模型實驗的基礎理論

第二講參考書目模型實驗的基本理論與方法公理集論力學中的相似及量綱方法模型實驗的理論與應用當代給水與廢水處理原理系統辨識基礎目錄1導言2因次分析的基本理論3相似理論4

現象相似與模型實驗5誤差分析導言

1.1現代實驗與指導實驗的理論

1.2實驗與理論的關系

1.3實驗的理論舉例

1.4本講座的內容與目的現代實驗與指導實驗的理論公理與公理化系統

公理是描述自然界基本規律的道理。常用的有牛頓三大定律、熱力學三大定律等。

公理化系統是在某一學科的研究中采用的精確描述該學科中各種物理量的一類約定，是用形式語言來表達的形式系統。所用的形式語言不同于自然語言，是一種人工語言，具有精確、不含混的特點。公理與公理化系統公理與公理化系統還是

？現問：是

Russell悖論的表述十分簡單且明確無誤，這對本世紀初被認為是己可靠形成了的數學基礎產生了沖擊，形成了所謂“第三次數學危機”。例如：集論的公理化系統的產生，主要來源于一系列的悖論。最為著名的是Russell悖論。1902年，英國數理邏輯學家Russell提出了下面有名的悖論：考察由所有不是自己成員的集構成的集b：公理與公理化系統

除Russell悖論外，當時還出現了其他一些悖論。出現這些悖論說明不加限制地使用“集合”一詞會出毛病。構成一個集，必須要有一些限制，必須要作一些規定。這就導致了集論的公理化。一般把由Cantor開始建立的未進行公理化的集論叫做樸素集論。

奧地利Gódel在研究算術形式系統時提出關于公理化系統的三個定律，其中之一是這樣描述的：如果算術形式系統內的公理是不可證的，則其無矛盾性也是不可能的。

公理化在本系統內是可以證明的，但公理不可能在本系統內得到證明，通常是通過實踐或實驗來加以驗證的。

現代實驗與指導實驗的理論實驗是理論的源頭實驗是理論的源頭科學實驗本身帶有很大的局限性，故必須有理論的正確指導；由于原型實驗往往非常復雜，因此必須進行模型實驗；實驗的可靠性是實驗價值的重要體現；現代實驗的抗干擾問題；系統辨識實驗是理論的源頭

關于系統辨識，早在1962年扎德(Zadeh)就作了如下的定義：“根據對已知輸入量的輸出響應的觀測，在指定一類系統的范圍內確定一個與被辨識系統等價的系統。”根據這個定義，在系統辨識過程中，我們必須確定三方面的問題。第一、必須指定某類系統，這就是說根據我們事先掌握的關于所要辨識的系統的知識，必須先確定所辨識系統屬于那一種系統，即什么樣的類型。是靜態的還是動態的，線性的還是非線性的，參數是定常的還是時變的，是確定性的還是隨機性的，是連續系統還是離散的系統等。顯然這是系統辨識關鍵性的問題，若確定錯了，往往會使系統辨識不能成功。第二、必須規定一類輸入信號，辨識是在某一特定輸入信號下進行的。通常的輸入信號有正弦、階躍、脈沖、白色噪聲、偽隨機信號等。第三、必須規定等價的含義。對于兩個系統，僅僅當對于所有可能的輸入值，它們的輸入——輸出關系完全相同時，這兩個系統才是等價的。用系統辨識來建立的模型必須與原系統等價。實驗與理論的關系科學實驗對原理具有始原性質；理論與實驗在不同階段往往具有不同的重要性；理論的價值不僅在于對具體實驗的驗證，更重要的是它將拓寬實驗者的遠見，豐富其想象力，引導其向更深邃的境界；實驗的價值不僅僅在于取得具體結果，還在于分辨出諸多影響因素中的主導因素，以及對機理的直覺啟示。實驗的理論舉例因次分析理論相似理論誤差理論譜分析理論離散采樣的逼真理論儀器與場耦合理論大規模超精細實驗系統理論系統識別理論本講座的內容與目的主要介紹實驗的經典理論：因次分析、相似理論與誤差分析及其應用目的：用于指導未來的實驗、培養想象力

因次分析的基本理論

2.1實驗與模擬

2.2量綱量和無量綱量

2.3國際單位制（SI）

2.4量綱公式與齊次函數

2.5白金漢定理

2.6因次體系的高斯原則實驗與模擬

自然界所有的運動和平衡問題都可以歸結為對表示現象特征的量確定其數值或某種函數關系。自然規律往往是以特征量間的函數方程，通常是微分方程表示出來的。

純理論來研究這些問題是用數學方法來表示運動的特征并得出所要求的函數關系。但是，在很多場合會遇到不可克服的數學困難，其現象是如此復雜，以致至今還沒有建立起合適的物理模型，更沒有建立起運動方程。在這種場合，實驗研究方法便占有主導地位。通常這類實驗研究常常是進行能基本上模擬所研究現象的實驗，測定實驗數據，然后把它們寫成某種數學關系式來加以應用。實驗與模擬

模擬，是指對真實事物（實物）的形態、工作規律或信息傳遞規律在特定的（一般是簡化的）條件下的一種相似再現。模擬一般是用模型來實現的，通常是在專門的試驗設備或電子計算機上進行。

實驗與模擬定量研究用的模擬可分為：1．物理模擬

模型的工作規律與實物相似，區別僅在于物理量的大小比例不同，但現象的物理本質不變。物理模擬與真實情況的物理特性一般是同類的，也可以是異類的，如用電場來研究溫度場、流場等。他們都被同樣的微分方程式所描述。2．數學模擬

