2022山西省朔州市北曹山中學高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設隨機變量，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.設雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.如右圖，是的直徑，是圓周上不同于、的任意一點，平面，則四面體的四個面中，直角三角形的個數有（

）A．個

B．個

C．個

D．個

參考答案：A4.我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一問題：“今有蒲生一日，長三尺。莞生一日，長一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。問幾何日而長等？”（蒲常指一種多年生草本植物，莞指水蔥一類的植物）現欲知幾日后，莞高超過蒲高一倍．為了解決這個新問題，設計右面的程序框圖，輸入，．那么在①處應填（

）

A．B．C．D．參考答案：B5.不等式的解集是（）A.

B.C.

D.參考答案：D略6.設函數f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[） B．[） C．[） D．[）參考答案：D【考點】6D：利用導數研究函數的極值；51：函數的零點．【分析】設g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，問題轉化為存在唯一的整數x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，求導數可得函數的極值，數形結合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關于a的不等式組可得．【解答】解：設g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由題意知存在唯一的整數x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴當x＜﹣時，g′（x）＜0，當x＞﹣時，g′（x）＞0，∴當x=﹣時，g（x）取最小值﹣2，當x=0時，g（0）=﹣1，當x=1時，g（1）=e＞0，直線y=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故選：D7.拋物線的焦點坐標為（

）． A． B． C． D．參考答案：B解：拋物線焦點在軸上，坐標為．故選．8.函數的定義域為開區間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：A略9.數列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式為

（

）A

B

C

D

參考答案：B10.下表提供了某廠節能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸）的幾組對應數據34562.544.5根據上表提供的數據，求出關于的線性回歸方程為，那么表中的值為（

）A.

3

B.

3.15

C.3.5

D.

4.5參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設Sn是數列{an}的前n項和，且，，則Sn=__________．參考答案：原式為，整理為：，即，即數列是以-1為首項，-1為公差的等差的數列，所以，即.【點睛】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當時構造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.12.（幾何證明選講選做題）在梯形中，，，，點、分別在、上，且，若，則的長為

．參考答案：略13.在社會主義新農村建設中，某市決定在一個鄉鎮投資農產品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個項目，據預測，三個項目成功的概率分別為，，，且三個項目是否成功互相獨立.則至少有一個項目成功的概率為_______．參考答案：【分析】首先求出對立事件的概率，根據對立事件概率公式求得結果.【詳解】記事件為“至少有一個項目成功”，則本題正確選項：【點睛】本題考查對立事件概率的求解問題，屬于基礎題.14.如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是___________(寫出所有正確命題的編號).①當時,S為四邊形;②當時,S不為等腰梯形;③當時,S與的交點R滿足;④當時,S為六邊形;

⑤當時,S的面積為.參考答案：①③⑤15.如圖，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直線l上的兩點，C，D是平面β內的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一動點，且直線PD，PC與平面α所成角相等，則二面角P﹣BC﹣D的余弦值的最小值是．參考答案：

【考點】二面角的平面角及求法．【分析】∠PBA為所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出=，求出P在α內的軌跡，根據軌跡的特點求出∠PBA的最大值對應的余弦值．【解答】解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD?β，∴AD⊥α，同理：BC⊥α．∴∠DPA為直線PD與平面α所成的角，∠CPB為直線PC與平面α所成的角，∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°∴△DAP∽△CPB，∴=．在平面α內，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則A（﹣2，0），B（2，0）．設P（x，y），（y＞0）∴2=，整理得（x+）2+y2=，∴P點在平面α內的軌跡為以M（﹣，0）為圓心，以為半徑的上半圓．∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，∴∠PBA為二面角P﹣BC﹣D的平面角．∴當PB與圓相切時，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．此時PM=，MB=，MP⊥PB，∴PB=．cos∠PBA==．故答案為．16.已知命題：，，那么命題為____________________________.參考答案：，17.已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），λ+與垂直，則λ=

