空間解析幾何SpatialAnalyticGeometry第七章空間直角坐標系向量代數平面與空間直線簡單曲面與曲線2/4/20231解析幾何是幾何與代數相結合的典范，自從１７世紀中葉誕生，數學進入了變量時期。因此它的發明人笛卡兒和費爾馬被稱為“近代數學的先驅”，而解析幾何的發現也被稱做“數學史上的里程碑”．我們為了討論多元函數，也有必要對空間解析幾何的簡單知識有所了解．這些知識對培養空間想象能力有著非常重要的作用．§8．1空間直角坐標系中學我們學過當在平面上建立直角坐標系后，平面上的點就與有序的數對建立了一一對應，而空間直角坐標系只須增加一條坐標軸。在建立了空間直角坐標系后，空間的點就與有序的三個實數建立了一一對應．2/4/20232橫軸縱軸豎軸原點空間直角坐標系三個坐標軸的正方向符合右手系.一、空間點的直角坐標空間直角坐標系的定義（見教材）右手螺旋管法則2/4/20233Ⅶ面面面三個坐標面將空間分成了八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ一個原點；三條坐標軸；三個坐標平面2/4/20234易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。八卦定吉兇，吉兇生大業（八卦演萬物）。（八八六十四卦，卦卦定乾坤）—伏羲《易傳-系辟上傳》2/4/20235空間的點有序數組特殊點的表示:坐標軸上的點坐標面上的點原點2/4/20236x0zyM點關于坐標平面、坐標軸、原點的對稱點關于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)關于x軸:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0關于原點:(x,y,z)(-x,-y,-z).M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)2/4/20237二、空間兩點間的距離2/4/20238空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為2/4/20239解原結論成立.閱讀教材第3頁的例子．怎樣驗證是否直角三角形？2/4/202310§8．1結束2/4/202311§8．2向量及線性運算一、向量的概念二、向量的線性運算三、向量的坐標表示2/4/202312向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或（矢量、矢量長度、幺矢）是什么意思？2/4/202313自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構成的向量.什么是反向量，逆向量，矢徑？也作位置向量。2/4/202314１．加法：平行四邊形法則：特殊地：若‖分為同向和反向二、向量的線性運算三角形法則：多角形法則2/4/202315向量的加法符合下列運算規律：（1）交換律：（2）結合律：（3）２．減法2/4/202316３．數乘向量2/4/202317數與向量的乘積符合下列運算規律：（1）結合律：（2）分配律：兩個向量的平行關系2/4/202318按照向量與數的乘積的規定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.同時也表明：任一個向量都可以寫成該向量的模(數)和與該向量同向的單位向量的乘積．2/4/202319例1

