一平面簡諧波的波函數描述波動過程中介質的任一質點（坐標為x）相對其平衡位置的位移（坐標為y）隨時間的變化關系，即稱為波函數，或稱波動方程.各質點相對平衡位置的位移波線上各質點平衡位置簡諧波：在均勻的、無吸收的介質中，波源作簡諧運動時，在介質中所形成的波為簡諧波.平面簡諧波：波面為平面的簡諧波.1

表示質點在時刻離開平衡位置的距離.

考察波線上點(坐標)在時刻的位移

設有一平面簡諧波沿軸正方向傳播，波速為。坐標原點

處質點的振動方程為tx如何描述任意時刻、波線上距原點為的任一點的振動規律？P2點O

的振動狀態點

Pt時刻點

P的運動t-x/u時刻點O的運動時間推遲方法點P

振動方程3考察波線上點(坐標),

點比點的振動落后,

點在時刻的位移是點在時刻的位移，由此得表示質點在時刻離開平衡位置的距離.OPx4

由于為波傳播方向的上任意一點，因此上述方程能描述波傳播方向上任意一點的振動，具有一般意義，即為沿軸正方向傳播的平面簡諧波的波函數，又稱波動方程.5點

O

振動方程

波函數

沿軸正向

O

如果原點的初相位不為零6可得波動方程的幾種不同形式：利用和7波函數質點的振動速度，加速度8二波函數的物理含義（波具有時間的周期性）則令

1一定，

變化

表示點處質點的振動方程（的關系）9波線上各點的簡諧運動圖10令（定值）則

y

o

x

2

一定

變化

該方程表示時刻波傳播方向上各質點的位移,即時刻的波形（的關系）11（波具有空間的周期性）即：當一定時，波函數表示該時刻波線上各點相對其平衡位置的位移，即此刻的波形.12同一時刻相位差與波程差的關系

t一定時，波函數表示該時刻波線上各點相對其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差133、都變

波函數表示波形沿傳播方向的運動情況，即在不同時刻各質點的位移，也就是不同時刻的波形，體現了波的傳播.O14

OO時刻時刻15OPx如圖，設點振動方程為點振動比點超前了4沿

軸方向傳播的波動方程

16從形式上看：波動是波形的傳播.從實質上看：波動是振動的傳播.

對波動方程的各種形式，應著重從物理意義上去理解和把握.

故點的振動方程（波動方程）為：17波函數的物理意義：波動是介質質元保持一定相位聯系的集體運動，任一瞬時，各質元運動此起彼伏，紛繁復雜。1.波函數既定量描述每個質元的運動隨時間周期性變化的規律（振動規律）；又定量描述每個質元的運動狀態在空間周期性分布的規律；所以波函數定量描述了波動的時空周期性。2.波函數還給出了各質元在相位上的定量聯系，揭示了波動是振動相位傳播的這一物理實質。波函數是波動這一物理過程的全面、精確的數學概括，是對波動物理量時空變化關系的準確描述。18例1一平面簡諧波沿軸正方向傳播，已知振幅，，.在時坐標原點處的質點在平衡位置沿軸正向運動.求：

(2)

波形圖；(3)

處質點的振動規律并作圖.

(1)波動方程；解(1)

寫出波動方程的標準式已知振源的振動求波動方程19O(m)20

(2)求波形圖波形方程02.01.0-1.0

時刻波形圖(m)21

(3)

處質點的振動規律并作圖

處質點的振動方程01.0-1.02.0O******處質點的振動曲線123412341.022已知振源的振動曲線求波動方程例2：一振源在介質內作諧振動，振動曲線如圖。此振源向x正方向發出一平面簡諧波，波速為0.3m.s-1（1）若以振源處為坐標原點，寫出此波動方程；（2）求距振源0.45m處A點的振動方程；（3）作出t1=0.1s和t2=1.5s時的波形曲線，并標出t2時刻A點的振動方向。23解：（1）由圖可知：則平面簡諧波波動方程為：24（2）以x=0.45m代入波動方程，得A點的振動方程為：（3）分別以t1=1.0s和t2=1.5s代入波動方程，得25分別畫出t1=1.0s和t2=1.5s的波形曲線如圖，A點在t2時刻的運動方向如圖。故t2時刻的波形相對t1時刻的波形向前傳播了的距離。26已知波函數求振幅、頻率、波速和波長例3：一平面簡諧波的波函數為：試求：（1）波的振幅、頻率、波速和波長；（2）x1=0.2m處質元在t1=1.0s時的運動狀態；（3）此運動狀態在t2=1.5s時傳到波線上那一點。27解：（1）將波函數化成標準形式：比較得：28（2）x1=0.2m處質元在t1=1.0s時的振動相位為：此相位所表示的運動狀態為：位移：振動的速度：29（3）振動狀態傳播的速度就是波速u，在Δt=t2-t1=0.5s時間內，t1時刻x1處質元的振動狀態傳播的距離為因此t1時刻x1處質元的振動狀態在t2時刻應傳播到距坐標原點的距離為：30

例4一平面簡諧波以速度沿直線傳播，波線上點A的簡諧運動方程求:(1)以A

為坐標原點，寫出波動方程；(2)以B為坐標原點，寫出波動方程；(3)求傳播方向上點C、D

的簡諧運動方程；(4)分別求出BC

，CD

兩點間的相位差.ABCD5m9m8m單位分別為m，s).,;(已知波線上任一點的振動求波動方程31(1)

以A

為坐標原點，寫出波動方程ABCD5m9m8m(m)32(2)

以B

為坐標原點，寫出波動方程ABCD5m9m8m(m)33

(3)

寫出傳播方向上點C、D的運動方程點C

的相位比點A

超前ABCD5m9m8m(m)34點D

的相位落后于點A

ABCD5m9m8m(m)35(4)分別求出BC

，CD

兩點間的相位差ABCD5m9m8m3665ll已知例PXOYA2A某正向余弦波時的波形圖如下t0則此時點的運動方向，振動相位。PFP已知t=0時的波形圖求波動方程3765lluPXOYA2A沿軸正向微移原波形圖得到下一時刻的波形，并可判斷出點此時向下運動。PX利用旋轉矢量圖，得：38已知任意時的波形圖求波動方程例6：一平面簡諧波，沿x軸負方向傳播，角頻率為，波速為。設時刻的波形圖如圖所示，求該波的波動方程。39解：由時刻的波形畫出t=0時刻的波形。由圖可得：t＝0時刻，坐標原點處（x=0）的質點處在-A處，且向y的正方向運動，所以波源處的振動初相位為π，波源處的振動方程為：則波動方程為：40已知波線上任意點的振動曲線求波動方程例7：一平面簡諧波，沿x軸負方向傳播，波長為12m，如圖所示為x=0.1m處質點的振動曲線，求該波的波動方程。41解：波動方程為：x=0.1m處質點的振動方程為：其中：是x=0.1m處質點的振動初相位；而：是x=0處（波源處）質點的振動初相位；42

根據0.1m處的振動方程，可以求出x=0.1m處和波源質點的振動初相位。當t=0時，x=0.1m處質點的