在這種模擬中保持信息傳遞規律與實物相似。數學模擬與實物所進行的物理過程本質上是不同的，但信息傳遞按同一微分方程式進行。數學模擬可以很方便地研究各物理量變化時對工作過程的影響，故它可著重研究某系統在改變輸入信息后工作過程的變化。數學模擬一般在電子計算機上進行。實驗與模擬

數學模擬只有在建立了微分方程式后才能實現，而物理模擬只要知道了參與的物理量時就能實現。物理模擬一般是在按相似原理建立的與實物保持相似的模型上通過試驗來求出相似準則之間的函數關系。此函數關系適用于一切相似現象，故可推廣到實物上去。

具體來說，物理模擬可應用于下述幾個方面：

1．用少量試驗，配合方程分析或量綱分析，來獲得參量間的全面關系。這樣可大大減輕試驗工作量，并使試驗易于進行。2．在實物設計階段，可通過模型試驗來了解實物的未來性能。3．對產品極限性能的了解往往伴隨產品的毀壞，因而用模型試驗來進行研究最為合理。4．探索未研究過的現象的基本規律。在進行物理模擬時，應正確地選擇無量綱參數。它們的數目應最少，并且所有參數應在最大程度上反映出被研究對象的主要物理現象，以大大減輕試驗工作量。這方面的工作是應用量綱分析和相似理論得出的。因此，要有成效地提出并進行實驗，不考慮相似和量綱問題是不可想象的。

量綱量和無量綱量

測量任何一個量，就是將此量與被選作測量單位的同類量相比較，并且用數字來表示所得到的比例。

凡數值取決于所取測量單位的量稱為量綱量或有名的量。凡數值與所取測量單位無關的量稱為無量綱量或抽象的量。

長度、時間、力、能、動量是量綱量的例子。角度、兩長度之比、長度平方和面積之比、能量和動量之比是無量綱量的例子。量綱量和無量綱量的概念是相對的。如果引入某些輔助的測量單位，當對所有測量單位制采用這些輔助的測量單位時，若某些量的數值不變，這些量便可以認為是無量綱量。

國際單位制基本和導出測量單位基本和導出測量單位

在自然界中，不同的物理量之間往往以一定的關系互相聯系著。因此，若把這些物理量中的某些取作基本量，并對它們建立起某種測量單位，則所有其它物理量的測量單位可以通過物理規律，用基本量的測量單位來表示。基本量的測量單位稱為基本的或第一位的，而所有其它量的測量單位稱為導出的或第二位的。

實踐表明，對三個量建立起基本測量單位已是足夠的了。在不同的問題中可以選取不同量的測量單位作為基本測量單位。在物理學研究中，取長度、時間和質量的單位作為基本測量單位比較方便。而在工程技術中，則廣泛采用長度、時間和力的單位作為基本測量單位。基本和導出測量單位

用基本測量單位來表示導出測量單位稱為量綱。量綱可以用公式的形式象征性地寫出。通常長度單位用符號L，質量單位用M，時間單位用T。（在工程單位制中力的單位F。）

以后，將用符號[a]來表示某個量a的量綱。這是馬克斯威爾（J．C．Maxwell）在1894年建議采用的。基本和導出測量單位例如，在物理學中，力F的量綱可寫為：

應用量綱公式，可以在測量單位變化時換算出量綱量的數值。例如，對重力加速度g=981cm/s2。如需把測量單位轉換至公里和小時，則因

便有：

基本和導出測量單位

一般說來，若在新的測量單位制中長度單位比老的小α倍，質量單位小β倍，時間單位小γ倍，則具有量綱[a]＝LlMmTn的物理量a的數值在新的單位制中要大倍。

國際單位制國際單位制（SI）國際單位制（SI）

在實踐中，各國曾對不同的基本量或相同的基本量選取不同的基本測量單位，各種單位制的并存帶來了很大不便。因此，多年來各國科技工作者一直在尋求建立并完善一個統一的計量單位制。1960年第十一屆國際計量大會正式討論通過了這樣一個統—的計量單位制，即“國際單位制”(SystemInternational)，代號為SI。

1971年第十四屆國際計量大會決定，以長度（m，米）、質量（kg，千克）、時間（s，秒）、電流（A，安培）、溫度（K，開爾文）、物質的量（mol，摩爾）和光強度（cd，坎德拉）等七個物理量作為基本量。它們的測量單位稱為國際制基本測量單位。兩個輔助量：平面角（rad，弧度）和立體角（sr，球面度）

國際單位制（SI）長度的測量單位為米（m）。1米等于氪-88（）原子的2p10和5d5能級之間躍遷所對應的輻射在真空中的1650763.73個波長的長度。質量的單位為干克（kg）。l千克等于國際1千克原器的質量。時間的單位為秒（s）。1秒是銫-l33（）原子基態的兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的9192631770個周期的持續時間。

量綱公式與齊次函數量綱公式量綱公式

導出量的測量單位和基本量的測量單位之間的關系可以用公式的形式來表示。這些公式稱為量綱公式。

只有在采用了確定的測量單位制時，才能談到量綱的概念。對于同一物理量的量綱公式在不同的單位制中可以包含不同的元素，并具有不同的形式。然而，所有物理量的量綱公式均具有指數單項式的形式，即：（或）。現在來證明這一點。

量綱公式

設有一有量綱的任意導出量y。為了簡單起見，認為y是幾何量，因此它僅取決于長度。

式中x1,x2,x3,…xn是某些距離。用y’來表示量y在各元素的數值為x1’,x2’,x3’,…xn’時的數值。顯然，y及y’的數值取決于距離x1,x2,x3,…xn所用的測量單位。若把測量單位減少α倍，則對于上面的情況，有：（2-1）

