Zoeppritz方程的推導一．波函數設有一平面諧縱波入射到兩種半無限彈性介質的分界面上。在這種情況下，波不僅會折回到入射介質中傳播，而且會透射到另一種介質中傳播；即同時存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含縱波和橫波兩種成份。P波在介質分界面上的反射和透射情況如圖所示：關于位函數我們首先看：沿任意方向傳播的平面波。設是一個任意取定的單位方向矢量。（1）下面來看沿方向的平面波，或稱三維平面波的波函數形式。三維平面波的波函數滿足三維波動方程，即：（2）這里我們通過和一維平面波函數類比，可以得出三維平面波函數的形式。我們知道，在一維平面波的情況下，空間任意一點上的波函數值只取決于。于是沿正方向傳播的平面波的波函數為。其中的實際上是從原點至點所在波面的垂直距離，即（一維平面波的傳播方向的單位矢量為。在三維平面波情況下，這一距離應為。因此，將一維平面波函數中的以代替應該可以得到三維平面波的波函數）即：（3）同一維平面波一樣，式中的為波沿方向的傳播時間。代表一個沿的正方向傳播的平面波。同理，代表一個沿的負方向傳播的平面波，在一般情況下，沿任意方向傳播的平面波的波函數可寫成：（4）二．平面簡諧波：平面簡諧波是是波函數為簡諧形式的平面波，也是數學上最容易處理的一種波。因此，在研究波的傳播問題時經常使用簡諧波假定。沿正方向傳播的平面簡諧波的波函數可寫成：

（5）或（6）上面兩式分別代表的是余弦形式和正弦形式的平面簡諧波。我們最常使用的是指數形式的平面簡諧波（7）通過取上式的實部或虛部即可得到余弦形式或正弦形式的平面簡諧波的波函數。上面各波函數中的稱為波的振幅，因為波函數值總是在和之間變化。下面討論波函數中其他各量的意義及它們之間的關系。為此，首先“固定”時間變量以考查波剖面的情況。不難驗證，（8）這表明，波剖面的值每隔距離重復一次。因此我們將這個量稱為波長，記為，同時，把稱為波數。可見波數就是距離內所含的波長個數。再“固定”空間變量以考查振動圖的情況。容易看出，（9）這說明，振動圖的值每隔時間重復一次。因此將這個量稱作周期，記為，由此可見，周期即為波傳播一個波長距離所用的時間。另外，其中和分別為頻率和圓頻率。利用上面得到的各量之間的關系，可將平面簡諧波的波函數寫成如下等價形式：

（10）沿任意方向傳播的平面簡諧波的波函數可寫為（11）因此二維平面波的波函數可以寫成：=（12）我們可以寫出入射P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函數：（13）（14）(15)(16)(17)上式中，，，（18）且有（19）由此可得反射和透射定律（斯奈爾定律）如下：（20）另外，由圖可見：，，，，在介質I中，總的位函數為（21）（22）在介質中，總的位函數為（23）（24）三．邊界條件我們知道，介質分界面處的邊界條件為位移連續和應力連續。因此，可寫出本問題的邊界條件如下：在Z=0處（25）四．位移連續：地震波在傳播過程中質點振動的位移可以分解為其標量位的梯度與與其矢量位的旋度之和的形式，有：（26）同時（27）設（28）將式（26）按梯度和旋度公式展開，得到的3個分量為：（29）研究空間傳播的平面波時，一般情況下選擇直角坐標系，可使得波前面與一個坐標軸（如軸）平行，此時方向余弦。這樣，波前面在軸方向上無限延伸，波函數與坐標無關，于是有此時，式（29）中對的導數項變為0，則式（29）變為：（30）這說明位移分量可以分為兩部分其中一部分時位于平面內的位移分量和，它們只與和有關，含有波和波成份；另一部分是垂直于平面的位移分量，它只與和有關。且只含有波成份。這一結果表明，可將波和波作為一組與波分開來處理。我們在討論波和波時使用位函數和然后由（30）式過渡到位移。為簡單起見，記。（31）和滿足下面的波動方程：（32）五．應力連續：首先由虎克定律有：（33）（34）虎克定律闡述了應力和應變的關系。再看應變的定義式：（35）（36）應變的定義式闡述了應變和位移的關系。再由位移和位移位的關系式：（37）體應變的關系式：（38）（39）（40）由以上各式可得到：將（37）式代入上式得到：式中：，故而故所以而（波函數滿足波動方程）故（41）=（42）六．反射系數和透射系數以下的工作是使波函數滿足上面的邊界條件，為此將（21）~（24）式代入（25）式，并整理。首先代（25）式的第一式有：由于故上式變為：將，，，，并且代入上式：（43）代入（25）式的二式有：由于故上式變為：，，，，，，，且故：(44)應力連續故代入(25)式第三式有：=+因為，，，，，，，，且，故上式變為：=(45)代入(25)式的四式：=由于，，，，，，，，，，且，故上式變為：（46）聯立（43）（44）（45）（46）有（47）由斯奈爾定律可得：代入（47）式中的第三式，并將其方程組的各項同除，得（48）此方程組稱為（Knott）方程，它反映了各波的位函數振幅之間的關系。其中的、、和分別為P波的反射系數，SV波的反射系數，P波的透射系數，SV波的透射系數。上述的反射