克100×82.5%解：設第一種合金取x克，第二種合金取y克。依題意，得x+y=10090%x+80%y=100×82.5%即x+y=1009x+8y=825解此方程組，得x=25y=75答：第一種合金取25克，第二種合金取75克。例2列方程組表示下列各題中的數量關系：1．甲種礦石含鐵的百分數是乙種礦石的1.5倍。甲種礦石5份，乙種礦石3份混合成的礦石含鐵52.5％，求甲、乙礦石含鐵比率。x%=1.5y%5·x%+3·y%=(5+3)·52.5%2．兩塊含鋁錫的合金，第一塊含鋁40克．含錫10克，第二塊含鋁3克．錫27克，若要得到含鋁62.5％的合金40克，取兩種含鋁錫的合金各多少克？x+y=404040+10·x+33+37·y=62.5%×403．若甲、乙兩種鹽水各取100克混合，所得混合鹽水含鹽為10％；若甲種鹽水取400克，乙種鹽水取500克混合，所得混合鹽水含鹽為9％，求甲、乙種鹽水的含鹽率。100·x％＋100·y％＝2×100×10％400·x％＋500·y％＝(400＋500)

·9％設甲種為x％，乙種為y％，則有：設取第一塊為x克，第二塊為y克，則有：設甲為x％，乙為y％，則：1：有兩種藥水，一種濃度為30％，另一種濃度為20％，現要配制濃度為25％的藥水400克，問各種各需多少克？2：有兩種藥水，一種濃度為60%，另一種濃度為90%，現要配制濃度為70%的藥水300g，則每種各需多少克？練一練x+y=40030%x+20%y=400X25%x+y=30060%x+90%y=300X70%設取濃度為30%的藥水為X，取濃度為30%的藥水為y，有：設取濃度為60%的藥水為X，取濃度為90%的藥水為y，有：例1.現有甲乙兩種金屬的合金10kg,如果加入甲種金屬若干千克,那么這塊金屬中乙種金屬占2份,甲種金屬占3份;如果加入的甲的金屬增加1倍,那么合金中乙種金屬占3份,甲種金屬占7份,問第一次加入的甲種金屬有多少?原來這塊合金種含甲種金屬的百分比是多少?解:設原來這塊合金中含甲金屬xkg,這塊合金中含乙種金屬(10-x)kg,第一次加入的甲種金屬ykg.根據題意,得x+y=3/5(10+y)x+2y=7/10(10+2y)x=4y=5解得答第一次加入的金屬5kg,原來這塊合金中含種甲金屬40%七、年齡、比例問題例2：甲對乙說：“當我的歲數是你現在的歲數時，你才4歲．”乙對甲說：“當我的歲數是你現在的歲數時，你將61歲．”問甲、乙現在各多少歲？從問題情境可以知知道甲的年齡大于乙的年齡解：設甲、乙現在的年齡分別是x、y歲根據題意，得y-（x-y）=4X+（x-y）=61解得x=42y=23答：甲、乙現在的年齡分別是42、23歲甲比乙大的歲數

將來年齡現在年齡

甲乙Xyx-yX+（