化簡解2/4/202320三、向量的坐標表示zOxyijkaMAB設是一向量，把它平移使其始點與坐標原點O重合．如圖則易知：如果分別是與坐標軸同向的單位向量，則基本單位向量2/4/202321故向量分解式或記為向量的坐標(注意括弧)由此可以看到：一點的向徑的坐標與該點的坐標是相同的．注意有些教材有不同記號．向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式用向量分解式怎樣表示？思考：怎樣用坐標判斷二向量平行？2/4/202322例２如果兩點，則即向量的坐標為終點坐標減去始點坐標．例３推導線段的定比分點公式．ABM為兩已知點，Ｍ點分有向線段AB的比為λ，求Ｍ點的坐標．設設Ｍ點的坐標為叫分割比2/4/202323由題意知：平面解析幾何的定比分點公式為何？2/4/202324非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.向量的模與方向余弦的坐標表示式2/4/202325由圖分析可知方向余弦通常用來表示向量的方向.向量模長的坐標表示式向量的方向余弦2/4/202326向量的方向余弦的坐標表示式方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為若2/4/202327例如：則方向余弦注意要閱讀教材的幾個簡單例子(10—12頁）下面的例4稍復雜點。2/4/202328解2/4/2023292/4/202330第三節向量代數——乘法向量的乘法有兩種：數量積和向量積2/4/202331一、兩個向量的數量積物理背景：功．定義設兩向量夾角為則稱為兩向量的數量積，記作由于用這種方法作出的乘積的結果是一個數量，故稱為數量積．也叫內積、點積。由定義，立即可得：2/4/202332特別注意：零向量垂直于任何向量！數量積符合下列運算律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數：若、為數：特別地，基本向量組是正交組：即2/4/202333兩向量夾角余弦的坐標表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為利用數量積的定義及運算律可以推出：數量積的坐標表示式若則2/4/202334一向量在另一向量上的投影（射影）為例如向量：在三個基本向量方向上的投影分別為想想：何時投影大于零？等于零？小于零？2/4/202335例1已知向量求：（1）兩向量的內積；（2）兩向量夾角；（3）一向量在另一向量上的射影。解（1）（2）（3）2/4/202336二、兩個向量的向量積物理背景：力矩．定義兩個向量的向量積是一個向量，其大小方向由向量積亦作外積、叉積．關于定義的說明：外積的結果是向量，故名向量積；的模是以為鄰邊的平行四邊形面積．構成右手系而決定．且2/4/202337由定義，立知：特別地，考慮零向量與其它向量是否平行？對于向量積，下列運算律成立：１）反交換律：２）分配律：３）數量對外積的結合律：利用定義可知三個基本向量的向量積為：2/4/202338設利用向量積的性質，可以得到向量積的坐標表示式為便于記憶，可寫作：或者更整齊些二階行列式三階行列式2/4/202339例2你能求出與都垂直的單位向量嗎？答案：2/4/202340解三角形ABC的面積為Why?注：2/4/202341三、向量的混合積定義是一個數，叫這三個向量的混合積，常記作我們不加證明地給出以下的事實：向量混合積的幾何意義(?)：如圖的平行六面體的體積．由此，有：共面2/4/202342例4已知求解１解２若已知四點的坐標，怎樣求以這四點為頂點的四面體體積？（參考例8-3-7）2/4/202343§8.4

平面與空間直線平面的方程：點法式方程一般方程截距式方程三點式方程直線方程：點向式方程對稱式（標準式）方程參數式方程兩點式方程一般方程2/4/202344一、平面的方程１．點法式方程所謂平面的方程是指平面上任意點滿足的代數等式．設平面過已知點且與非零向量垂直，求平面的方程．設平面上任一點的坐標為用坐標表示這就是平面的點法式方程．求平面方程的基本方法則向量2/4/202345其中叫做平面的法向量，它垂直于平面內的任一向量．注意：閱讀例8-4-1、8-4-2、8-4-3．（p．22—23）２．一般方程把點法式方程改寫為其中則是平面的一般方程．平面方程的最常用形式2/4/202346取法向量解所求平面方程為化簡得做幾何題目要想到圖形！2/4/2023472/4/202348設平面方程為由平面過原點知解所求平面方程為2/4/202349平面的一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標面；類似地可討論情形.可類似地討論或2/4/202350設平面為將三點坐標代入得解３．平面的截距式方程2/4/202351將代入所設方程得平面的截距式方程xyzPQR2/4/202352例4求過三點的平面方程．（三點不共線）解設是平面上任意點則三向量共面，故由三向量共面的條件，有這是平面的三點式方程．2/4/202353例5求過三點的平面．ABCM解設是所求平面上任意點，故所求平面的方程為即取則用點法式2/4/202354定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.４．兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式2/4/202355兩平面位置特征：//例