即對于任意的α值，比值不變。

量綱公式由（2-1）式，或

（2-2）

即用不同縮比來測量的導出幾何量數值之比只取決于縮比α。

由（2-2）式，有

量綱公式

當

，…，時，，…，

便有

由此，

（2-3）

量綱公式（2-3）式對α1微分，

令，便得

積分便可得

當時有

，故常數

。因此

（2-4）

上述結果對于任意一個取決于n個基本量的有量綱量都是正確的。不難看到，如果三個基本量的尺度變化α、β、γ倍，函數φ具有下列形式：（2-5）

量綱公式與齊次函數量綱的齊次性量綱的齊次性1齊次函數

對函數

或

i=1，2，3，…m

對每一個元素乘以一個任意實數，即

代入上述方程，即

若

對于任意空間點均存在上述關系，則稱函數

為含有一個基本量的m元k次齊次函數。

量綱的齊次性例：則稱y為含有1個基本量的2元-1次齊次函數。

其物理意義為：在實際應用中改用不同的單位制度量某一實體所引起的變化。

量綱的齊次性2多個基本量的齊次函數

對函數

即

i=1，2，3，…m

對任意給定的點

作變換

（αi一般為正實數）

，代入方程后可得：

，若

(是由方程結構所確定的實常數）,則稱該多元函數為有m個基本量的m元齊次函數。

量綱的齊次性例：

（1）對上例，不是2個基本量的齊次函數；（2）對速度（率）而言，有以國際單位制與中國制對換，有

則

，u為具有兩個基本量的二元齊次函數。

量綱的齊次性3復合齊次函數對函數

設等號右邊的所有自變量都是獨立變化，則該函數為m+n-1元函數，可表示為：

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n-1任意給定一個空間點

，作如下變換

(其中)

代入上述函數可得：

，若量綱的齊次性(式中)

則稱該函數為含有m個基本量的m+n-1元齊次函數。

對上述定義式可表示成下述的統一公式：

(式中)

e=1，2，…，n這一變換對自變量及應變量均適用。量綱的齊次性4量綱的齊次性

量綱的齊次性可描述為上述的齊次函數的形式，故量綱齊次性的描述可視為齊次函數的一具體表現方式。

若一方程式是量綱齊次的，則此方程式的形式在基本測量單位變化時不變。

若y是n個變量的函數，即

（2-6）

符號f可以認為是作用于變量x1，x2，…，xn的特定的運算符，用來得到變量y的值。

量綱的齊次性如果基本測量單位有了變化，這些變量將取新的值。由上面關于量綱齊次的定義，當且僅當

（2-7）

成立，且f是（2-6）式引用的相同運算符時，此方程才是量綱齊次的。

在環境工程問題中，常取質量、長度和時間作為基本量。當它們的測量單位變化α、β、γ倍時，由(2-5)式，任意環境工程量在測量單位前、后的關系為：

量綱的齊次性在測量單位變化前，若所有變量的量綱矩陣可寫為

（2-8）

量綱的齊次性則在測量單位變化后，所有變量所取的值可由下式確定：……………（2-9）

式中各個K為：

（2-10）

量綱的齊次性由此得出結論，函數

在測量單位變化時，只有滿足（2-11）式才是量綱齊次的。

當有n個基本量時，可類推。

將（2-9）代入（2-7）式，有

（2-11）

量綱的齊次性例：對于不可壓縮流體繞球體的流動，其阻力系數可用下面的公式給出（2-12）

按照方程是量綱齊次的定義(2-11)式

（2-13）

當函數f具有下面的形式時，恒等式(2.13)自動滿足

（2-14）

量綱的齊次性可以證明，當一方程由很多項組成時，只有在每一項都具有相同的量綱時，此方程才是量綱齊次的。若有一方程

（2-15）

（2-11）式便可寫成：

（2-16）

由此可得：

（2-17）

量綱的齊次性而由（2-10）式，有

（2-18）

(2-18)式表明，所有變量y，x1，x2，…，xn均具有相同的量綱。這是方程(2-15)量綱齊次的必要和充分條件。

現在考慮一函數，它是很多變量的指數乘積（2-19）

式中變量y，x1，x2，…，xn的量綱可以用量綱矩陣（2-8）式來表示。量綱的齊次性只有在滿足恒等式（2-11）時，方程（2-19）才是量綱齊次的。即

（2-20）

由式2-20可得：

（2-21）

由式2-10可得：

（2-22）

由此可得結論，由變量x1,x2,x3,…,xn的指數乘積組成的函數y若是量綱齊次的，則指數k1,k2,k3,…,kn必定是線性方程組(2-22)的一組解。

白金漢定理白金漢定理白金漢定理對復合齊次函數，

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n-1；

選定一空間點

，代入上式后得

，若選定

（i=1，2，…，m），則

，（e=1，2，…，n）

白金漢定理，則，故

白金漢定理令

（e=1，2，…，n）

則：

定理：對于具有m+n-1個自變量的復合齊次函數，可以簡化為僅含n-1個自變量的函數。

等價提法：包含m+n個變量的方程至少可以簡化為僅含n個變量的方程。

白金漢定理當將上述定理應用至量綱分析中時，就是白金漢π定理。

π定理是白金漢（E.Buckingham）在1914年提出的。它可以表述為：一個反映物理過程的量綱齊次的物理方程可以轉換成由這些物理量組成的各無量綱參數間的函數關系。

據上所述，當將定理應用于量綱分析中時，m表示有m個獨立的量綱，即基本測量單位；n表示有n個導出單位，這n個導出單位均可由該m個基本測量單位的指數單項式表示。從而經過變換后，原方程就可變換為n個無量綱量之間的函數關系。變換產生的無量綱量

