第5課

開放探索題第一部分講解部分一、專題詮釋開放探究型問題，可分為開放型問題和探究型問題兩類．開放型問題是相對于有明確條件和明確結論的封閉型問題而言的，它是條件或結論給定不完全答案不唯一的一類問題．這類試題已成為近年中考的熱點，重在考查同學們分析、探索能力以及思的發散性，但難度適中．根據其特征大致可分為：條件開放型、結論開放型、方法開放型和編制開型等四類．探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論，需要經過推斷，補充并加以證明的一問題．根據其特征大致可分為：條件探究型、結論探究型、規律探究型和存在性探究型等四類二、解題策略與解法精講由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意穎，構思精巧，具有相當的深度和難度，所以要求同學們在復習時，首先對于基礎知識一定要復習面，并力求扎實牢靠；其次是要加強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯系，選擇合適解題途徑完成最后的解答由于題型新穎合性強結構獨特等此類問題的一般解題思路并無固定模式套路，但是可以從以下幾個角度考慮：．利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從殊到一般，從而得出規律．．反演推理法（反證法設論成根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致．．分類討論法．當命題的題設和結論不惟一確定，難以統一解答時，則需要按可能現的情況做到既不重復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果．．類比猜想法．即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論解決方法，并加以嚴密的論證．以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略而具體操作時更注重數學思想方法的綜合運．三、考點精講（）放問考一條開型

條件開放題是指結論給定，條件未知或不全，需探求與結論相對應的條件．解這種開放問題的般思路是：由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發，逆向追索，逐步探求例江淮安）在四邊形ABCD中AB=DCAD=BC請再添加一個條件，使四邊形ABCD是形.你添加的條件是

.(寫出一種即分：已知兩組邊相等，如果其對角線相等可得到△≌△ABC≌ADC△BCD，而得到，∠=∠∠C=∠D=90°使四邊形是形．解若四邊形ABCD的角線相等，則由DCADBC可．△ABD≌△ABC≌BCD所以四邊形ABCD的個內角相等分別等于90°直角，所以四邊形ABCD是形，故答案為：對角線相等．評：題屬開放型題，考查的是形的判定，根據矩形的判定，關鍵是是要得到四個內角相等即直角．考二結開型給出問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論并且符合條件的結論往往呈現多樣性，這問題都是結論開放問題．這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、類比聯想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結論，然后經過論證作出取舍．例2津）已知一次函數的圖象經過點01滿足y隨的大而增大，則該一次函數的解析式可以為．分：設出一次函數的解析式，再根據一次函數的圖象經過點01可確定出的，再根據隨x的增大而增大確定出的號即可．解設次函數的解析式為：y+（k∵一次函數的圖象經過點0，∴b=1，∵y隨的增大而增大，∴k＞，故答案為y=+1（答案不唯一，可以是形如=kx，k＞的一次函數評：題考查的是一次函數的性質，即一次函數y=+b（≠0中k＞0y隨的大而增大，與軸交于（，b，b在y軸正半軸上．

考三條和論開的題此類問題沒有明確的條件和結論，并且符合條件的結論具有多樣性，因此必須認真觀察與思考將已知的信息集中分析挖掘問題成的條件或特定條件下的結論方面多度多層次探索條件結論，并進行證明或判斷．例32010玉）如圖，在平行四邊形ABCD中E是AD的點，請添加適當條件后，構造一對全等的三角形，并說明理由．分：先連接，再過D作DF∥BE交BC于F可構造全等三角ABE和．利用ABCD是平行四邊形，可得出兩個條件，再結合DEBF，BE∥DF，又可得一個平行四形，那么利用其性質，可得，結合=BC等量減等量差相等，可證AE，利用可三角形全等．解添加的條件是連接BE過D作DF∥交于F構的全等三角形是ABE與CDF理由：∵平行四邊形ABCDAE=ED∴在△與中，AB=CD∠=，又∵∥，∥BE，∴四邊形BFDE是行四邊形，∴DE，又=，∴AD﹣DE=﹣BF，即=CF∴△ABE案不唯一，也可增加其它條件）評：本題利用了平行四邊形的性和判定、全等三角形的判定、以及等量減等量差相等等知識．考四編開型

