PAGEPAGE7直線與圓的方程的應用基礎鞏固一、選擇題1．一輛卡車寬1.6m，要經過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過()A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0m[答案]B[解析]圓半徑OA＝3.6，卡車寬1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝eq\r(3.62－0.82)≈3.5(m)．2．已知實數x，y滿足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，則x2＋y2的最小值是()A．30－10eq\r(5) B．5－eq\r(5)C．5 D．25[答案]A[解析]eq\r(x2＋y2)為圓上一點到原點的距離．圓心到原點的距離d＝eq\r(5)，半徑為5，所以最小值為(5－eq\r(5))2＝30－10eq\r(5).3．方程y＝－eq\r(4－x2)對應的曲線是()[答案]A[解析]由方程y＝－eq\r(4－x2)得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝4在x軸上和以下的部分．4．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(3π,2) D．π[答案]D[解析]數形結合，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).5．點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點，則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值等于()A．24 B．16C．8 D．4[答案]C[解析]∵四邊形PAOB的面積S＝2×eq\f(1,2)|PA|×|OA|＝2eq\r(OP2－OA2)＝2eq\r(OP2－4)，∴當直線OP垂直直線2x＋y＋10＝0時，其面積S最小．6．臺風中心從A地以每小時20km的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區為危險地區，城市B在A的正東40km外，B城市處于危險區內的時間為()A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h[答案]B[解析]建系后寫出直線和圓的方程，求得弦長為20千米，故處于危險區內的時間為eq\f(20,20)＝1(h)．二、填空題7．已知實數x，y滿足x2＋y2＝1，則eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍為__________________.[答案][eq\f(3,4)，＋∞)[思路圖解][解析]如圖所示，設P(x，y)是圓x2＋y2＝1上的點，則eq\f(y＋2,x＋1)表示過P(x，y)和Q(－1，－2)兩點的直線PQ的斜率，過點Q作圓的兩條切線QA，QB，由圖可知QB⊥x軸，kQB不存在，且kQP≥kQA．設切線QA的斜率為k，則它的方程為y＋2＝k(x＋1)，由圓心到QA的距離為1，得eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍是[eq\f(3,4)，＋∞)．[規律方法]若直線與圓相切，且點(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，則可設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0.因為直線與圓相切，所以有eq\f(|ka－b＋y0－kx0|,\r(k2＋1))＝r，由此解出k.若此方程有一個實根，則還有一條斜率不存在的切線，一定要加上．8．已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數b的取值范圍是________.[答案](－3,3eq\r(2)][解析]數形結合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示)．結合圖形不難求得，當－3＜b≤3eq\r(2)時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y＞0)有公共點．三、解答題9.為了適應市場需要，某地準備建一個圓形生豬儲備基地(如右圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7km到達公路上的點B；從基地中心O向正北走8km到達公路的另一點C．現準備在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．[分析]eq\x(\a\al(建立適當的,直角坐標系))→eq\x(\a\al(求圓與直,線的方程))→eq\x(\a\al(利用直線與圓的,位置關系求解))[解析]以O為坐標原點，過OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，則圓O的方程為x2＋y2＝1，因為點B(8,0)，C(0,8)，所以直線BC的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋y＝8.當點D選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓相切所成切點處時，DE為最短距離，此時DE的最小值為eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.[點評]若直線與圓相離，圓心到直線的距離為d，半徑長為r，則圓上一點到直線距離的最大值為d＋r，最小值為d－r.與已知直線平行的直線和圓相切所成的切點就是對應取得最大值和最小值的點．規律總結：坐標法是研究與平面圖形有關的實際問題的有效手段，因此要建立適當的平面直角坐標系，用直線與圓的方程解決問題．建立平面直角坐標系時要盡可能有利于簡化運算，10．某圓拱橋的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長．(精確到0.01m)[解析]如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，那么點A，B，P的坐標分別為(－18,0)，(18,0)，(0,6)．設圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A，B，P在此圓上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(182－18D＋F＝0.,182＋18D＋F＝0，,62＋6E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝48，,F＝－324.))故圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.將點P2的橫坐標x＝6代入上式，解得y＝－24＋12eq\r(6).答：支柱A2P2的長約為12eq\r(6)－24.[點評]在實際問題中，遇到有關直線和圓的問題，通常建立坐標系，利用坐標法解決．建立適當的直角坐標系應遵循三點：①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸；②常選特殊點作為直角坐標系的原點；盡量使已知點位于坐標軸上．建立適當的直角坐標系，會簡化運算過程．能力提升一、選擇題1．已知圓C的方程是x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為()A．9 B．14C．14－6eq\r(5) D．14＋6eq\r(5)[答案]D[解析]圓C的標準方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝9，圓心為C(－2,1)，半徑為3.|OC|＝eq\r(5)，圓上一點(x，y)到原點的距離的最大值為3＋eq\r(5)，x2＋y2表示圓上的一點(x，y)到原點的距離的平方，最大值為(3＋eq\r(5))2＝14＋6eq\r(5).2．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數k的范圍是()A．k＝－eq\r(2) B．k∈(－eq\r(2)，eq\r(2))C．k∈[－1,1) D．k＝eq\r(2)或－1≤k<1[答案]D[解析]由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0只有一個交點．結合圖形易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).3．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)[答案]B[解析]圓心坐標是(3,4)，半徑是5，圓心到點(3,5)的距離為1，根據題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×AC×BD＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).4．在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為()A．eq\f(4,5)π B．eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D．eq\f(5,4)π[答案]A[解析]原點O到直線2x＋y－4＝0的距離為d，則d＝eq\f(4,\r(5))，點C到直線2x＋y－4＝0的距離是圓的半徑r，由題知C是AB的中點，又以斜邊為直徑的圓過直角頂點，則在直角△AOB中，圓C過原點O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小為eq\f(2,\r(5))，面積最小為eq\f(4π,5)，故選A．二、填空題5．某公司有A、B兩個景點，位于一條小路(直道)的同側，分別距小路eq\r(2)km和2eq\r(2)km，且A、B景點間相距2km，今欲在該小路上設一觀景點，使兩景點在同時進入視線時有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景點應設于________.[答案]B景點在小路的投影處[解析]所選觀景點應使對兩景點的視角最大．由平面幾何知識，該點應是過A、B兩點的圓與小路所在的直線相切時的切點，以小路所在直線為x軸，過B點與x軸垂直的直線為y軸上建立直角坐標系．由題意，得A(eq\r(2)，eq\r(2))、B(0,2eq\r(2))，設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由A、B在圓上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝5\r(2)，))由實際意義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2).))∴圓的方程為x2＋(y－eq\r(2))2＝2，切點為(0,0)，∴觀景點應設在B景點在小路的投影處．6．設集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在實數t，使得A∩B≠?，則實數a的取值范圍是________.[答案][0，eq\f(4,3)][解析]首先集合A，B實際上是圓上的點的集合，即A，B表示兩個圓，A∩B≠?說明這兩個圓相交或相切(有公共點)，由于兩圓半徑都是1，因此兩圓圓心距不大于半徑之和2，即eq\r(t－42＋at－22)≤2，整理成關于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，據題意此不等式有實解，因此其判別式不小于零，即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤eq\f(4,3).三、解答題7.如圖，已知一艘海監船O上配有雷達，其監測范圍是半徑為25km的圓形區域，一艘外籍輪船從位于海監船正東40km的A處出發，徑直駛向位于海監船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監船監測到？若能，持續時間多長？(要求用坐標法)[解析]如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監船監測到．設監測時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝eq\f(1,2)(h)答：外籍輪船能被海監船監測到，時間是0.5h.8．有一種大型商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運回來，每公里的運費A地是B地的兩倍，若A、B兩地相距10km，顧客選擇A地或B地購買這種商品的運費和價格的總費用較低，那么不同地點的居民應如何選擇購買此商品的地點？[解析]以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