稱為π數。

白金漢定理無量綱化方法白金漢定理2坐標x、y、z1濃度c（2-24）式中c為反應器中某一點的濃度，ci為反應器的進口濃度，

c*值在0-1之間。（2-25）L、M及N分別取自x、y及z方向的特征長度，但它們不一定在相應的坐標方向上，彼此間可能相等，也可能不相等。3速度v

（2-26）V為v的特征速度，但不一定在v的方向上。

白金漢定理4微分運算

（2-27）

（2-28）

（2-29）

（2-30）

上面第一式中T代表一個特征時間，這個特征時間可用一個(特征長度/特征速度)來代示，也可用反應器的平均停留時間Θ來代表，當然還可能用量綱為時間的其它參數形式。白金漢定理（2-31）

由上述關系可得出，把原來微分方程中有量綱的量或微分運算轉換為無量綱的量或微分運算，可以由原來方程按下面關系直接得出：(原方程)有量綱的量＝無量綱方程有量綱的特征量×無量綱量(原方程)有量綱的微分運算＝(無量綱方程)有量綱的特征量的相應次方×無量綱的微分運算（2-32）

例：有量綱微分方程中的c、x、v、d/dt、d2/dt2分別以cic*、Lx*、Vv*、（V/L）（d/dt*）、（V2/L2）（d2/dt*2）等代替時，則直接得出這些量或運算的無量綱表達式。按上述方法所得出的微分方程中，其中每一項出現一個由特征量組成的參數系數。因而就整個微分方程而言，并不是無量綱的，但這些特征量可以進—步組合成一些無量綱數，因而得到一個完全無量綱的微分方程式。這些無量綱數也就是一般所稱的相似準數。

白金漢定理（2-33）

例：對于分散模型方程：先對每一項無量綱化可得：式中：D為縱向分散系數，量綱為長度2/時間，式中出現的U/L和D/L2等系數的量綱為時間-1，因而整個微分方程為有量綱的，但可進一步變換成下列無量綱方程式：（2-34）

白金漢定理D/UL為一個無量綱數，稱為分散數，其倒數UL/D則稱為Peclet數。微分方程式的無量綱化可以起三方面的作用。第一，可以使微分方程的解簡化。第二，可以求出由該微分方程所描述的過程的相似準數，如上例中的分散數即是。第三，可使幾個難以分別測量的參數組合成一個較易測量的參數。這三方面基本可用上一例子得到說明。

當分散數D/UL的數值很小以致可以忽略時，原微分方程可用代替；當D／UL比很大，反映反應器中時，原微分方程失去所表達的物理涵義。另外，分散數又是反映反應器縱向分散程度的—個相似準數，同時也為縱向分散系數D的測定提供了一個方法。項很小，濃度梯度可以忽略因次體系的高斯原則實質與度量的變化

實質與度量的變化

所有物理變量都有一個共性即客觀性，即從一狀態變化到一個新狀態的過程是客觀的，我們研究的任務就是將其量化，而在量化過程中產生了主觀性。這一主觀性是不可避免的，對同一現象，不同的研究者可能得出不同的結論，其差別可能來自所采用的計量框架不同，因此數量變化并不代表物理現象一定變化，則有下述定義：

實質變化：指狀態空間內從一個狀態點移到另一個狀態點所對應的變化。度量變化：指在指定的物理空間狀態點上由于計量體系的變化所導致的數量變化。

因次體系的高斯原則高斯原則

高斯原則

為了減少主觀性，可將某一物理現象的方程描述成兩組不同的方程，即第一原則：兩組方程（物理方程：形式上不受計量體系的選擇干擾；計量方程：形式上不受所論物理現象的干擾）第二原則：計量方程在大量的使用中應形成人的一種本能，從而使其被人們所淡忘。第三原則：在計量體系的選擇過程中，必須要保持計量變換的齊次性質。

高斯原則

高斯原則：（1）對任一合理的計量體系，只能選擇一定數量的物理量作為基本量，而其它的物理量為導出量；（2）對宏觀機械運動，任一合理的計量體系的基本量只能是三個，當宏觀與微觀熱運動相聯系時，可增加一個基本量；（3）這些基本量必須是相互獨立的；（4）計量體系里基本量的規定給予導出量之間的計量關系不能定義為非齊次的。高斯原則例：按高斯單位體系，其基本量為m（kg），l（m），t（s），則F是kg.m/s2如果規定F為市斤力（Jin），則上式變為，

物理方程改變高斯原則計量方程的物理意義：（1）該方程形式上與所論物理現象無關，可以量綱形式表示；（2）當由一個計量體系變為另一個計量體系是為單位換算關系。計量方程的數學意義：如當某現象如，則則計量方程包括兩部分：（1）基本量之間的換算關系，即α倍；（2）導出量之間的換算關系，即β倍。因次體系的高斯原則高斯原則的意義

高斯原則的意義1、奠定了合理的計量體系的理論基礎；2、盡可能多地保持了物理方程的客觀性；3、按照高斯原則所建立的一切廣義的物理公式對應于計量體系的變換都具有齊次性質，從而構成了因次分析理論的基礎。3.1概述3.2相似的概念

