1、目標函數以“max”或“min”開頭，max（或min）與目標函數表達式之間不能有“=”。lindo常用的基本語法

2、變量名的長度不超過8個字符，并且必須以英文字母開頭。英文字母不區分大小寫。3、目標函數與約束條件之間必須用“st”分開，并且“st”單獨一行。4、目標函數、各約束條件都必須以“回車鍵”結束，并且都應該是經過化簡后的表達式，所有字符必須是英文狀態下輸入的。5、lindo軟件已規定所有的決策變量均為非負數。6、變量與其系數之間可以有空格，乘號必須省略，式中不能有括號；約束條件的右端不能有決策變量,

左端不能有常數項；沒有下標,式中不能有分母，式中不能有“逗號”和“句號”等(說明語句除外)。常用的基本語法

7、約束條件中的符號“≥”用“>=”表示，

“≤”用“<=”表示，并且可以分別用“>”和“<”表示。8、輸入文件中的第一行默認為目標函數，可以用2),3)等標明各約束條件，便于從輸出結果中查找信息。以感嘆號“！”開始的是說明語句.9、程序最后以end結束，對于小型的規劃問題，end可以省略。

常用的基本語法

整數變量（例如：ginx1）和0-1變量(例如intx3)的約束放在end之后，此時end不能省略。10、如果所有的決策變量都是整數變量（假如有6個變量），則可以在end之后寫命令：

gin6

如果不是所有的決策變量都是整數變量，則不能采用此方法。

此時，如果省略end的話，整數變量、0-1變量等限制將不起作用。11、如果x1是整數變量，則應在end之后寫上命令：ginx1如果x1是0-1變量，則應在end之后寫上命令：intx1

如果所有的決策變量共有6個，并且所有的決策變量都是整數，則可以在end之后寫命令：gin6

如果x1，x2都是整數變量，但并不是所有的變量都是整數變量，則要寫成ginx1ginx2不能寫成ginx1,x2或ginx1;x24.2.1LINGO軟件使用格式(1)目標函數以“max=”或“min=”開頭，其后面是目標函數的表達式。(2)模型以“model：”開始，以“end”結束，

對簡單的模型，“model：”及“end”也可以省略。

lingo中的語句順序不重要，目標函數與約束條件有明顯的標志，不用加其它的符號。

lingo總是根據“max=”或“min=”語句尋找目標函數，而其它的語句都是約束語句和說明語句。

除了首行和末行外，每行以“；”結束。所有字符必須是英文狀態下輸入的。

1、LINGO使用規則LINGO軟件的使用規則（2）(3)乘號“*”不能省略，式中可以有括號，約束條件的右端可以有決策變量，沒有下標，式中不能有分母，式中不能有“逗號”和“句號”(說明語句和函數中的內容除外)

，故目標函數和各約束約束條件都可以是沒有經過化簡后的表達式。(4)英文字母不區分大小寫字母，

lingo中的變量名和行名可以超過8個字符，但不能超過32個字符，并且變量名必須以字母開頭，后面跟數字或字母。(5)lingo軟件已規定所有的決策變量均為非負數，（除非用限定變量取值范圍的函數@free或@bnd等另行說明）。LINGO軟件的使用規則（3）(6)約束條件中的符號“≥”用“>=”或“>”表示，“≤”用“<=”或“<”表示。(7)計算機把輸入程序中的第一行默認為目標函數，其它各約束條件可以用[_1],[_2]標明它的行號。

(8)雖然決策變量可以放在約束條件的右端，但為了提高Lingo的求解效率，應盡可能采用線性表達式定義目標函數和約束條件。(9)在lingo中以感嘆號“！”開始的是說明語句，并且說明語句也需要以分號“；”結束，并且除了“！”和“；”之外，說明語句中的其它字符可以是任何字符。LINGO軟件的使用規則（4）(10)lingo模型是由一系列語句組成的，即每個語句是組成lingo模型的基本部分，每個語句（目標、約束、說明語句等）都是以分號“；”結尾的，編寫程序時應注意保持模型的可讀性。例如：雖然lingo允許每行寫多個語句，也允許一個語句寫成幾行，但最好一行只寫一個語句，并且按照語句的嵌套關系對語句安排適當的縮進，增強層次感。LINGO軟件的使用規則（5）(11)在lingo中，以“@”開頭的都是函數調用，其中有：整型變量函數（@bin表示0-1變量，@gin表示整數變量）和上下界限定等函數（@free表示去掉非負限制，@bnd限定變量的上限、下限）。這些變量的限制要放在“end”之前，否則這些變量的限制將不起作用

