第十章基于傳遞函數模型的控制系統設計主要內容10.1概述10.2根軌跡法10.3Bode圖法10.4PID控制10.1概述設計要求：

用性能指標描述，主要包括穩定性動態性能阻尼程度（超調量、振蕩次數、阻尼比）、響應速度（上升時間、峰值時間、調整時間）穩態性能：控制精度（穩態誤差）控制系統具有良好的性能是指：輸出按要求能準確復現給定信號；具有良好的相對穩定性；對擾動信號具有充分的抑制能力。本章內容：介紹基于傳遞函數模型的單輸入單輸出、線性、定常、連續、單位負反饋控制系統的設計問題。10.1概述校正方案反饋校正串聯校正根軌跡法校正Bode圖法校正

性能指標以頻域量的形式給出時，用Bode法比較合適時域指標包括期望的相角裕度、幅值裕度、諧振峰值、剪切頻率、諧振頻率、帶寬及反映穩態指標的開環增益、穩態誤差或誤差系數等。

單位反饋控制系統的性能指標以時域量的形式給出時，用根軌跡校正方法比較方便。時域指標包括期望的閉環主導極點的阻尼比和無阻尼自振頻率、超調量、上升時間和調整時間等。10.1概述設計方法10.2根軌跡法實質原則

通過校正裝置改變系統的根軌跡，從而將一對閉環主導極點配置到需要的位置上。

若在開環傳遞函數中增加極點，可以使根軌跡向右移動，從而降低系統的相對穩定性，增加系統響應的調整時間。而在開環傳遞函數中增加零點，可以導致根軌跡向左移動，從而增加系統的穩定性，減少系統響應的調整時間。10.2根軌跡法原系統的開環傳遞函數為未校正系統的開環傳遞函數為：校正裝置的傳遞函數記為：校正后系統的開環傳遞函數為：數學模型10.2根軌跡法

系統可能對于所有的增益值都不穩定，也可能雖屬穩定，但不具有理想的瞬態響應特性。可以在前向通道中串聯一個或幾個適當的超前校正裝置。一、根軌跡的幾何設計方法

根據動態性能指標要求確定閉環主導極點S1的希望位置。計算出需要校正裝置提供的補償相角c確定校正裝置的參數采用帶慣性的PD控制器采用PD控制器驗算性能指標串聯超前校正極點位置零點位置

位置的確定方法同理S110.2根軌跡法幾何法串聯超前校正函數

[ngc,dgc]=rg_lead(ng0,dg0,s1)%帶慣性的PD控制器ngc=rg_lead(ng0,dg0,s1)%PD控制器10.2根軌跡法 【調用格式】【說明】ng0,dg0分別為原系統的開環傳遞函數的分子、分母系數向量。s1是滿足性能指標的閉環主導極點。ngc,dgc為超前校正裝置傳遞函數的分子、分母系數向量。根據超調量bp、調整時間ts、誤差寬度delta，求解閉環主導極點s

s=bpts2s(bp,ts,delta)根據阻尼比kosi、無阻尼自振頻率wn，求解閉環主導極點ss=kw2s(kosi,wn)根據閉環極點s，求解阻尼比kosi和無阻尼自振頻率wn

[kosi,wn]=s2kw(s)常用設計函數

例10.2.1

設單位負反饋系統的開環傳遞函數為：系統期望性能指標要求：開環增益；單位階躍響應的特征量：試確定：帶慣性的PD控制器的串聯超前校正參數PD控制器的串聯超前校正參數10.2根軌跡法二、根軌跡的解析設計方法設串聯超前校正裝置的傳遞函數為

確定所求的、需滿足的方程：由復數歐拉公式：根據穩態性能和動態特性要求，確定和10.2根軌跡法利用上述方程可分為實部、虛部，確定未知數

例10.2.2

同例10.2.1，試用根軌跡解析法確定超前校正裝置。

【調用格式】 [ngc,dgc]=ra_lead(ng0,dg0,s1)【說明】其輸入變量和輸出變量的定義與rg_lead函數相同。10.2根軌跡法10.2根軌跡法

如果原系統具有滿意的動態響應特性，但是其穩態特性不能令人滿意，可以通過在前向通道中串聯一個滯后校正裝置來解決，既增大了開環增益，又使動態響應特性不發生明顯變化。一、根軌跡的幾何設計方法

