2021-2022學年河北省保定市涿州第一中學高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設實數，滿足，，，則下列不等式一定成立的是A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C2.命題“”的否定是（

）A．

B．C．

D．參考答案：B3.已知平行四邊形中，,則等于（

）A．1 B．

C．2 D．參考答案：C4.在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D考點：三角函數的定義．5.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0），直線l：y=2x﹣2，若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經過C的一個頂點，則雙曲線C的焦點到漸近線的距離為（）A．1 B．2 C． D．4參考答案：B【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線的方程分析可得其焦點位置以及漸近線方程，結合題意分析有=2，求出直線l與x軸交點坐標，即可得雙曲線C的一個頂點坐標，即a的值，計算可得b的值，又由雙曲線的焦點到漸近線的距離等于b，即可得答案．【解答】解：根據題意，雙曲線C的方程為﹣=1（a＞0，b＞0），其焦點在x軸上，其漸近線方程y=±x，又由直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，則有=2，直線l：y=2x﹣2與x軸交點坐標為（1，0），即雙曲線C的一個頂點坐標為（1，0），即a=1，則b=2a=2，故雙曲線C的焦點到漸近線的距離為2；故選：B．6.設函數的定義域為，是的極小值點,以下結論一定正確的是A． B．是的極大值點C．是的極小值點 D．是的極大值點參考答案：D略7.函數f(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的解析式可以是（）參考答案：C8.已知集合M＝{x|（x＋3）（x－1）＜0}，N＝{x|x≤－3}，則R（M∪N）＝（

）

A．{x|x≤1}

B．{x|x≥1}

C．{x|x＜1}

D．{x|x＞1}參考答案：B略9.偶函數滿足，且在時，則關于x的方程在

上解的個數是

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D由得，所以函數的周期為4，又，所以函數關于對稱，作出函數和的圖象，由圖象可知，兩個圖象的交點有4，即方程在上的解的個數為4個，選D.10.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是A． B． C． D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知、分別是函數的最大值、最小值，則.參考答案：2略12.（5分）直線y=x被圓x2+（y﹣2）2=4截得的弦長為．參考答案：【考點】：直線與圓相交的性質．【專題】：直線與圓．【分析】：確定圓的圓心坐標與半徑，求得圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理構造直角三角形，即可求得弦長．解：圓x2+（y﹣2）2=4的圓心坐標為（0，2），半徑為2∵圓心到直線y=x的距離為∴直線y=x被圓x2+（y﹣2）2=4截得的弦長為2=故答案為：【點評】：本題考查直線與圓相交，考查圓的弦長，解題的關鍵是求得圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理構造直角三角形求得弦長．13.設函數，其中，則的展開式中的系數為_______參考答案：1514.對于三次函數，定義：設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.有同學發現“任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心；且“拐點”就是對稱中心.”請你根據這一發現，函數對稱中心為

；參考答案：15.設函數，則不等式的解集為

.參考答案：【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學有關方程與代數的基本知識.【知識內容】方程與代數/不等式/含有絕對值的不等式的解法.【試題分析】即，所以，故答案為.16.已知實數x,y滿足，如果目標函數z＝x－y的最小值為－1，則實數m等于_______________．參考答案：5略17.若，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=x﹣a（x+1）ln（x+1），（x＞﹣1，a≥0）（Ⅰ）求f（x）的單調區間；（Ⅱ）當a=1時，若方程f（x）=t在上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；（Ⅲ）證明：當m＞n＞0時，（1+m）n＜（1+n）m．參考答案：【考點】不等式的證明；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）求導數，再利用導數大于0，求函數的單調區間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上單調遞增，在[0，1]上單調遞減可得解（Ⅲ）根據要證明的結論，利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數，構造函數，問題轉化為只要證明函數在一個范圍上成立，利用導數證明函數的性質．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1﹣aln（x+1）﹣a①a=0時，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數

…②當a＞0時，f（x）在上遞增，在單調遞減．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在上單調遞增，在[0，1]上單調遞減又∴∴當時，方程f（x）=t有兩解

…（Ⅲ）要證：（1+m）n＜（1+n）m只需證nln（1+m）＜mln（1+n），只需證：設，則…由（Ⅰ）知x﹣（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調遞減

…∴x﹣（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數，而m＞n∴g（m）＜g（n），故原不等式成立．

…19.橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．參考答案：解：（1）由題意設橢圓的標準方程為，由已知得：，橢圓的標準方程為．

4分（2）設．聯立得，則

8分又．因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，，即．．．．解得：，且均滿足．當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；當時，的方程為，直線過定點．所以，直線過定點，定點坐標為．

14分

略20.已知矩陣A=，A的逆矩陣A﹣1=（1）求a，b的值；

（2）求A的特征值．參考答案：解：（1）因為AA﹣1===，所以解得a=1，b=﹣．

…（5分）（2）由（1）得A=則A的特征多項式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…（10分）考點：特征向量的定義；逆矩陣的意義．專題：選作題；矩陣和變換．分析：（1）利用矩陣A=，A的逆矩陣A﹣1=，建立方程組，求a，b的值；

（2）確定A的特征多項式，可求A的特征值．解答：解：（1）因為AA﹣1===，所以解得a=1，b=﹣．

…（5分）（2）由（1）得A=則A的特征多項式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=1，λ2=3．…（10分）點評：本題考查逆變換與逆矩陣，本題是一個基礎題，解題的關鍵是記住公式，代入數據時，不要出錯21.已知函數，.（Ⅰ）若曲線與曲線在公共點處有共同的切線，求實數的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問函數是否有零點？如果有，求出該零點；若沒有，請說明理由.參考答案：（Ⅰ）函數的定義域為，，設曲線與曲線公共點為由于在公共點處有共同的切線，所以，解得，.由可得.聯立解得.（Ⅱ）函數是否有零點，轉化為函數與函數在區間是否有交點，，可得，令，解得，此時函數單調遞增；令，解得，此時函數單調遞減.∴當時，函數取得極小值即最小值，.可得，令，解得，此時函數單調遞增；令，解得，此時函數單調遞減.∴當時，函數取得極大值即最大值，.因此兩個函數無交點.即函數無零點.22.(本題滿分14分)已知橢圓的焦點是,其上的動點滿足.點為坐標原點，橢圓的下頂點為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；(Ⅱ)設直線與橢圓的交于，兩點，求過三點的圓的方程；（Ⅲ）設過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，試證明：無論取何值時，恒為定值.參考答案：解：（Ⅰ）∵

，

……1分,

∴

…………3分∴橢圓的標準方程為.

…4分(Ⅱ)聯立方程得

消得，解得

……………6分設所求圓的方程為：

依題有

………………8分解得所以所求圓的方程為：.

………9分（Ⅲ）證明