第10頁滬教版高一數學根本不等式及其應用教學方案：第二單元為了方便老師的教學,查字典數學網為大家整理了滬教版高一數學根本不等式及其應用教學方案,希望能給老師一個參考。一、教學內容分析本節課基于學生已學習了不等關系和不等式性質,掌握了不等式性質的根底上展開的,要進一步了解不等式的性質及運用,研究最值問題,此時根本不等式的引入與學習是必要的。根本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,所以根本不等式應重點研究。從教學設計理念上來看,教學中教師應發揮組織者、引導者、合作者的作用,不僅要讓學生接受、記憶、模仿和練習,更要注重引導他們自主探索、動手實踐、合作交流、師生互動,引導學生主體參與、探究本質、經歷過程。從知識應用價值上來看,根本不等式是從大量數學問題和現實問題中抽象出來的一個模型,在公式推導中所蘊涵的數學思想方法如數形結合、歸納猜測、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應用;另外它在如“求周長一定,面積最大;面積一定,周長最小〞等實際問題的計算中也經常涉及到。從學生能力的培養來看,根本不等式的探究與推導有助于培養學生的創新思維和探索精神,是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。二、學情分析學生在初中階段,學習了平方、開方、勾股定理、圓等概念,高中階段學習了不等關系、不等式的性質以及幾類不等式的求解,學生對不等式有了初步的了解和應用。但本節內容,變換靈活,應用廣泛,條件有限制,考察了學生數形結合、類比轉化等數學思想;對學生能靈活應用數學知識解決實際問題的要求較高,在實際問題的解決中應用廣泛。因此,必須從根本不等式的代數結構和幾何意義兩方面入手,才能讓學生深刻理解它的本質。另外,在用根本不等式解決最值時,學生往往容易無視根本不等式使用的前提條件和等號成立的條件,因此,在教學過程中,應借助辨誤的方式讓學生初步領會根本不等式成立的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值問題中的作用,并在第二課時重點學習與掌握。三、教學目標設計1.理解并掌握兩個根本不等式,并能運用它們解決一些簡單問題,如本節課導入環節中的實際問題;2.思考生活中實際問題的解決方案,感受根本不等式的知識產生過程,并在練習中逐步體會根本不等式應用的特點及優勢;3.經歷觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動,培養分析問題、解決問題的能力,體會數形結合、類比代換等學習思想;4.學會用數學的眼光看世界,用數學思維認知世界,養成善于思考的良好習慣;四、教學重點及難點1.教學重點：兩個根本不等式的知識發生過程和證明;根本不等式的應用;2.教學難點：根本不等式的應用,包括解決實際問題,求最值;3.幾點說明：整堂課主要采用“問題——思考——剖析——證明——應用〞的流程,從問題出發,應用數形結合理解不等式,并掌握不等式應用的前提條件和等號成立的條件,尤其是對等號成立時充要條件的理解;在根本不等式的應用時,通過例1可逐步引導學生從根本不等式出發進行求證,然后針對等號成立時的條件能夠取到進行思考,接下來再通過具有根本不等式結構特點的例題進行練習,逐步引導學生運用根本不等式解決實際問題及求最值。五、教學方法與手段本節課采用“問題——思考——剖析——歸納——應用〞的教學設計思路：1.提出問題、啟發誘導,以學生為主體,以根本不等式為主線,從實際問題出發,放手讓學生探究思索;2.講練結合,同時采用變式教學,穩固應用,加深理解;3.以現代信息技術多媒體課件、幾何畫板作為教學輔助手段,直觀演示,不僅啟發思考,也加深學生對根本不等式的理解。六、教學過程設計1.問題提出問題：班級要用班費為秋游做準備,其中有一項要準備塑料繩子,把樹干圍成矩形作為活動的場所,由于班費有限,如何用最短的繩子圍成最大的面積呢?