．．．．此類問題是指條件、結論、解題方法都不全或未知，而僅提供一種問題情境，需要我們補充條，設計結論，尋求解法的一類題，它更具有開放性．．．．．例年江蘇鹽城中考題）某校九年級兩個班各為樹地震災區捐款元已知班比人均捐款多2班人數比班人數少10%請你根據上述信息，就這兩個班級人數或人均捐款提一個用分式方程解決的題，并寫出解題過程．分：題的等量關系是：兩班捐款數之和為1800元班款數－班款數=4元1班數=班人數，從而提問解答即可．解解法一：求兩個班人均捐款各少元？設班人均捐款元則班人均捐款（x+4元，根據題意得1800xx解得x

經檢驗x原方程的根∴x答：1班均捐36，2班均捐元解法二：求兩個班人數各多少人？設1班有人則根據題意得1800x90x解得x，檢驗x=50是方程的根∴90答：1班50人，2班45人評：于此類編制開放型問題，是一類新型的開放型問題，它要求學生的思維較發散，寫出符合題意的正確答案即可，難度要求不大，但學生容易犯想當然的錯誤，敘述不夠準確，如單位的問、符合實際等要求，在解題中應該注意防范．（）究問考五動探型此類問題結論明確，而需探究發現使結論成立的條件的題目．例2011臨）如圖，將三角板放在正方形ABCD上使三角板的直角頂點與方形頂點A重合，三角扳的一邊交于點．一邊交CB的長于G．

）求證EF=EG；）如圖2移動三角板，使頂E始終在正方形ABCD的線AC上，其他條件不變結是否仍然成立？若成立，請給予明：若不成立．請說明理由：（3如圖，中的ABCD角一邊經過點他條不變，若AB=a、BC=b，

EFEG

的值．分）∠GEB+∠BEF∠DEF+∠BEF可DEF∠GEB，正方形的性質，可利用SAS證FED△GEB問題得證；（2）首先點E分作BC、CD的線，垂足分別為H，利用SAS證FEI，則問題得證；（3）首先過點E分作BC的線垂分為，得EM∥AD，可得△∽△CADCEM∽△CAB兩角對應相等的三角形相似GME∽△FNE，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．解）明∵∠GEB∠BEF∠DEF+∠BEF∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，△FED，=EG；（2）立．證明：如圖，過點E分別作BC的垂線，垂足分別為，則EH=EI∵∠GEH+∠HEF=90°∠HEF

∴∠IEF∠，∴eq\o\ac(△,Rt)FEI≌△，∴EF=；（3解：如圖，過點E分作、垂線，垂足分別為MN，則∠，∴EM∥．∴△∽，CEM∽△CAB∴

NECEEM

，∴

NEEM，即，ABABa∵∠+=GEM∠=90°，∴∠∠FEN∵∠=∠=90°，∴△∽△FNE∴

EFEGEM

，∴

EFEG

．評：題考查了正方形，矩形的性質，以及全等三角形與相似三形的判定與性質．此題綜合性較強，注意數形結合思想的應用．考六結探型此類問題給定條件但無明確結論或結論不惟一，而需探索發現與之相應的結論的題目．例6福省三明市）在矩形ABCD中點在AD，AB，AP．將直角尺的頂點放在處直角尺的兩邊分別交，BC點E，，接（圖①（1）當點與B重時，點F恰與點重（如圖②PC的；（2）探究：將直尺從圖②中的位置開，繞P順針旋轉，當點和點重時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：①PEF的值是否發生變化？請說明理由；②直接寫出從開始到停止，線段EF中點經過的路線長．