6研究以下各組里兩平面的位置關系：解2/4/202356兩平面相交，夾角兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.2/4/2023575.點到平面的距離點到平面的距離公式為：自己閱讀推導過程例7一軌跡上任意一點到兩已知平面的距離相等，求此軌跡的方程解由點到平面的距離公式，知化簡這是兩個平面2/4/202358二、空間直線的方程直觀上看，兩點確定一直線、兩平面相交于一直線、過已知一點沿已知方向有且只有一直線．我們建立直線的方程就依據這些事實．１．直線的點向式方程設一直線過已知點而平行于已知向量求出該直線方程．設直線上任一點的坐標為易知用坐標表示注意比例式的理解！！2/4/202359這就是直線的方程，叫做空間直線的對稱式方程或標準方程（最常用的形式！）如果令方程可化為叫做直線的參數方程，t是參數．例如x軸的標準方程是參數式方程是那么,你知道表示哪條直線嗎?其中的非零向量叫直線的方向向量．2/4/202360從上例可知，直線的方向向量是不唯一的（但必須平行）；而且直線的方程也是不唯一的，請大家切記！直線的標準方程、參數方程都是點向式方程．下例如何？例8求通過兩點的直線．用點向式方程的方法，所求直線過已知點方向與向量平行，故直線的方程為參數方程為何？這叫做直線的兩點式方程．2/4/202361解所以交點為取所求直線方程2/4/202362解設所求直線的方向向量為根據題意知取所求直線的方程2/4/202363２．直線的一般方程我們知道．若兩個平面不平行，則交于一直線．如果這兩個平面的方程分別為則直線的方程可表為這就是空間直線的一般方程．例11化直線為一般方程表示．即2/4/202364例12化直線的一般方程為標準方程。解二平面的法向量分別為故直線的方向向量可取下求直線上一點的坐標：令則由即是直線上一點，故標準方程為2/4/202365３．直線間夾角、直線與平面的夾角兩直線間的夾角就是直線的方向向量的夾角，故注意：一般指銳角！如：直線與的夾角的余弦為2/4/202366你可以得到二直線垂直或平行的充要條件嗎?答案下面看一下直線與平面的夾角問題.所謂直線與平面的夾角就是直線與它在平面上的投影間的夾角(銳角)即直線的方向向量與平面的法向量間的夾角的余角.(如圖)2/4/202367則利用兩向量間的夾角公式,知例如:直線與平面間的夾角滿足思考：直線與平面垂直或平行的條件是什么?2/4/202368答案：則前面我們已知點到平面的距離公式，那么你能求出一點到已知直線的距離嗎？答案：2/4/202369§8.5簡單曲面與空間曲線B、二次曲面的方程與圖形C、簡單空間曲線的方程與圖形A、一些特殊曲面的方程2/4/202370A、簡單曲面及其方程在平面直角坐標系下，含兩個變量的方程一般地表示一條平面曲線；類似地，在空間直角坐標系下，含三個變量的方程一般地表示一個曲面，該方程叫曲面的一般方程．比如最簡單的曲面—平面的一般方程是由于此方程關于變量都是一次的，故平面被稱為一次曲面．平面的討論我們上節已作過介紹．2/4/202371二次曲面的一般方程為三元二次方程其中二次項的系數不能全為零．我們下面要介紹一些特殊的曲面，大部分是標準方程下的二次曲面．１．球面在空間，到一定點距離相等的點的軌跡叫球面，定點叫球面中心，相等的距離叫球面半徑．設球心半徑為r，球面上任一點的坐標為2/4/202372則由兩點間距離公式，知等式兩邊平方，得這就是球面的標準方程．特別地，如果球心是坐標原點，則球面方程為球面的一般方程為那么你可以求出球心坐標和球面半徑嗎？2/4/2023732．柱面一般柱面的定義：平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.如果柱面的母線平行于坐標軸，則該柱面方程有較簡單的形式．比如，母線平行于z

軸的圓柱面方程為一般地，方程表示母線平行于z

軸的柱面．在平面直角坐標系下表示什么圖形？2/4/202374xzy0母線準線M(x,y,z)N(x,y,0)S觀察柱面的形成過程:2/4/202375在空間直角坐標系下，缺一個字母的方程表示的曲面是柱面，且柱面的母線平行于所缺字母表示的坐標軸！柱面方程的特征：橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸柱面母線如2/4/202376一些常見的二次柱面：橢圓柱面：abzxyo2/4/202377zxyo拋物柱面：2/4/202378zxy=0yo雙曲柱面2/4/2023793．錐面準線頂點x0z

y通過定點的動直線沿著一條定曲線移動所形成的曲面叫錐面，其中的定點叫錐面的頂點，定曲線叫準線，而每一條動直線都叫母線．可以證明：以原點為頂點的錐面的方程是一個關于變量x，y，z

