第一章數制及編碼1.基r數制：用r個基本符號（0，1，2，3…r-1）表示數值，則稱其為基r數制。2.r稱為該數制的基。3.10進制的r=10，基本符號為0，1，2，3…94.二進制的r=2，基本符號為0，1不同進制，共同的特點1.每一種數制都有固定的符號集，如10進制的符號集有10個，為0～9；2進制的符號集有2個，為0～1.2.都使用權值表示，即處于不同位置的數符所代表的值不同，與它所在的位置的權值有關。進位制二進制八進制十進制十六進制規則逢二進一逢八進一逢十進一逢十六進一基數r=2r=8r=10r=16數符0，10～70～90～9，A，B，C，D，E，F權2i8i10i16i形式表示BODH二進制的運算法則1+1=10 1*1=11+0=1 1*0=00+1=1 0*1=00+0=0 0*0=0舉例：

110+011————————

1001數制中的權例如：十進制數

232=2*100+3*10+2*1所謂“權”是指同一個數字放在不同位置，它所代表的數的大小是不同的。在十進制中，個位、十位、百位，它們的權分別是100、101、102；在二進制中，各位置的權，分別是20，21，22，……2n例：110=1*22+1*21+0*20=4+2+0=6練習：011

1001

=3=91、二進制十進制數的轉換二進制數化為十進制方法：基數乘以權，然后相加。2.二進制編碼和二進制數據運算規則：

例：（1101.1101）2=？（1101.1101）2=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=8+4+1+0.25+0.0625=13.3125

要熟練記住位序號為0~11時各位的權；

1，2，4，8，16，32，64，128，256，1024，2048，4096對于十進制數化任意進制，通用的方法是：整數：除以R取余（R表示基數）小數：乘R取整

3.數制轉換（1）二（八、十六）進制與十進制數據轉換①十進制轉換為二進制整數部分：除2取余倒排

（37）10=

（？）2237…………1低位

218…………029…………124…………022…………021…………1高位

0(37)10=(100101)2小數部分：乘2取整順排例：(0.43)10=（?）20.43*200.86*210.72*210.44*200.88*210.76(0.43)10=(0.01101)2

混合小數：整數、小數分別轉換為十進制數后再合并例；（37.43）10=（100101.01101）2②十進制轉換為八進制

例：（1109）10=（？）8（0.385）10=（？）8

81109…………50.385*88138…………230.08*8817…………100.64*882…………250.120

（1109）10=（2125）8（0.385）10=（0.305）8

（1109.385）10=（2125.305）8③十進制轉換為十六進制與前述方法類似，只需乘除16即可。（2）二進制與八進制、十六進制的轉換二進制轉換為八進制，從小數點分別向左向右每3位二進制數分為一組（不夠3位需補0），每組對應一位八進制數。例（1100111.10101101）2=(147.532)8

二進制轉換為十六進制，從小數點分別向左向右每4位二進制數分為一組（不夠4位需補0），每組對應一位十六進制數。例（1100111.10101101）2=(67.AD)164.二進制數的運算規則(1)加法運算規則(2)減法運算規則（3）乘法運算規則

0+0=00-0=00*0=00+1=10-1=1（產生借位）0*1=01+0=11-0=11*0=01+1=0(產生進位)1-1=01*1=1

例:1101例：1101例：1101+)1001-）0111×）10011011001101101

0000

0000

1101

11101018進制轉換為10進制例如（374）8=3*82+3*81+3*80=3*64+7*8+4*1=192+56+4=252簡化運算：由于二進制只有兩個特殊數字0

和1，0乘任何數等于0，1乘任何數是這個數本身，所以二進制數化為十進制可以簡化。方法如下：在對應位置上寫上權，然后將數字0對應的權劃去，余下的相加。例：10018421相加得9練習：

110113110102611010052各種二進制碼和ASCII碼1.自然二進制碼2.二—十進制碼（BCD碼）3.ASCII碼1.自然二進制碼這種碼利用二進制按權展開的原則表示十進制數，它的權值自右至左增加。例如：（6）10=（0110）2