分）勾定理求，利用互余關系證明△∽△DCP利用相似比求PC（2）tan∠的值不變．過作⊥，足為G同1的方法證eq\o\ac(△,明)APB△，相似比PFGF=，利銳角三角函數的定義求值；AP1（3）如圖，畫出起始位置和終點位置時，線中點，O，接O，線段O即為線段11的中點經過的路線長，也就是BPC的位線．解）在矩形ABCD中∠A=∠=90°，AP，CD=，則PB，∴∠∠APB，又∵∠BPC=90°，∴∠∠DPC，∴∠∠DPC∴△∽，∴

1即CDPCPC

，∴PC=25；（2）tan∠的不變．理由：過F作FG⊥，垂足為，則四邊形ABFG是形，∴∠A∠PFG=90°，GF=2，∴∠∠APE，又∵∠EPF=90°，∴∠APE∠GPF=90°，

23n∴∠AEP∠GPF，23n∴△APEGPF，PFGF∴，∴eq\o\ac(△,Rt)，tan=∴PEF的值不變；

PF

=2，（3）線段中點經過的路線長為

．評：題考查了相似三角形的判與性質，矩形的性質，解直角三角形．關鍵是利用互余關系證明相似三角形．考七規探型規律探索問題是指由幾個具體結論通過類比、猜想、推理等一系列的數學思維過程，來探求一性結論的問題，解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全面、細致的觀察、分析、比，從中發現其變化的規律，并猜想出一般性的結論，然后再給出合理的證明或加以運.例7四成都）設

S1

11S=1S=122224

,…,

11Sn2(2設

S

SSS

，則S＝(用含n的代數式表示，其中正整數)．分：S

n(22[(22[nn22(2[n([(n

，求

S

，得出一般規律．解∵

S

n(2n[nnn[n(22(2[n(n2[n(

，

22∴

Sn

n(nn(nnn

，∴

S

112

1n(n22n故答案為：

n

2nn評：題考查了二次根式的化簡求值．關鍵是由變，得出一般規律，尋找抵規律．n考八存探型此類問題在一定的條件下，需探究發現某種數學關系是否存在的題目．例8（2011遼寧大連）如圖，拋物線y＝+bx經過（－1，0，0（）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點，△與PMB的積相等，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由；（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物上是否存在一點R，使△與△RMB的積相等，若存在，直接寫出點R的標；若不存在，說明理由．PCMA

O

B

圖15分）利用待定系數法求解）想求點標，Q到的離應該等于到MB的離，所以Q點該在經過P點平行于直線上，或者在這條直線關于BM對的直線上，因此，求出這兩條直線的解析式其拋物線交點即為所求點出R點標分用其橫坐標表示與△的積，利用相等列出方程即可求出R點標．

22112解得，22解）22112解得，22

2

（2∵y4∴P（，）：y，M，）（，：，當PQ∥時設：y1∵P（1，）在直線上∴PQ：1

yy解得，

22∴，3將向平移4個單位得到y

yy3317217yy22∴Q

17

，

317Q，）yPCMAOB

x（3存在，設的坐標為（x，∵P（14M，2∴

x）S

PQR

2x3)3)x

．．．．S

PQR

∵x

解得，x2（舍）1∴當x時，2∴（2，）PERMF

2

AO

G

MB

評：面積相等問題通常是利用過頂點的平行線完成；在表示面積問題時，對于邊不在特殊線上的通常要分割．四真演山東濰坊）一關的數同時滿足兩個條件：①象點；②當增大而減小，這個函數解析式_寫出一個即可2011山）如圖，四邊形是行四邊形，添加一條件：_______________________可使它成為矩形．ADBC（14題）

時．y隨的泰州“根彈簧原長10cm在彈性限度內最可掛質量為kg的體，掛物體后彈簧伸長的長度與所掛物體的質量成正比，

，則彈簧的總長度y（cm與所掛物體質量x（kg之間的函數關系式為y（0≤5王剛同學在閱讀上面材料時發現部分內容被墨跡污染，被污染的部分是確定函數關系式的一個件，你認為該條件可以是：（需寫出1個