的齊次方程；反之也對．想想如果準線是一條直線，則錐面是什么形狀？2/4/202380兩條相交直線繞x

軸一周x

yo最簡單的二次錐面是圓錐面2/4/202381兩條相交直線繞x

軸一周x

yoz最簡單的二次錐面是圓錐面2/4/202382x

yoz兩條相交直線繞x

軸一周得圓錐面常見二次錐面的標準方程是最簡單的二次錐面是圓錐面2/4/2023834.特殊旋轉曲面的方程一般地，一條空間曲線Ｃ繞一條定直線旋轉一周生成的曲面叫做旋轉曲面，其中的定直線叫旋轉軸，而曲線Ｃ被稱為曲面的母線．特別地，如果一條空間曲線C在坐標面內，而且旋轉軸是該坐標面內的某坐標軸，旋轉曲面的方程是非常容易寫出來的．規則就是：坐標面內的一條曲線Ｃ繞該坐標面內的某坐標軸旋轉時，只要在曲線方程中與坐標軸同名的字母保持不變，而以其他兩個坐標平方和的平方根代替方程中的另一坐標即得旋轉曲面的方程．2/4/202384例如：面內的曲線繞x

軸旋轉生成的旋轉曲面的方程為繞y

軸旋轉生成的旋轉曲面的方程為再如：面內的曲線繞z

軸旋轉生成的旋轉曲面的方程為2/4/202385繞x

軸旋轉：繞y

軸旋轉：繞z

軸旋轉：繞x

軸旋轉：直線即繞y

軸旋轉：2/4/202386下面的問題是反過來的！答案可能不唯一哦！那么你能從一個旋轉曲面的方程中看出該曲面的旋轉軸嗎？該曲面又可能是由哪條特殊的平面曲線生成的呢？旋轉軸：生成曲線：軸軸或或2/4/2023875．橢球面由方程表示的二次曲面叫橢球面．其中叫做橢球面的半軸．在空間解析幾何中，為了了解一個方程所表示的空間圖形，常采用“截痕法”或“截口法”，也叫“平行截割法”。具體點講，就是用平行于三個坐標面的一些平面截割，了解各條平面截線的形狀，從而知道圖形是怎樣的曲面。在作圖之前，通過方程的表達式充分了解圖形的性質，對作圖及了解形狀非常有幫助。2/4/202388以下性質是常用到的：１．圖形的對稱性：有無對稱平面、對稱軸、對稱中心？２．特殊點：特別是與坐標軸的交點３．圖形與三個坐標面的交線形狀（標準方程下叫主截線）４．圖形的范圍最后再根據這些性質及截線形狀，比較準確地畫出方程表示的圖形．……2/4/202389abcyx

zo首先用平行于xoy

面的平面截曲面，得到的截口曲線方程為這是一族大小不一的、但所在平面均平行的橢圓．如圖中綠色曲線2/4/202390然后再用平行于zox

的平面截曲面，截口為也是一族橢圓．（圖中的黃色曲線）最后用平行于yoz

面的平面截得曲線仍是橢圓．這樣的方法叫平行截口法，是討論曲面的常用方法之一．用此方法，即可了解曲面的輪廓．下面我們用同樣的方法討論雙曲面和拋物面2/4/2023916．雙曲面雙曲面有單葉與雙葉之分．單葉雙曲面：思考：后兩個方程的圖形如何？2/4/202392ayxo雙曲線繞y

軸一周例如2/4/202393axyoz.繞y

軸一周雙曲線例如2/4/202394a.xyoz..雙曲線繞y

軸一周例如2/4/202395雙葉雙曲面：xyo2/4/202396關于方程的討論：如果A、B、C都是正數，則方程表示橢球面；特別地，若A＝B＝C＞０，表球面；如果A、B、C中兩正一負，則方程表示單葉雙曲面；如果A、B、C中兩負一正，則方程表示雙葉雙曲面；如果A、B、C中都是負數，則方程的圖形不存在．2/4/2023977．拋物面有橢圓拋物面和雙曲拋物面之分．xzy0截痕法用z=h截曲面用y=k截曲面用x=m截曲面2/4/202398用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（馬鞍面）雙曲拋物面

2/4/202399截痕法.（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面雙曲拋物面

2/4/2023100截痕法（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面雙曲拋物面

2/4/2023101空間曲線的一般方程空間曲