。如果x1是整數變量，則應在end之前寫命令：@gin(x1);如果x1是0-1變量，則應在end之前寫命令：@bin(x1);如果所有的決策變量共有6個，并且所有的決策變量都是整數，不能寫命令：

@bin(6);等其它的命令如果x1，x2都是整數變量，并且不是所有的變量都是整數變量，則要寫成@gin(x1);@gin(x2);不能寫成@gin(x1,x2)或其它的命令練習：分別用lindo、lingo編寫下列數學模型的程序（1）可以用于求線性規劃及非線性規劃問題，包括非線性整數規劃問題。2、lingo的優點（2）lingo包含內置的建模語言（常稱矩陣生成器），允許以簡練、直觀的方式描述較大規模的優化模型（成千萬個約束條件和變量），

模型中所需的數據可以用一定格式保存在獨立的文件中，需要時再讀取數據。

在lindo中的目標函數最優值、最優解與靈敏度分析是一起顯示出來，

3、lingo中的靈敏度分析而在lingo中，最優解、最

優值與靈敏度分析是分別用不同的命令顯示出來。

lingo中的靈敏度分析的數據輸出結果與lindo中的靈敏性分析中輸出結果是相同的。

因為lingo的求解結果中是沒有靈敏度分析的，所以如果需要靈敏度分析的數據，可以通過修改選項來實現。

①先修改系統選項，啟動靈敏度分析通過修改選項得到靈敏度分析數據的步驟：執行“LINGO/options”菜單命令彈出“選項”對話框，在“General

solver”選項卡中，將其中左邊列的第二個選項“Dualcompulations”（對偶計算）選項的默認設置“prices”改為“pricesandRanges”（價格及范圍）后，先對規劃問題求解一次。②執行“LINGO/Range”菜單命令，運行后計算機則顯示只有靈敏度分析的數據。一般情況下，lingo得到的都是局部最優解，要得到全局最優解，

激活全局最優求解程序的步驟

則要激活全局最優求解程序，方法如下：執行“LINGO/Options”菜單命令彈出“選項框”對話框，在“GlobalSolver”選項卡上選擇“UseGlobalSolver”點確定即可。

由于全局最優求解程序花費的時間可能是很長的，所以為了減少計算工作量，我們應該盡量對變量等做進一步的限制。

1、運算符4.2.2

運算符及優先級（1）算術運算符：

+加-減*乘/除^乘方（開方）（2）邏輯運算符：邏輯運算結果只有真與假，在lingo中用1和0表示，邏輯運算符（表達式）通常作為過濾條件使用。

①#and#與，#or#或，#not#非②#eq#等于，#ne#不等于，#gt#大于，#ge#大于等于，#lt#小于，#le#小于等于

即：g—大于,e—等于,l—小于,t—不等于（3）關系運算符2、運算符的優先級<（或<=）=>(或>=)

#not#(負號)^

*/

+(減法)

#eq#，#ne#，#gt#，#ge#，#lt#，#le##and#與，#or#>=<

高

低

@sqrt(x)

4.2.3常用的函數在Lingo中，所有的系統函數都必須是以“@”開頭。1、數學函數@abs(x)

求絕對值函數，返回x的絕對值

@cos(x)

求余弦函數，返回x的余弦值，

x的單位是弧度@exp(x)

計算ex的值@log(x)

計算lnx

的值@pow(x,y)

計算xy的值@sqr(x)

計算x的平方計算x的平方根@size(A)

求矩陣A的元素個數2、集合循環函數集合循環函數是指對集合中的所有元素(下標)進行循環操作的函數，如@sum，@for等。

具體的使用格式：@循環函數名（循環變量所在的集(循環變量)│過濾條件：循環表達式)其中，如果在操作過程中沒有過濾條件，可以省略過濾條件；如果表達式是對集合的所有循環變量進行操作，循環變量也可以省略。集合循環函數：@for