．參考答案：﹣1考點：數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．專題：計算題．分析：先求出互相垂直的2個向量的坐標，再利用這2個向量的數量積等于0，求出待定系數λ的值．解答： 解：，（）?（λ+4）×1+（﹣3λ﹣2）×（﹣3）=0?λ=﹣1，故答案為﹣1．點評：本題考查2個向量坐標形式的運算法則，及2個向量垂直的條件是他們的數量積等于0．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=lnx﹣x+﹣1．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）設g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數b的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；函數恒成立問題．【分析】（Ⅰ）求f′（x），在函數定義域內利用導數與函數單調性關系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．（Ⅱ）由題意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可轉化為f（x）min≥g（x）max，或分離出參數后再求函數最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx﹣x+﹣1的定義域是（0，+∞）．f′（x）==，由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，故函數f（x）的單調遞增區間是（1，3）；單調遞減區間是（0，1），（3，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，所以當x∈（0，2）時，，對任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，問題等價于﹣≥g（x）對任意x∈[1，2]恒成立，即恒成立．不等式可變為b，因為x∈[1，2]，所以，當且僅當，即x=時取等號．所以b，故實數b的取值范圍是（]．19.在數列{an}中，,（I）設bn=，求數列{bn}及{an}的通項公式（II）求數列{an}的前n項和Sn.參考答案：（I）由已知有則()又，得（II）由（I）知,令則兩式相減得==20.已知⊙C過點P（1，1），且與⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）設Q為⊙C上的一個動點，求的最小值；（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．參考答案：考點：圓與圓的位置關系及其判定．專題：計算題；壓軸題．分析：（Ⅰ）設圓心的坐標，利用對稱的特征：①點與對稱點連線的中點在對稱軸上；②點與對稱點連線的斜率與對稱軸的斜率之積等于﹣1，求出圓心坐標，又⊙C過點P（1，1），可得半徑，從而寫出⊙C方程．（Ⅱ）設Q的坐標，用坐標表示兩個向量的數量積，化簡后再進行三角代換，可得其最小值．（Ⅲ）設出直線PA和直線PB的方程，將它們分別與⊙C的方程聯立方程組，并化為關于x的一元二次方程，由x=1一定是該方程的解，可求得A，B的橫坐標（用k表示的），化簡直線AB的斜率，將此斜率與直線OP的斜率作對比，得出結論．解答：解：（Ⅰ）設圓心C（a，b），則，解得（3分）則圓C的方程為x2+y2=r2，將點P的坐標代入得r2=2，故圓C的方程為x2+y2=2（5分）（Ⅱ）設Q（x，y），則x2+y2=2，（7分）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣時，2sin（θ+）=﹣2，所以的最小值為﹣2﹣2=﹣4．（10分）（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，故可設PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0（11分）因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得（13分）同理，，所以=kOP，所以，直線AB和OP一定平行（15分）點評：本題考查圓的標準方程的求法，兩個向量的數量積公式的應用，直線與圓的位置關系的應用．21.長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB=BC=2，O是底面對角線的交點．（Ⅰ）求證：B1D1∥平面BC1D；（Ⅱ）求證：A1O⊥平面BC1D．參考答案：【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】證明題．【分析】（Ⅰ）欲證B1D1∥平面BC1D，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證B1D1與平面BC1D內一直線平行，而B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外，滿足定理所需條件；（Ⅱ）欲證A1O⊥平面BC1D，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證A1O與平面BC1D內兩相交直線垂直，連接OC1，根據線面垂直的性質可知A1O⊥BD，根據勾股定理可知A1O⊥OC1，滿足定理所需條件．【解答】（Ⅰ）證明：依題意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．∴B1D1∥平面BC1D（Ⅱ）證明：連接OC1∵BD⊥AC，AA1⊥BD∴BD⊥平面ACC1A1又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上∴A1O⊥BD∵AB=BC=2∴∴∴Rt△AA1O中，同理：OC1=2∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12∴A1O⊥OC1∴A1O⊥平面BC1D【點評】本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．22.某城市隨機抽取一年內100天的空氣質量指數API的監測數據，結果統計如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空氣質量優良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數413183091115（1）若某企業每天由空氣污染造成的經濟損失S（單位：元）與空氣質量指數API（記為ω）的關系式為：S=，試估計在本年內隨機抽取一天，該天經濟損失S大于200元且不超過600元的概率；（2）若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=

非重度污染重度污染合計供暖季22830非供暖季63770合計8515100參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用．【分析】（1）