3.3單值性條件

3.4相似正定理和逆定理

3.5方程分析Π定理

3.6相似準則的導出

相似理論概述目的

1、打破實驗的局限性；2、解決原型實驗的復雜性；3、實現人類在進行實驗的更大野心，把一定條件下得出的實驗結果進行類似推廣。

愛因斯坦求和約定為了簡化對方程的描述和書寫所提出的一種約定。

設函數：i：指標或下標；（i，j=1，2，3）式中：——表示物理屬性i——代表分量屬性——表示向量

愛因斯坦求和約定：（1）方程式中含有兩個或兩個以上變量的某一項，若指標在其中重復，則該項代表同類項求和，指標取一切可能值。概述

例：（a）（i=1，2，3）

該式代表：（b）綜合起來表示為：（i=1，2，3）

（2）方程式中的某項含有指標，但指標不重復，則該方程式代表一個同類方程的集合，每一子方程具有不同的指標值，指標可取一切可能值。概述

例：相似的概念

相似理論的基礎是量的線性變換。這種線性變換稱為相似變換。

取n個量，若有n個線性函數（3-1）式中系數是變量的變換乘數。是變量集號。表示有N個變量集它們是變量的相似變換。相似的概念上式也可寫成：（3-2）這也就是說，是用測量單位為來測量量所獲得的數值。(3-2)式是相似變換的第一表示式。相似的概念取n個性質與量相同的參數，便可寫出相似變換：（3-3）以3-1式除以3-3式，可得（3-4）相似的概念(3-4)式表明，性質相同的參量和相似變換后，比值不變。(3-4)式是相似變換的第二表示式。之比在經過相似變換(3-1)包括恒等變換，即（3-5）變換(3-1)式具有單值可逆性。即當β一定時，由變量集可決定變量，相反地由變量集可決定變量相似變換(3-1)式用到幾何空間或其它表征現象性質的物理量，便可得出幾何相似或物理量相似。相似的概念若有N個封閉表面幾何相似所圍成的空間區域。S1是原始表面。若在原始表面S1上取坐標為任意點A1，可以有表面集中相應的坐標為的相應點，且坐標間的關系為：（3-6）式中，稱為幾何變換乘數，則表面集稱為原始表面的線性相似表面集。(3-6)式便是幾何相似的第一表示式。相似的概念若在表面上另取參考點，它們的坐標分別為，若這些點的坐標之間具有下列關系：（3-7）

以3-6式除以3-7式，可得（3-8）

(3-8)式也決定了一線性相似表面集。它是幾何相似的第二表示式。相似的概念由封閉的線性相似表面圍成的空間區域稱為線性相似的空間區域。在表面上或區域中坐標為的點和表面上或區域中坐標為的點，若坐標滿足(3-6)或(3-8)式，這些點便稱為對應點。同理，把表面上或區域中的兩個對應點連接起來的直線段稱為對應直線段。若有或則表面或區域稱為相似表面或相似區域。在這種情況下，每一個表面都是按一定倍數減小或增加原始表面的相應尺寸得到的，而對應直線段長度之比等于。相似的概念物理量相似設有表征現象性質的量。若有N個連續函數設每個函數在區域中完全確定。同時，區域集是線性相似群。其中，函數稱為原始函數。若對于區域中的任何一集對應點，下列關系成立（3-9）式中是函數的變換乘數。對于中的每一，它具有一定的值。這樣，函數場便稱為相似場。變換乘數也可以看作是用測量單位來測量量得到的數值。相似的概念同樣，若在區域中取一參考點，此處的函數為（3-10）則相似變換(3-9)式可化為第二表示式（3-11）相似的概念時間相似如果對應于集號為的現象中，時間和原始時間具有下列關系：（3-12）式中代表時間的變換乘數。時間稱為相似時間。(3-12)式便是時間相似變換的第一表示式。同樣，若是參考時間，則(3-12)式可化為時間相似變換的第二表示式：（3-13）相似的概念函數場相似若取N個連續函數，其中每一個在區域中都完全確定，并與時間有關：（3-14）若在對應時間，對于區域中的任何一集對應點，具有下列關系：（3-15）則函數場稱為相似函數場。式中是函數的變換乘數，它也可看作是用測量單位來測量量時所得到的數值。相似的概念同樣，如果給出參量，則第一表示式(3-15)可用第二表示式的形式來表示：（3-16）若函數或

(定常的或非定常的)是性質相同的同類量，式(3-9)(3-11)或式(3-15)(3-16)將確定同類量的相似，或同類相似。

若函數或對不同的

值是性質不同的異類量，則式(3-9)(3-11)或式(3-15)(3-16)將確定異類量相似，或異類相似。

單值性條件一般情況下，按基本模型確定的微分方程式的解對許多具有不同條件的同類或相似物理現象都是正確的通解。為了求得某一特定的具體問題的特解，還必須給出稱為“單值性條件”的附加條件。用一組完整的微分方程式和一些單值性條件才能夠描述個別的、具體的某個特定的現象。單值性條件能把服從于同一方程組的無數現象，單一地區分出某一具體現象。單值性條件包括幾何條件、物理條件、邊界條件和起始條件幾項。單值性條件幾何條件

所有具體現象都發生在一定的幾何空間內。因此，參與過程的物體的幾何形狀和大小是應給出的單值性條件。例如，流體在管內的流動應給出管截面及長度的具體數據，繞某一物體的流動應繪出物體的幾何尺寸等。物理條件所有具體現象都是由具有一定物理性質的介質參加進行的。因此，參與過程的介質的物理性質也是單值性條件。例如，對于粘性、不可壓縮流體的等溫運動，應給出介質密度、粘性系數的具體數值；對于粘性、可壓縮流體的不等溫運動，則應給出物理參數隨溫度變化的關系等。