是對集合的每個元素獨立地操作一次表達式，通常用于優化問題的約束條件；

@sum是求集合中表達式的和；

@prod是求集合中表達式的乘積；@max是求集合中表達式的最大值；

@min是求集合中表達式的最小值；

但如果是求目標函數的最大、最小值，則是用

“max=目標函數表達式”,“min=目標函數表達式”，

而不用寫@。

（1）@for

該函數用來產生對集成員的約束。@for函數允許只輸入一個約束條件，然后由lingo自動產生每個集成員的約束條件。例4-2

產生序列{1，4，9，16，25}model:

sets:

number/1..5/:x;!此命令產生一個變量x，是單下標變量，其下標有5個取值;

endsets

@for(number(i):x(i)=i^2);!此命令是對所有的下標i，分別求i2;

end（2）@sum

該函數返回遍歷指定的集成員的一個表達式的和。

例4-3

求向量[5，1，3，4，6，10]前5個數的和。model:

sets:

number/1..6/:x;

endsets

data:

x=5134610;!此命令給變量x具體的取值;

enddata

s=@sum(number(i)|i#le#5:x(i));

end3、變量定界函數變量定界函數是對變量的取值范圍附加限制。@bnd(A,x,B)：

是指限定變量x的取值為

A≤x≤B(在LINDO中無此函數)

@gin(x)：

限定變量x

的取值為整數；

@bin(x)：

限定變量x為0-1變量，@free(x)：

取消變量x的非負限制，即x可以取負數、0或正數，因為lingo原來默認所有的變量非負取值。

在lindo是用命令int，而在lingo中沒有@int(x)

；

4.2.4lingo計算輸出的結果

lingo計算的輸出結果與lindo計算的輸出結果是完全相同的，只是輸出的命令不相同。在lindo中，最優值、最優解，影子價格與靈敏度分析的數據可以同時輸出。而在lingo

中，靈敏度分析的數據只有通過修改選項才能輸出。lingo計算輸出結果例4-1的數學模型：model:

max=32*x1+30*x2;

3*x1+4*x2<=36;

5*x1+4*x2<=40;

9*x1+8*x2<=76;

end

輸出結果：Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:282.6667

Totalsolveriterations:3

VariableValueReducedCost

X11.3333330.000000

X28.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

1282.66671.000000

20.0000001.166667

31.3333330.000000

40.0000003.1666674.2.5關于lingo程序中的段一般來說，lingo中建立的優化模型可以由五部分來組成，或稱為五段。下面介紹常用的三段：集合段，數據段，目標和約束段

1、集合段（sets）：這部分要以“sets:”開始，以“endsets”結束。作用在于定義必要的集合及其元素。

屬性相當于變量或數組，集合的成員相當于下標。

1、集合段（sets）：具體使用格式是：集合名/集的成員/:屬性；ABD/1,2,3,4,5,6/:x,y;顯式羅列所有的成員ABD/1..6/:x,y;

隱式羅列所有的成員，中間的成員系統自動產生，只要列出集合的第一個和最后一個成員就行，但所有的成員必須是有規律的。不同的成員及不同的屬性之間，用“,”分隔。

集合的屬性相當于以集合的元素為下標的數組，

即屬性相當于變量，成員相當于下標。具體來說，ABD/1,2,3,4,5,6/:x,y；其集合名為ABD，屬性為x,y

成員為1，2，3，4，5，6定義以x,y為變量，下標分別為1，2，3，4，5，6的變量，即x1,

x2,x3,x4,x5,x6

y1,y2,y3,y4,y5,y6

屬性（變量）的具體值如果是常數，則應在數據段中輸入具體數據；如果是未知數（即決策變量），則在數據段中不能輸入數據，但可以在初始段輸入初值。集合的成員和屬性可以在定義時省略，隨后在數據段中輸入。關于集合的一些說明：

myfile/1..5/:a;

定義原始集合myfile，屬性a的成員有5個元素，即定義a是單下標變量，下標有5個取值，即a1,a2,a3,a4,a5。

myfoes/1..6/:b;