2011廣西百色）已知矩形的角線相交于點ON分是OD上異于O、D的．（1）請你在下列條件DM，②OMON③MN是的位，MNAB中選一個添加條件（或添加一個你認為更滿意的其他條件四邊形ABNM為腰梯形，你添加條件是．（2）添加條件后，請證明四邊形是等梯形．第部練習分賀州）寫出一個正比例函數，使其圖象經過第二四象限：﹣x（答案不唯一）．分析：先設出此正比例函數的解析式，再根據正比例函數的圖象經過二、四象限確定出的號，再寫出符合條件的正比例函數即可．解答：解：湖南張家界）eq\o\ac(△,在)ABC中，=8AC=6在△中，，DF=3要使△與△相似，則需添加的一個條件是（寫出一種情況即可分析：解答：解：則需添加的一個條件是BC：1．∵在△ABC中=8=6，在△中，DE=4，DF，∴ABDE：1，：：，∵BC：：．∴△ABC∽．故答案為江蘇連云港中考題關的程x－＋＝0有數根m的可以為___________任意給出一個符合條件的值即可)

2011廣東湛江）如圖，點，CF，E在直線上，1=，=，1（填是或不是）∠2的頂角，要使△DEF還需添加一個條件，可以是_______（需寫出個）2011福省漳州市，19,8分如圖，∠，請在不增加輔助線的情況下添加一個適當的條件，使△ABCADE并證明．（1）添加的條件是；（2）證明：2010浙杭州中考題）給出下列命題：命題．點(是直線＝與曲線＝

1x

的一個交點命題．點(是直線＝2x與曲線＝

8x

的一個交點;命題．點(是直線＝3x與曲線＝…．

27x

的一個交點;（1請觀察上面命題，猜想出命題

(

是正整數)（2證明你猜想的命題是正確的．2011德州●觀察計算

當，時

a+b+與ab的小關系是＞ab．22當，時

a+b+與ab的小關系是=22

ab

．●探證明如圖所示，ABC為O的接三角形，為徑，過C作CD⊥AB于D設AD=a，=．（1）分別用a示線段，CD（2）探求與表式之間存在的關系（用含ab的式子表示●歸結論根據上面的觀察計算、探究證明，你能得出

a+ba+與的大小關系：≥ab．22●實應用要制作面積為平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．浙紹興）數學課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形ABC中點E在上點D在的延長線上，且ED=，如圖．試確定線段與DB的大小關系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情?探結論當點E為AB中點時圖定段AE與DB小關系你直接寫出結論=DB（填＞，“＜或=

2222（2）特例啟發，解答題目解：題目中AEDB的小關系是AE=DB（填＞，＜或=由下：如圖，過點E作EF，交AC于你成以下解答過程）（3）拓展結論，設計新題在等邊三角形中點E在線AB上點D在線上且．的邊長為1AE，求長（請你直接寫出結果★真題練參考答★析本的數沒有指定是什么具體的函數可從一次函數反比例函數二函數三方面考慮，只要符合條件①②即可．【答案】符合題意的函數解析式可以是=

x

，y－x，=－等題答案不唯一）故答案為：y=

x

，y－+3=－+5等．析有個角是直角的平行四邊形是矩形．想到添加＝90°；由角相等的平行四邊形是矩形．想到添加AC．【答案】∠ABC（或＝等）．解：根據彈簧的總長度（）與所掛物體質量x（）之間的函數關系式為yx（x）以得到：當x=1時彈簧總長為，當x=2時彈簧總長為cm…∴每增加千克重物彈簧伸長cm，故答案為：每增加1千重物彈簧伸長0.5cm．

22．解）擇=CN22（2）證明：=，ADM=∠，=∴△AND，∴AM，由OD=OC知OM=，∴

OMONODOC∴∥∥AB且MN∴四邊形ABNM是腰梯形．★練習分參考答★析】設此正例函數的解析式為=kx≠0∵此正比例函數的圖象經過二、四象限，∴k＜，∴符合條件的正比例函數解析式可以為=﹣x（答案不唯一【答案】故答案為：y=﹣x（答案不唯一．【分析】因為兩三角形三邊對應成比例，那么這兩個三角形就相似，從題目知道兩組個對應邊的比為2：，所以第三組也滿足這個例即可