單值性條件邊界條件

所有具體現象都必然受到與其直接相鄰的邊界情況的影響，因此，發生在邊界處的情況也是單值性條件。例如，管道進口和出口處流速的分布及數值，壁面處的情況等。如壁面是固壁則不必專門給出，因為壁面處的流體皆附著于壁面，故壁面處的流速皆為零。對于透氣壁，則需給出吸入(或排出)速度。對于不等溫的流動，還應結出壁面處的溫度條件。一般說來，參數u的邊界條件可寫為：函數在表面S上是己知的。單值性條件起始條件任何過程的發展都直接受到起始狀態的影響，即在起始時刻，流速、溫度等物理性質在整個系統內的分布將直接影響以后的過程。因此，起始條件也屬于單值性條件。對于定常過程則不存在此條件。起始條件是用起始時刻（t=0）區域V中的情況給出。這種條件可用下式表示：上述單值性條件不能隨意給出。它們必須同某個微分方程組相聯系。在現象相似問題中單值性條件的重要性在于，對于兩類現象，僅有微分方程組相似是不夠的。不滿足單值性條件的相似，這兩類現象可以是不相似的。這表明在模型實驗中，除幾何相似外，還必須滿足所有單值性條件相似，才能保證模型實驗與實物現象之間的相似。相似正定理和逆定理相對型方程設有一變量集，其中前面k個量是自變量，而其余的個量是應變量（未知量）。假定所考慮的這集量滿足方程組：（3-17）取參數集，對每個數恒等式引出相應的變量都可以用下面的（3-18）將此式的右邊代入(3-17)式。代入后的方程應包括兩類因子。相似正定理和逆定理對將（3-18）代入（3-17）式經改寫后的方程除以方程中某一項的由構成的指數函數，則對該項來說系數變為1，而對其余的（m-1）項的系數則得到由指數函數用組成的指數函數。把這些新的（m-1）個來表示，則在完成上述變換后，方程組（3-17）就可以寫成下面的形式：（3-19）方程組（3-19）稱為方程組（3-17）的第一相對型。相似正定理和逆定理再取性質與變量相同的常量集，用每一個常量相應地引出變量（3-20）將此式的右邊代入(3-17)式。中某一項的指數函數，如果對這樣改寫后的方程除以方程則對該項來說系數變為1，而對其余的（m-1）項來說，則得到（m-1）個新的由組成的指數函數。把這些新的（m-1）個指數函數用來表示，則在完成上述變換后，方程組（3-17）就可以寫成下面的形式：（3-21）稱為第二相對型。顯然，第二相對型方程（3-21）是無量綱方程。相似正定理和逆定理相似正定理定義了相似的現象應該具有什么性質。設有N個性質相同的現象集，其中每一個現象集都是下列量的函數其中是自變量，而其余的m=n-k個量是因變量(未知量)。如果滿足完整方程組（3-22）并且商定，對應于角碼的現象稱為起始現象。相似正定理和逆定理若N個現象集是相似的，即它們是相似現象時，第個現象集的量和起始現象的相應量之間具有下列關系（3-23）方程組(3-22)寫成相對型第一相對型：（3-24）第二相對型：（3-25）相似正定理和逆定理對于起始現象，方程組（3-24）可寫為（3-26）方程組（3-25）可寫為（3-27）比較（3-26）和（3-24）式，可以得到（3-28）比較（3-27）和（3-25）式可得（3-29）對于相似的現象，它們都可以用相同的方程組來描述。各對應量之間具有(3-23)式表示的關系。由此，各相似比例數并且相似準則數對所有現象各自相等。均應等于1，相似正定理和逆定理相似逆定理規定了滿足什么條件才能相似。取N個現象，其中每個現象都是變量并且都取決于方程組(3-30)，即的函數，（3-30）其中是自變量，而是應變量，方程組方程式數為第一相對型（3-31）若對于描寫N個現象的方程組(3-31)是全同的，即對于N個現象的一集參考點相似正定理和逆定理（3-32）能有：（3-33）并且參數的選取滿足（3-34）相似正定理和逆定理這時方程組（3-31）全同。此時對起始現象有而對第集現象有因而可以得到故有上述關系表明，這N個現象是相似的。相似正定理和逆定理（3-30）式還可寫成第二相對型，即（3-35）對于起始現象和第集現象可分別寫成如果對于N個現象，方程組（3-35）是全同的，則其條件就是對于相似正定理和逆定理能有同時，參量應滿足（3-36）式（3-36）則對于N個現象，方程組（3-35）全同。要使由形式相同的完整方程組所確定的現象相似，只要在諸現象的某集參考點上，能實現未知量的這樣一種相似變換，使得作為該方程組的第一相對型中出現的相似比例數等于1，或者使得作為上述方程組的第二相對型中出現的相似準則數彼此相等，此外，寫成相對型的單值性條件也必須完全相同，則這些現象的相似必然實現。方程分析Π定理方程分析Π定理確定了描述相似現象方程組的解的一般數學結構。若有N個相似的現象，滿足完整方程組(3-37)（3-37）同樣在這些量中，前面k個量是自變量，而其余的個量是應變量（未知量）方程（3-37）可以寫成相對型方程（3-38）（3-38）若方程（3-38）的解存在，則這個解可以寫成方程分析Π定理（3-39）即描寫相似觀象的方程組的解，可以表示為得自該方程組的相似準則數和相似量的一般關系式。方程分析定理規定了一組微分方程的解的一般數學結構。這組微分方程是描寫一族相似現象的。量綱分析Π定理規定了那些屬于所研究現象的和根據某些理由選出的量之間關系的一般數學結構。相似準則的導出對于相似的現象，它們必然可以用形式上相同的方程組(包括單值性條件)來描述。當把此方程組寫成相對型時，各相似比例數應為l，而各相似準則對相似的現象各自相等。現在來討論如何得出準則。對于所研究的現象，有時可以用微分方程組來描述，有時則因現象十分復雜，只能一般地寫出影響現象的物理參量。對應著這兩種情況，相似準則的導出也可以有兩種方法，即方程分析法和量綱分析法。相似準則的導出方程分析法用方程分析法來導出相似準則是先把描述相似現象的方程組寫成相對型，然后得出所有的相似比例數或相似準則。例：x方向上水的運動。x方向上水的運動可用如下的微分方程式描述（3-40）式中：——流速；——方向上的重力加速度分量；——水的密度；——壓強；——運動粘度分別取為長度、流速、時間及壓強的特征量對式（3-40）進行無量綱化得相似準則的導出（3-41）以乘上式兩邊得（3-42）比較式（3-41）和（3-42）可知，前者每項仍然包含一個加速度的量綱長度/時間2，而后者則為無量綱的方程式，其中包含了兩個一般熟悉的無量綱數：雷諾數弗勞德數相似準則的導出當兩個運動的流體系統寫成無量綱的描述微分方程式(3-42)后，如果它們的雷諾數及弗勞德數相等，那么，積分后所得到的表達式必然也是同樣的形式。如果它們的初始條件與邊界條件經同樣的無量綱處理也得到同樣的形式時，則上述表達式中的積分常數也必然相等。因此，兩個流體運動體系具有完全相同的解。這樣的兩個體系就是相似體系，運動方程式(3-40)對于任何運動流體都是一樣的，它并不能表示出體系間的具體關系，而式(3-42)中雷諾數與弗勞德數則能反映具體體系的特征，從而能定出體系間是否相似，因之稱為相似準數。相似準則的導出量綱分析法在很多情況下，常常不能寫出描述現象規律的微分方程組。這時便不能用方程分析法來導得相似準則。在這種情況下，只要列出影響現象的物理量，便可以用量綱分析法來求得相似準則。量綱分析法是基于量綱齊次的概念。若有n個量，如取前面K個量為基本量，則其余個量的量綱可以用頭K個量的量綱來表示（3-43）按照Π理論，上述由n個量確定的現象可以用下面個無量綱量來表征。相似準則的導出（3-44）在水和廢水處理、輸送等過程中，常把質量、長度和時間作為基本量，并分別用M、L、T來表示其量綱，相應于