定義原始集合myfoes，屬性b的成員有6個元素，即定義b是單下標變量，下標有6個取值，即b1,b2,b3,b4,b5,b6。

myido(myfoes,myfile):x,c;

定義派生集合myido，屬性x和c的成員有30個元素，即定義x和c是雙下標變量，第1個下標有6個取值，第2個下標有5個取值。其中myfoes和myfile稱為派生集合的父集。例4-4model:

sets:

myfile/1..5/:a;

myfoes/1..6/:b;

myido(myfile,myfoes):x,c;

endsets

data:

c=1,2,-2,5,6,-4

2,3,-4,6,9,3

2,5,-1,5,-2,0

-5,6,7,9,10,-10

33,4,6,6,7,9;

a=100,200,100,100,400;

b=100,200,100,150,150,200;

enddatamin=@sum(myido(i,j):c(i,j)*x(i,j));

!產銷平衡運輸問題的目標函數;

@for(myfile(i):@sum(myfoes(j):x(i,j))=a(i));

!產銷平衡運輸問題產地的產量約束;

@for(myfoes(j):@sum(myfile(i):x(i,j))=b(j));

!產銷平衡運輸問題銷地的銷量約束;

end

2、數據段（data）：以“data:”開始，以“enddata”結束，作用在于對集合的屬性（數組或變量）輸入必要的常數數據。具體的使用格式為：

屬性（或變量）=常數列表；在常數列表中，數據之間用“，”分隔，也可以空格分開（“ctrl+回車”的作用也等價于一個空格），即變量（或屬性）是取等號右邊的常數．model:

sets:

ABD/1,2,3,4,5,6/:x,y;

endsets

data:

x=1,3,0,5,6,-7;

y=-3,4,29,58,3,10;

enddata

end在數據段中輸入數據時，可以分別輸入每個變量對應的數據，也可以同時輸入多個同維的變量的數據值。兩種輸入方法得到的結果相同例4-5等同于x,y=1,-3,3,4,0,29,5,58,6,3,-7,10;

3、目標和約束段：這部分實際上是定義目標函數、約束條件等，但這部分并沒有段的開始及結束的標記。

lingo的目標函數和約束條件，一般要用到循環函數：如求和函數@sum和循環函數@for等。

目標函數是求最大值或最小值.

max=目標函數;

或

min=目標函數;

約束條件的標志是：@for(約束條件);目標函數的標志是：

例如：

sets:

ABD/1,2,3,4,5,6/:X;

AB/1..3/:Y,D;

endsets（1）如程序中有約束條件：

在lingo程序中應該表示為:

@for(AB(j):@sum(ABD(i):x(i)*y(j))<=d(j));（2）如程序中有約束條件：

在lingo程序中應該表示為:

@for(AB(i):@sum(ABD(j):x(i)*y(j))<=d(i));循環變量：循環變量：先計算變量j

，再計算變量i.

先計算變量i，再計算變量j.

model:

sets:

myfile/1..5/:a;myfoes/1..6/:b;myido(myfile,myfoes):x,c;

endsets

data:

c=1,2,-2,5,6,-4

2,3,-4,6,9,3

2,5,-1,5,-2,0

-5,6,7,9,10,-10

33,4,6,6,7,9;

a=100,200,100,100,400;b=100,200,100,150,150,200;

enddata

min=@sum(myido(i,j):c(i,j)*x(i,j));

@for(myfile(i):@sum(myfoes(j):x(i,j))=a(i));@for(myfoes(j):@sum(myfile(i):x(i,j))=b(j));

end分析用lingo編寫的程序例4-6寫出下面規劃問題的lingo中用集合編寫的求解程序。如果線性規劃問題有最優解，請寫出最優解。

解：要寫出用lingo中集合的方法求解的程序，則應該先把規劃模型化為用求和形式表示的模型，

其中：

則該規劃問題的用求和形式表示的模型為：用求和形式表示的模型討論用集合表示的模型：其中：(1）變量c,x是單

下標，下標有3

個取值；變量b是單下標，下標有4個取值。對于單下標的變量，只要直接定義集合即可，即要定義兩個集合，一個有3個取值的，另一個有4個取值的。由于變量c,b,a已經有具體的數值，故必須在數據段中給出具體的取值；變量x沒有具體的數值，它是決策變量，故不能在數據段中給出具體的取值。討論用集合表示的模型：（2）變量a是雙