根據動態指標要求，確定閉環主導極點的希望位置

求取未校正系統根軌跡上的對應于閉環主導極點的開環增益計算期望的開環增益，并求取

確定滯后校正裝置的和

令取小于1的正數。并驗證否則重新選擇。或驗算性能指標

10.2根軌跡法10.2根軌跡法【調用格式】 [ngc,dgc,k]=rg_lag(ng0,dg0,KK,s1,a) 【說明】ng0,dg0分別為原系統的開環傳遞函數的分子、分母系數向量。KK是為了要達到期望的開環增益，原系統開環增益需要提高的倍數。s1是滿足性能指標的閉環主導極點，a為調整的幅角余量0~5。ngc,dgc為超前校正裝置傳遞函數的分子、分母系數向量，k為滿足動態性能要求的未校正系統的根軌跡增益。例10.2.3

設單位負反饋系統的開環傳遞函數為：指標要求：（1）開環增益；（2）單位階躍響應的特征量：，。試確定串聯滯后校正裝置的參數和二、根軌跡的解析設計方法

采用根軌跡的解析設計方法設計滯后校正裝置與超前校正裝置的方法相同，設滯后校正裝置的傳遞函數為：例10.2.4

同例10.2.3,試采用解析方法確定串聯滯后校正的傳遞函數。10.2根軌跡法10.3Bode圖法基本要求

為了獲得比較高的開環增益及滿意的相對穩定性，必須改變開環頻率特性響應曲線的形狀，這主要體現為：在低頻區和中頻區增益應該足夠大，且中頻區的對數幅頻特性的斜率應為-20dB/dec，并有足夠的帶寬，以保證適當的相角裕度；而在高頻區，要使增益盡可能地衰減下來，以便使高頻噪聲的影響達到最小。Bode圖設計方法的頻域指標為。基本思路

在Bode圖中的對數頻率特性的低頻區表征了閉環系統的穩態特性，中頻區表征了系統的相對穩定性，而高頻區表征了系統的抗干擾特性。在大多數實際情況中，校正問題實質上是在穩態精度和相對穩定性之間取折衷的問題。10.3Bode圖法一、Bode圖的幾何設計方法1．根據穩態指標要求確定未校正系統的型別和開環增益，并繪制其Bode圖；2．根據動態指標要求確定超前校正裝置的參數；第一種情形：給出了的要求值（1）確定超前校正所應提供的最大超前相角（2）求解的值（確定）串聯超前校正如果，說明值選擇合理，能夠滿足相角裕度要求，否則按如下方法重新選擇的值：若，則正確，否則重新調整值。（3）由求出的值。

第二種情形：未給出的期望值（1）確定串聯超前校正所應提供的最大超前相角（2）根據求出的值；10.3Bode圖法（3）根據求出；（4）根據求出的值。3．驗算性能指標對于三階及其以上的高階系統應該驗證幅值裕度，并評價系統抑制干擾的能力。或10.3Bode圖法 【調用格式】[ngc,dgc]=fg_lead_pm(ng0,dg0,Pm,w)

%帶慣性的PD控制器（wc未知）[ngc,dgc]=fg_lead_pm_wc(ng0,dg0,Pm,wc,w)

%帶慣性的PD控制器（wc已知）[ngc,dgc]=fg_lead_pd(ng0,dg0,wc)

%PD控制器

例10.3.1

設被控對象的傳遞函數其設計要求：，，

rad/s，dB。試設計帶有慣性環節的并聯超前校正控制器。10.3Bode圖法【說明】ng0,dg0分別為原系統的開環傳遞函數的分子、分母系數向量（滿足開環增益要求）。Pm為期望的相角裕度，wc為期望的剪切頻率，w為指定的Bode圖頻率范圍。返回值ngc,dgc為超前校正裝置傳遞函數的分子、分母系數向量。10.3Bode圖法設計校正裝置（）的步驟如下：1、根據，可得到2、利用方程可分為實部、虛部兩個方程，求出、值其中由復數歐拉公式：二、Bode圖的解析設計方法例10.3.3

設被控對象的傳遞函數設計要求：

用Bode圖解析法設計串聯超前校正控制器10.3Bode圖法【調用格式】 [ngc,dgc]=fa_lead(ng0,dg0,Pm,wc,w) 【說明】輸入變量和輸出變量的定義與fg_lead_pm_wc函數相同。10.3Bode圖法描述：串聯滯后校正的主要作用在不改變系統動態特性的前提下，提高系統的開環放大倍數，使系統的穩態誤差減小，并保證一定的相對穩定性。設滯后校正裝置的傳遞函數為一、Bode圖的幾何設計方法1．根據穩態指標確定未校正系統的型別和開環增益，并繪制其Bode圖；2．根據動態指標要求確定滯后校正裝置的參數；串聯遲后校正第一種情形：給出了的要求值（1）根據求出；（2）為了減少滯后校正對系統的影響，通常取并求出；第二種情形：未給出的要求值若相角裕度不足，找出滿足（可加的裕量）的頻率點作為校正系統的剪切頻率，然后按第一種情形處理。3．驗算性能指標10.3Bode圖法例10.3.4