設計意圖：引導學生在已學知識的根底上,針對該問題進行思考與討論,不僅提高對于根本不等式學習的興趣,更培養它們分析問題的能力;2.根本不等式1的引入問題：在客觀世界中,有些不等關系是永遠成立的,引發學生試舉一些恒成立的不等關系.根據學生答復,針對()進行提問,既然,那么可以用代替不等式中的嗎?得到：進一步變形可得：思考：l不等式恒成立,和應該滿足什么條件;l不等式的等號成立時,和應該滿足什么條件;設計意圖：l基于學生所熟知的“平方數為非負數〞恒成立的不等關系,引出;l引發學生思考和所滿足的條件,幫助學生對于根本不等式1中關鍵條件的理解;3.根本不等式1對于任意實數和,有,當且僅當時等號成立.〔1〕根本不等式1的辨析l;l當且僅當時等號成立;思考：“當且僅當〞的含義是?l當a=b時,取等號,即;l僅當a=b時,取等號,即。設計意圖：對應問題引入中的兩個思考,再次強調根本不等式1中“當且僅當〞的含義。〔2〕根本不等式1的幾何解釋abl：四個全等的直角三角形構成正方形,直角邊分別為a、b,當a≠b時,構成的正方形如左圖所示,當a=b時,構成的正方形如右圖所示.l那么：大正方形的面積與四個全等直角三角形面積和的大小關系是?設計意圖：給出根本不等式1的幾何解釋,幫助學生加深對根本不等式1的理解,尤其是對“當且僅當〞的理解。4.根本不等式2的引入問題：當a>0,b>0時,在不等式中,以、分別代替a、b,得到什么?得到：設計意圖：類比是學習數學的一種重要方法,此環節不僅讓學生理解了兩個根本不等式的來源及本質是相同的,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數思想,有助于今后的學習。5.根本不等式2對于任意正數、,有,當且僅當時等號成立.把和分別叫做正數、的算術平均數和幾何平均數.因此根本不等式2也可表達為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.〔1〕根本不等式2的辨析l;l當且僅當時等號成立;思考：“當且僅當〞的含義是?l當a=b時,取等號,即;l僅當a=b時,取等號,即?！?〕根本不等式2的證明證明：法1.因為、為正數,所以、均存在.由根本不等式1,得,當且僅當時等號成立.即,當且僅當時等號成立.法2.因為,所以.當時,.當時,.所以,當且僅當時,的等號成立.〔3〕根本不等式2的擴充思考：當、為零時,根本不等式2是否成立?根本不等式2的擴充：對于任意非負數、,有,當且僅當時等號成立.〔4〕根本不等式2的幾何解釋l：AB是半圓O的直徑,過圓周上任意一點D做AB的垂線,令AC=a、CB=b,那么DO=_____________,DC=_______________;l得到：____________________________________;設計意圖：給出根本不等式2的幾何解釋,幫助學生加深對根本不等式2的理解,尤其是對“當且僅當〞的理解.6.根本不等式的應用例1：,求證：,并指出等號成立的條件.證明：方法多種,可進行作差或者由剛學的根本不等式1入手,進行求證,同時也可以運用根本不等式求最值的方法;其中一種方法示范板書為：因為,所以、同號,并有,.所以,.當且僅當,即時等號成立.思考：假設,那么代數式的取值范圍是什么?設計意圖：考察學生運用根本不等式時,要特別注意等號取到時的條件是否滿足。例2：假設的最小值為________,此時練習2：的最小值為________,此時設計意圖：幫助學生辨識根本不等式的結構特點,以及求最值的簡單運用。例3.在周長保持不變的條件下,何時矩形的面積最大?猜測：由幾何畫板演示得出.解：設矩形的長、寬分別為、(、)且(定值),那么同樣周長的正方形的邊長為.矩形面積,正方形面積由根本不等式2,得,又由不等式的性質得,即.由題意,(定值),所以(定值).當且僅當,即矩形為正方形時,矩形的面積最大.思考：例3中的,為什么要為定值呢?如果不是定值,面積有最大值嗎?設計意圖：l通過例2和例3,先讓學生通過根本不等式的運用,體驗并思考“當兩個正數的和為定值時,它們的積有最大值;當兩個正數的積為定值時,它們的和有最小值〞,這樣在第二課時給出該結論效