2021-2022學年北京漷縣中學高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的定義域為(

)A．(2,+∞)

B．(－1,2)∪(2,+∞)

C．(－1,2)

D．(－1,2]參考答案：C函數的定義域應滿足故選C.

2.已知數列{}為等差數列，公差，為其前n項和.若，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】等差數列的通項公式；等差數列的性質.D2答案B

解析：因為，所以，即，代入可解得=20，故選B。【思路點撥】先利用，解出，再利用等差數列的通項公式可求出。3.已知函數的圖象經過點（0，1），則該函數的一條對稱軸方程為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】正弦函數的對稱性．【專題】計算題．【分析】點在線上，點的坐標適合方程，求出φ，然后確定函數取得最大值的x值就是對稱軸方程，找出選項即可．【解答】解：把（0，1）代入函數表達式，知sinφ=因為|φ|＜

所以φ=當2x+=+2kπ（k∈Z）時函數取得最大值，解得對稱軸方程x=+kπ（k∈Z）令k=0得故選C【點評】本題考查正弦函數的對稱性，考查計算能力，是基礎題．取得最值的x值都是正弦函數的對稱軸．4.設x，y滿足，則z=x+y（） A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，無最大值 C．有最大值3，無最小值 D．既無最小值，也無最大值 參考答案：B【考點】簡單線性規劃． 【分析】本題考查的知識點簡單線性規劃問題，我們先在坐標系中畫出滿足約束條件對應的平面區域，根據目標函數z=x+y及直線2x+y=4的斜率的關系，即可得到結論． 【解答】解析：如圖作出不等式組表示的可行域，如下圖所示： 由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率， 因此當z=x+y過點（2，0）時，z有最小值， 但z沒有最大值． 故選B 【點評】目判斷標函數的有元最優解，處理方法一般是：①將目標函數的解析式進行變形，化成斜截式②分析Z與截距的關系，是符號相同，還是相反③根據分析結果，結合圖形做出結論④根據目標函數斜率與邊界線斜率之間的關系分析，即可得到答案． 5.三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．5π B．π C．20π D．4π參考答案：A【考點】球的體積和表面積．【專題】空間位置關系與距離；球．【分析】根據題意，證出BC⊥平面PAC，PB是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑．利用勾股定理結合題中數據算出PB=，得外接球半徑R=，從而得到所求外接球的表面積【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半徑R=PB=∴外接球的表面積S=4πR2=5π故選A．【點評】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．6.已知p：0≤x≤1，q：＜1，則p是q的（） A．充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C．充要條件 D． 既非充分也非必要條件參考答案：考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 簡易邏輯．分析： 根據不等式的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．解答： 解：當x=0時，不等式＜1不成立，即充分性不成立，當x=﹣1時，滿足＜1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要條件，故選：D點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式之間的關系是解決本題的關鍵，比較基礎．7.在△ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，則∠A=(

)A．45° B．15° C．45°或135° D．15°或105°參考答案：D【考點】正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinC，結合范圍C∈（0，180°），可得C，利用三角形內角和定理即可求A的值．【解答】解：∵AB=AC，∠B=30°，∴由正弦定理，可得：sinC===，∴由C∈（0，180°），可得：C=45°，或135°．∴可得：A=180°﹣B﹣C=105°，或15°．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．8.已知i為虛數單位，復數z滿足z（1﹣i）=1+i，則z2017=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i參考答案：C【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】化簡z，直接利用虛數單位i的運算性質化簡得答案．【解答】解：∵z（1﹣i）=1+i，∴z===i，則z2017=i2017=i504×4+1=i，故選：C．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查了虛數單位i的性質，是基礎題．9.已知變量x，y滿足約束條件，則z＝3x＋y的最大值為()A．12

B．11

C．3

D．－1參考答案：B略10.若函數的部分圖像如右圖所示，則的解析式可能是（

）．A. B.C. D.參考答案：A由可排除B、D，由可排除C，故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設變量、滿足約束條件則目標函數的最大值為_______．

