第二節(jié)數項級數收斂性判別法

第七章（Interrogateofconstanttermseries）一、正項級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂四、小結與思考練習2/4/20231一、正項級數及其審斂法若定理1正項級數收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數.單調遞增,收斂,也收斂.證:“”“”(Interrogateofpositivetermseries)2/4/202322/4/20233證

根據比較審斂法可知所給級數也是收斂的．2/4/20234(常數p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調和級數由比較審斂法可知p級數發(fā)散.發(fā)散,例2討論p級數2/4/20235因為當故考慮強級數的部分和故強級數收斂,由比較審斂法知p級數收斂.時,2)若2/4/20236解

2/4/20237則有兩個級數同時收斂或發(fā)散;(2)當l=

0(3)當l=∞設兩正項級數滿足(1)當0<l<∞時,定理3(比較審斂法的極限形式)2/4/20238解

2/4/202392/4/2023102/4/2023112/4/202312設為正項級數,且則(1)當(2)當證:(1)收斂,時,級數收斂;或時,級數發(fā)散.由比較審斂法可知定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)2/4/202313因此所以級數發(fā)散.時說明:

當時,級數可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數但級數收斂;級數發(fā)散.從而(2)當2/4/2023142/4/2023152/4/202316對任意給定的正數設為正項級則證明提示:即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結論正確.數,且定理5根值審斂法(Cauchy判別法)2/4/202317時,級數可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數但級數收斂;級數發(fā)散.說明:2/4/2023182/4/202319二、交錯級數及其審斂法則各項符號正負相間的級數稱為交錯級數.定理6(Leibnitz

判別法)若交錯級數滿足條件:則級數收斂,且其和其余項滿足(Interrogateofstaggeredseries)2/4/202320證:是單調遞增有界數列,又故級數收斂于S,且故2/4/202321收斂收斂收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂?發(fā)散收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數的斂散性:2/4/202322三、絕對收斂與條件收斂定義對任意項級數若若原級數收斂,但取絕對值以后的級數發(fā)散,則稱原級收斂,數為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數條件收斂.(Absoluteconvergenceandconditionalconvergence)2/4/202323證:設根據比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令定理7絕對收斂的級數一定收斂.2/4/202324證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.例11證明下列級數絕對收斂

:（補充題）2/4/202325(2)令因此收斂,絕對收斂.2/4/2023262/4/202327其和分別為*定理8絕對收斂級數不因改變項的位置而改變其和.*定理9

(絕對收斂級數的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數也絕對收斂,設級數與都絕對收斂,其和為絕對收斂級數與條件收斂級數具有完全不同的性質.說明:條件收斂級數不具有這兩條性質.2/4/202328內容小結1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.利用正項級數審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限2/4/202329為收斂級數Leibniz判別法:則交錯級數收斂概念:絕對收斂條件收斂3.任意項級數審斂法2/4/202330課外練習習題7－21-8思考練習1、設正項級數收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.2/4/202