（17）10=（10001）2（短除法）自然二進制碼缺點：運算復雜，在實際中很少使用！8421碼8421碼是最基本、最常見的一種十進制數的二進制編碼形式。它是將十進制數的每個數字符號用四位二進制數碼來表示，每位都有固定的權值。因此，稱他為有權碼或加權碼。8421碼各位的權值為：8（23）、4（22）、2（21）、1（20）8421碼在8421碼中，有六種代碼（1010、1011、1100、1101、1110、1111）是不可能出現的，無意義代碼項。十進制轉換為8421碼的方法任何一個十進制數要寫成8421碼表示時，只要將對該十進制數的各位數字分別轉換成對應的8421碼即可。例如：把（253）D和（82.5）D分別用8421碼表示。例題：（253）D和（82.5）D解：253001001010011所以，（253）D=（001001010011）8421（82.5）D解：82.5100000100101所以，（82.5）D=（10000010.0101）84218421碼轉換為十進制數的方法將8421碼轉換為十進制數時，可采用分組的方法，自右向左每四個數碼分為一組，若最后不足四位，可在左邊補零。例題：把（00010100.1001）8421用十進制數表示。解：00010100.100114.9所以，（00010100.1001）8421=（14.9）D2421碼2421碼的特點：2421碼是另一種有權碼，它也是用四位二進制代碼表示一位十進制數，各位的權值由高到低分別為2，4，2，1.2421碼注意：在十進制數的2421碼中有六種碼（0101，0110，0111，1000，1010）不可能出現。十進制數轉換為2421碼的方法例題：將（3462）D用2421碼表示。解：34620011010011000010所以，（3462）D=（0011010011000010）24212421碼補充說明：2421碼具有對9的自補特性，是一種對9的自補代碼。例如：十進制數4的2421碼是0100，4對9的補是9-4=5，5的2421碼是1011.而0100與1011本身是對位取反，二者互為反碼。5421碼與2421碼、8421碼轉換的方法相同余三碼余三碼特點：余三碼也是利用四位二進制數代表一位十進制數。它是在相應的8421碼基礎上加0011（十進制數3）得到的，故稱余三碼。余三碼余三碼不可能出現的六種代碼（0000、0001、0010、1101、1110、1111）。余三碼也是一種對9的自補代碼，但各位沒有固定的權值，它是一種無權碼。為什么稱余三碼為無權碼？余三碼這種四位二進制碼的每一位都不代表任何數值，它只是利用碼的不同組合表示十進制數。例如：十進制數15用余三碼表示即01001000十進制數轉換為余三碼的方法例如：將（1986）D用余三碼表示解：19860100110010111001所以，（1986）D=（0100110010111001）余3碼常見的其他有權碼、無權碼：5211碼、7421碼、5311碼、余三循環碼、Watts碼（瓦特碼）等。格雷碼

格雷碼格雷碼(Graycode),又叫循環二進制碼或反射二進制碼。在數字系統中只能識別0和1，各種數據要轉換為二進制代碼才能進行處理，格雷碼是一種無權碼，采用絕對編碼方式。格雷碼屬于可靠性編碼，是一種錯誤最小化的編碼方式。格雷碼用格雷碼表示的一個數變成下一個相鄰數時，只要將該數的相應二進制代碼改變一位即可。十進制數自然二進制數格雷碼0000001100012100011311001041000110510101116110010171110100810001100910011101101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000格雷碼對照表：在角度測量和對步進電動機控制時，常采用另一種編碼稱為格雷碼。格雷碼的相鄰項之間存在著邏輯相鄰的關系，即相鄰項之間只有一位數碼的變化。格雷碼與余三碼都屬于無權碼奇偶校驗碼奇偶校驗碼是一種通過增加冗余位使得碼字中“1”的個數恒為奇數或偶數的編碼方法,它是一種檢錯碼。在實際使用時又可分為垂直奇偶校驗、水平奇偶校驗和水平垂直奇偶校驗等幾種。奇偶校驗碼二進制數碼信息在傳送時，可能會發生錯誤，即有的1錯成0，或有的0錯成1。奇偶校驗碼是一種具有檢驗這種差錯的代碼。它由兩部分組成(信息位和校驗位)。信息位信息位有若干個，是用來傳送信息的，可以是位數不限的二進制代碼組。例如：并行傳送8421碼，信息位是4位。奇偶校驗碼校驗位奇偶校驗位僅為一位。它的編碼有兩種方式：使一個代碼組中的信息位中“1”的總個數為奇數的叫奇校驗；“1”的總個數為偶數的叫偶校驗。1的總個數為奇數1的總個數為偶數！注意！在表1-7中，偶校驗時，十進制數0的奇偶校驗碼都是0；奇校驗時，任何十進制數的奇偶校驗碼中至少有一位“1”。奇偶校驗碼--補充說明奇偶校驗碼只能檢驗一位代碼出錯的情況，如果奇偶校驗碼發生了雙錯（兩位出錯），奇偶校驗不可能查出來。返回二—十進制碼（BCD碼）二進制編碼的十進制數的含義：把十進制數的每一位分別寫成二進制形式的編碼，即為二進制編碼的十進制數（BCD編碼）。BCD編碼方法，通常采用8421編碼。其方法是：使用四位二進制數表示一位十進制數，四位二進制數b3b2b1b0，從左到右每一位對應的權分別是23，22，21，20，即8、4、2、1權或位權每位二進制數所代表的十進制數