參考答案：12.已知函數的零點依次為則從大到小的順序為_____________________參考答案：13.設為實常數,是定義在R上的奇函數,當時,,若對一切成立,則的取值范圍為________.參考答案：略14.已知，滿足約束條件則目標函數的最小值為__________．參考答案：，作出約束條件表示的可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線經過點時，取得最小值，且，，故答案為.15.有4名優秀學生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所學校，每所學校至少去一名，則不同的保送方案共有

種．參考答案：36略16.已知，，，若向量滿足，則的取值范圍是__________．參考答案：易知，由得，所以或，由此可得的取值范圍是.17.某班級的54名學生編號為：1，2，3，…，54，為了采集同學們的身高信息，先采用系統抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，已知樣本中含有編號為5號、23號和41號的學生，則樣本中剩余三名同學的編號分別為

．參考答案：14，32，50【考點】系統抽樣方法．【分析】根據系統抽樣的定義，求出樣本間距為9，即可得到結論．【解答】解：根據系統抽樣的定義抽樣間距為9，則6個樣本編號從小到大構成以9為公差的等差數列，則樣本中剩余三名同學的編號分別為14，32，50，故答案為：14，32，50三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）中，角所對的邊分別為且．（I）求角的大小；（II）若向量，向量，，，求的值．參考答案：（I）∵∴，

∴，∴或∴

（II）∵∴，即又，∴，即②

由①②可得，∴

又∴，∴19.已知函數（1）討論函數的單調性；（2）設，若對任意，恒有成立，求的取值范圍．參考答案：解：（1）的定義域為.當時，，故在單調遞增；當時，，故在單調遞減；當時，令，解得即時，；時，；故在單調遞增，在單調遞減；（2）不妨設，而，由（1）知在單調遞減，從而對任意，恒有令，則等價于在單調遞減，即，從而，故的取值范圍為略20.

已知函數（1）求函數的值域，并寫出函數的單調遞增區間；（2）若，且，計算的值.參考答案：【解】（1）………………2分由于，所以函數的值域為………4分

由得所以函數的單調的增區間為，………6分（文科不寫，不扣分；不寫區間，扣1分）（2）由（1）得，，即……………8分其中得………………10分所以……………11分………………13分………………14分

略21.已知點列順次為直線上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意的，點、、構成以為頂點的等腰三角形.(Ⅰ)求證：對任意的，是常數，并求數列的通項公式；(Ⅱ)問是否存在等腰直角三角形？請說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）由題意得，，，∵點、、構成以為頂點的等腰三角形，∴，即得又∵，∴，

①

則

②由②－①得，，即是常數．即所列都是等差數列.（注：可以直接由圖像得到,即

,()

）當為正奇數時，，當為正偶數時，由得，，故，∴．

（Ⅱ）假設存在等腰直角三角形，由題意．在中，．

當為正奇數時，，，∴，故有，即，又∵，∴，∴，即，∴當時，使得三角形為等腰直角三角形．

當為正偶數時，，，∴，故有，即，又∵，∴，即，∴當時，使得三角形為等腰直角三角形．

綜上所述，當時，使得三角形為等腰直角三角形．注：也可以回答為時，使得三角形為等腰直角三角形．22.已知函數f（x）=ex（x∈R）．（1）證明：曲線y=f（x）與曲線有唯一公共點；（2）設a＜b，比較與的大小，并說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）設，求出導數，令h（x）=ex﹣x﹣1，求得導數和單調區間，可得h（x）的最小值，g（x）的單調性，再由g（0）=0，即可得證；（2）結論：．運用作差法，設m（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，求得導數，由基本不等式可得m（x）的單調性，即可得到結論．【解答】解：（1）證明：設，g'（x）=ex﹣x﹣1，令h（x）=ex﹣x﹣1，h'（x）=ex﹣1，當x∈（﹣∞，1）時，h'（x）＜0，h（x