下標變量，下標共有4×3個取值，第1個i下標有4個取值，第2個下標j有3個取值。

對于雙下標的變量，必須定義派生集合。

它第1個父集是有4個取值，第2個父集是有3個取值。

變量a已經有具體的數值，它不是決

策變量，故必須在數據段中給出具體的取值。

上述數學模型用集合編寫的求解程序為：集合段

sets:

endsets

ab/1,2,3/:x,c;

abc/1,2,3,4/:b;

abcd(abc,ab):a;數據段

data:

enddata

c=8,10,2;

b=70,80,15,50;

a=2,1,3

4,2,2

3,0,1

2,2,0;目標函數

max=@sum(ab(j):c(j)*x(j));約束條件@for(abc(i):@sum(ab(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));

ab/1,2,3/:x,c;

abc/1,2,3,4/:b;

abcd(abc,ab):a;用集合表示的程序為：model:

sets:

ab/1,2,3/:x,c;

abc/1,2,3,4/:b;

abcd(abc,ab):a;

endsets

data:

c=8,10,2;

b=70,80,15,50;

a=2,1,34,2,23,0,12,2,0;

enddata

max=@sum(ab(j):c(j)*x(j));

@for(abc(i):@sum(ab(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));

endmodel:

sets:

ab/1,2,3/:x,c;

abc/1,2,3,4/:b;

abcd(abc,ab):a;

endsets

data:

c=8,10,2;

b=70,80,15,50;

a=2,1,34,2,23,0,12,2,0;

enddata

max=@sum(ab(j):c(j)*x(j));

@for(abc(i):@sum(ab(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));

end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:280.0000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX(1)0.0000002.666667X(2)25.000000.000000X(3)15.000000.000000利用軟件計算,可知:該數學規劃模型的最優解為最優值為：

（2）把規劃問題化為用求和形式表示的模型，其中：

該規劃問題用求和形式表示的模型為：該規劃問題用集合編寫的程序為：集合段

sets:

endsets

ab/1,2,3,4,5/:x,c;

abc/1,2,3/:b;

abcd(abc,ab):a;數據段

data:

enddata

c=3,-1,-1,0,0;

b=11,3,1;

a=1,-2,1,1,0

-4,1,2,0,-1

-2,0,1,0,0;目標函數

max=@sum(ab(j):c(j)*x(j));約束條件

@for(abc(i):@sum(ab(j):a(i,j)*x(j))=b(i));

ab/1,2,3,4,5/:x,c;

abc/1,2,3/:b;

abcd(abc,ab):a;model:

sets:

ab/1,2,3/:b;

abc/1,2,3,4,5/:c,x;

abcd(ab,abc):a;

endsets

data:

c=3,-1,-1,0,0;

b=11,3,1;

a=1,-2,1,1,0

-4,1,2,0,-1-2,0,1,0,0;

enddata

max=@sum(ab(j):c(j)*x(j));

@for(abc(i):@sum(ab(j):a(i,j)*x(j))=b(i));

end用集合表示的程序為：model:

sets:

ab/1,2,3/:b;

abc/1,2,3,4,5/:c,x;

abcd(ab,abc):a;

endsets

data:

c=3,-1,-1,0,0;

b=11,3,1;

a=1,-2,1,1,0

-4,1,2,0,-1

-2,0,1,0,0;

enddata

max=@sum(abc(j):c(j)*x(j));

@for(ab(i):@sum(abc(j):a(i,j)*x(j))=b(i));

end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:2.000000Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX(1)4.0000000.000000X(2)1.0000000.000000X(3)9.0000000.000000X(4)0.0000000.3333333X(5)0.0000000.3333333利用軟件計算可知:該數學規劃模型的最優解為最優值為：

2

用LINGO求解運輸問題:某產品有5個產地A1,A2,A3,A4,A5,它的產品供應6個銷地B1,B2,B3,B4,B5,B6,產地的產量、銷地的銷

量及產品從各產地運往各銷地的單位運價如下表：產地銷地B