設被控對象的傳遞函數為：其設計要求：，。例10.3.5

設被控對象的傳遞函數為：其設計要求：，rad/s，。10.3Bode圖法 【調用格式】[ngc,dgc]=fg_lag_pm(ng0,dg0,w,Pm)%滯后校正控制器（wc未知）[ngc,dgc]=fg_lag_wc(ng0,dg0,w,wc)%滯后校正控制器（wc已知）【說明】參數定義與fg_lead_pm_wc函數相同。二、Bode圖的解析設計方法

采用這種方法設計校正裝置（），伯德圖解析法滯后校正和超前校正的原理完全相同，可以采用fa_lead求取校正裝置的參數。例10.3.6

同例10.3.4，且rad/s,用解析法設計串聯遲后校正控制器。10.3Bode圖法串聯滯后—超前校正串聯滯后—超前校正裝置的傳遞函數為：10.3Bode圖法采用Bode圖法設計串聯滯后—超前校正裝置的基本步驟根據給定的動態指標，確定串聯超前校正部分的參數。根據給定的穩態指標，確定串聯滯后校正部分的參數。驗算性能指標。如果不滿足預期指標，視具體情況適當調整校正環節的參數。10.3Bode圖法反饋的作用1、比例負反饋可以減弱為其包圍環節的慣性，從而將擴展該環節的帶寬；2、負反饋可以減弱參數變化對系統性能的影響；3、負反饋可以消除系統不可變部分中的不希望有的特性；4、負反饋可以削弱非線性影響；5、正反饋可以提高反饋環路的增益。

在位置隨動系統中，常常采用速度反饋這種形式來提高系統的控制性能。反饋校正10.3Bode圖法設控制系統的方塊如下所示，其中為反饋校正環節

當時，內反饋環的傳遞函數為系統的開環傳遞函數為設計使上式與系統的期望幅頻特性的中頻段特性相一致設，為反饋增益，為微分的階次。

為放大環節，為積分環節，開環傳遞函數可構造為：10.3Bode圖法10.3Bode圖法1、根據給定期望閉環的時域指標求取期望的頻域指標2、根據開環期望頻率特性的頻域指標，確定系統的中頻段參數3、由于期望對數幅頻特性穿越0dB線，可得中頻段增益4、取中頻段的倒特性，即可求取校正環節的傳遞函數。反饋校正裝置的設計步驟10.3Bode圖法例10.3.8

火炮系統方框圖下所示。試設計反饋校正環節，以滿足下列要求：

10.4PID控制描述設連續PID控制器的傳遞函數為：

PID控制器具有簡單的控制結構，在實際應用中又較易于整定，因此它在工業過程控制中有著最廣泛的應用。大多數PID控制器是現場調節的，可以根據控制原理和控制效果對PID控制器進行精確而細致的現場調節。典型PID控制系統結構圖10.4PID控制1、比例控制結論：比例系數增大，閉環系統的靈敏度增加，穩態誤差減小，系統振蕩增強；比例系數超過某個值時，閉環系統可能變得不穩定。例10.4.1設被控對象的數學模型為分析比例、微分、積分控制對系統的影響。2、積分控制結論：可以提高系統的型別，使系統由有差變為無差；積分作用太強會導致閉環系統不穩定。比例、積分、微分控制作的分析3、微分控制

結論：微分具有預報作用，會使系統的超調量減小，響應時間變快。4、不完全微分控制

結論：解決了完全微分的物理實現性問題；當N=10的時候，不完全微分近似于完全微分作用；不完全微分解決了完全微分作用對階躍信號第一拍的輸出為無窮大，以后各拍微分作用的輸出為零的問題；10.4PID控制5、微分先行控制

結論：具有和完全微分相同的作用，改善了完全微分的不足：解決了完全微分控制對階躍性誤差信號（主要有階躍給定引起）在第一拍會輸出很大的控制量而在第一拍后微分作用都為零的問題。10.4