，則n個量的量綱可以表示成或者以量綱矩陣來表示（3-44）（3-45）相似準則的導出由式（3-43）就有（3-46）式（3-46）可以寫成矩陣形式（3-47）由此可得（3-48）求得后，相應的無量綱系數便由3-44可得相似準則的導出（3-49）例：在水和廢水處理中經常遇到的問題是水的流動問題，一般情況下，水是一種具有粘性的不可壓縮流體。對于粘性、不可壓縮流體的定常恒溫運動，影響流動的物理量有：流速、特性尺寸、壓力、密度、粘性系數和重力加速度。由于這是不包含溫度影響的一般力學問題，故僅需取量綱為M、L、T的三個基本量。首先寫出它們的量綱矩陣相似準則的導出如取為基本量，則便可得到下列無量綱量對于P：（歐拉數Euler）對于μ：相似準則的導出對于g：由此可以得到個無量綱量。應該指出，基本量的選擇是任意的，但必須是量綱獨立的，即任一基本量的量綱不能從其余基本量的量綱導出。對基本量不同的選擇得出的是不同的。但是，獨立的相似準則的數目是固定不變的(即仍為個)。不同的無量綱量僅是獨立的相似準則之間不同的組合而已。4.1準則關系式

4.2滿足相似準則的條件

4.3相似理論在水和廢水處理中的應用

現象相似與模型實驗準則關系式模型實驗模型的含義極其廣泛。在科學實驗中所指的模型是指那些用來實現現象相似的相似模型。在用這樣的相似模型進行的實驗中，能夠再現原來的現象的本質。也就是說，可以用比較簡便、迅速的方法相似地再現實物在實際過程中發生的現象。總之，對于原來的現象過大、變化過程太慢、實物試驗的費用太昂貴或難于控制的現象，往往廣泛地用相似模型來進行實驗，以得到實物現象的相似再現。準則關系式通過對流體運動的相似條件進行分析，則可知這些條件包括了幾何相似、運動相似及動力相似三個內容：幾何相似的涵義是很容易理解的、指兩個體系的幾何形狀相似，這也包括邊界的幾何形狀呈相似關系。但邊界的幾何相似有時很難得到滿足。運動相似必須首先滿足幾何相似的條件。幾何相似只涉及在兩個相似體系的對應點上有幾何相似的質點(稱為對應質點)，由空間坐標即能完全描述。運動相似還要滿足一項對應時間的要求。對應時間可以從任何點算起，但以運動開始的對應點為零點較為方便。運動相似定義為：在幾何相似的運動體系中，其對應質點在對應時間間隔內所經過的途徑為幾何相似的。上面的相似尚未涉及力的問題。在對應時間上施加于對應質點的同類力(如同為重力或同為離心力等)稱為對應力。當各對應力的比相等時，幾何相似的運動體系成為動力相似。在這類質點能夠自由運動的流體系統中，運動相似一定引起動力相似。相似理論中，把運動相似、動力相似以及靜力相似(指幾何相似的固體受力變形的相似)總稱為機械相似。準則關系式化學工程中的相似問題包括下列各種情況：幾何相似，機械過程，熱過程，擴散過程，化學過程等的相似。嚴格說來，上面所列的每一過程的相似都必須首先滿足列在它前面的相似條件。因此，要達到化學過程相似，先必須依次滿足幾何相似，機械、熱以及擴散過程相似的條件。當兩個幾何相似及運動相似系統的對應溫度差(指一系統兩點間的溫度差與另一系統對比兩點間的溫度差)的比為定值時則稱為熱相似。當兩個幾何相似、運動相似及熱相似系統的對應濃度差(即在對應時間，一個系統中兩點間的濃度差與另一系統中對應兩點的濃度差)的比為定值時。則稱為化學相似。相似理論是進行模型試驗和整理經驗公式的依據。由于化工過程往往很復雜，要把所有的相似準數都考慮在內，是不現實的。而試驗物料與實際生產所用物料必須一樣，試驗設備有時又相當于從原型設備中取出的一個單元(如取0.3×0.3m2的濾池做試驗)，這就排除了幾何相似的可能。諸如此類的情況，雖然不可能達到嚴格的相似關系，但可按對于整個過程起主導作用的準數對所得數據進行整理和應用，這就是近似相似的概念。準則關系式準則關系式從量綱分析和相似理論可以知道，在研究物理現象的過程中，如果欲求的物理量y是由n個量綱量決定，則其關系式一般可由下式決定（4-1）若取前k個量作為基本量，其余個量為因變量，則這些物理量之間的關系可以寫成無量綱形式（4-2）欲求的無量綱量或未知系數和相似準則之間關系的形式稱為準則關系式。量綱分析并不能得出這個關系式的具體形式。通常必須通過理論或實驗來建立這個關系式。準則關系式對實驗結果的大量分析表明，在一定范圍內，準則關系式往往可以采用相似準則指數乘積的形式，即具有如下的形式

（4-3）式中都是常數。如果主要是研究一個相似準則的影響，則準則關系式可寫為（4-4）式中也即在實驗過程中保持不變，單獨改變式（4-4）還可寫成，即可得出此結果。（4-5）準則關系式即和呈線性關系。更一般地，式（4-3）可寫成（4-6）或（4-7）準則關系式(4-7)在對數坐標表示的圖上是一條直線。直線的斜率為，它可以方便地通過對實驗數據的線性回歸得到。如果要研究兩個相似準則起作用的過程，準則關系式可寫為（4-8）先在實驗中使保持不變值，改變，這時有準則關系式求得常數和后，再在等于固定值條件下進行實驗，這時(4-8)式為按同樣方法求得及后，使可求得(4-8)式中的常數C或若對(4-8)式取對數，可得到二元線性關系式（4-9）便可采用二元線性回歸分析法來求得(4-9)式中的常數及系數準則關系式對于有多個相似準則起作用的情況，若準則關系式（4-3）式成立，則在取對數后可得（4-10）常數C和便可用多元線性回歸法來求得。在—般情況下，式(4-3)并不能真正代表實際存在的準則關系式。這時，情況就要更加復雜，通常應根據實際情況來進行分析。實際上，(4-4)式表示的準則關系式只適用于自變量和因變量之間是單調變化的情況。如果它們之間不是單調變化的情況，指數關系式便不能成立。有時它們之間的關系可以用多項式來表示。滿足相似準則的條件由相似定理可知，當描述現象的微分方程組形式相同，單值條件相同時，只要相似比例數(或相似準則各自相等)，現象一定相似。由此可知，當描述現象的微分方程組相同時，要使現象相似，首先必須具有相同的單值條件，即邊界條件和起始條件應相同。對于定常的現象，主要應具有相同的邊界條件。如果現象僅局限在一定的空間，則應保證在所限定的區域邊界上具有相同的狀況。如果現象擴展到無限空間，則與此相似的現象原則上也應擴展到無限空間。但是，在工程上只要所取的空間足夠大，因此而引起的影響很小，可以作為誤差來處理時，可以允許取一定的有限空間。為了保證現象相似，還必須使相似比例數恒等于1，即（4-11）或者所有相似準則均應各自相等，（4-12）滿足相似準則的條件式（4-11）表明，要保證現象相似，(3-1)式中的變換乘數不能隨意選取。它們必須滿足(4-11)式。或者說實驗中各參數的數值不能隨便選取，它們必須滿足(4-12)式。下面將會看到，條件(4-11)或(4-12)并不是在任何情況下都能滿足的。這時，在原則上現象將不能完全相似。對于簡單的運動，這個條件常常可以滿足。例如，對于一個質點的運動（4-13）為了保證現象相似，必須有（4-14）或（4-15）這一般是很易滿足的。滿足相似準則的條件對于不考慮熱變換的粘性流體的定常運動，為了保證現象相似，由納維——斯托克斯方程，應使（4-16）（4-17）（4-18）由（4-16）式，因，故有（4-19）而由（4-17）式，有滿足相似準則的條件（4-20）由(4-18)式，當相似現象的溫度場相同時，即，便有（4-21）顯然，這三者是不能同時滿足的，除非采用實物來進行試驗，即如果數可以忽略，即相應于不可壓縮流體情況，則由(4-19)，(4-20)式可得（4-22）即對于縮比為的模型，模型實驗中介質的運動粘性系數應為實物介質的倍。滿足相似準則的條件如果數可以忽略，即對于氣體流動，由(4-20)，(4-21)式，有（4-23）即在模型實驗中介質的運動粘性系數應和模型的幾何尺度按相同比例變化。如果數可以忽略，即對于理想流體，有（4-24）即只能用實物進行實驗。從上面的例子可以看到，當只有一個相似準則時，模型實驗的介質可任意選擇，也可以采用與實物同一介質。如對數而言，當時，即可滿足數相同的要求，當有兩個相似準則必須同時滿足時，模型實驗中介質的選擇就要受到模型幾何縮比的限制。如為了滿足和數相等，必須有。當有三個或更多個相似準則必須同時滿足時，一般情況下是難以達到的，除非采用實物來進行實驗。相似理論在水和廢水處理中的應用在水和廢水處理過程中通常涉及到水的流動、反應器（或構筑物）內混合液的混合、底物在水流主體與液膜之間的傳質、氣態物質與水流主體間的傳質、顆粒物在水流中的下沉與上浮等等，這些現象均可采用相似理論設計模型實驗進行研究，更多地在進行一種處理工藝對廢水處理效果研究時往往涉