[目標定位]1.會分析火車轉彎處、汽車過拱橋時向心力的來源，能解決生活中的圓周運動問題.2.了解航天器中的失重現象及原因.3.了解離心運動及物體做離心運動的條件，知道離心運動的應用及危害．一、鐵路的彎道1．火車在彎道上的運動特點：火車在彎道上運動時實際上是在水平面內做圓周運動，由于其質量巨大，需要很大的向心力．2．向心力的來源及轉彎速度(1)鐵路的彎道通常是外高內低，火車依據規定的行駛速度行駛，轉彎時向心力幾乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．(2)轉彎速度：如圖1所示，mgtan_θ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，解得v0＝eq\r(gRtanθ)(規定速度)．圖1深度思考(1)火車通過轉彎處要按照規定速度行駛．火車彎道處的規定速度與什么有關？(2)當行駛速度過大或過小時，火車會對哪側軌道有側壓力？答案(1)火車轉彎時，火車輪緣不受擠壓力時，mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，故v0＝eq\r(gRtanθ).其中R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角．故規定行駛速度由R及θ決定．(2)當v＝eq\r(gRtanθ)時，火車轉彎所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時火車對內、外軌均無擠壓作用，這是設計的限速狀態．①當火車轉彎速度過大，即v＞eq\r(gRtanθ)時，火車會對外軌有側壓力．②當火車轉彎速度過小，即v＜eq\r(gRtanθ)時，火車會對內軌有側壓力．例1有一列重為100t的火車，以72km/h的速率勻速通過一個內外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400m．(g取10m/s2)(1)試計算鐵軌受到的側壓力大?。?2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側壓力為零，試計算路基傾斜角度θ的正切值．答案(1)1×105N(2)解析(1)v＝72km/h＝20m/s，外軌對輪緣的側壓力提供火車轉彎所需要的向心力，所以有：FN＝meq\f(v2,r)＝eq\f(105×202,400)N＝1×105N.由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側壓力大小等于1×105N.(2)火車過彎道，重力和鐵軌對火車的支持力的合力正好提供向心力，如圖所示，則mgtanθ＝meq\f(v2,r).由此可得tanθ＝eq\f(v2,rg)＝.(1)解決這類題目首先要明確物體轉彎做的是圓周運動，其次要找準物體做圓周運動的平面及圓心，理解向心力的來源是物體所受的合力．(2)火車在彎道處規定限速v＝eq\r(gRtanθ)此時火車對輪緣無擠壓力．當v＞eq\r(gRtanθ)時，火車對外軌有擠壓力．當v＜eq\r(gRtanθ)時，火車對內軌有擠壓力．二、拱形橋1．分析汽車過橋這類問題時應把握以下兩點：(1)汽車在拱橋上的運動是豎直面內的圓周運動．(2)向心力來源(最高點和最低點)：重力和橋面的支持力的合力提供向心力．2．汽車過凸形橋(如圖2甲)：汽車在凸形橋最高點時，加速度向下，合力向下，此時滿足mg－FN＝meq\f(v2,R)，FN＝mg－meq\f(v2,R)，車對橋面的壓力小于汽車的重力，汽車處于失重狀態．圖23．汽車過凹形橋(如圖2乙)：汽車在凹形橋最低點時，加速度向上，合力向上，此時滿足FN－mg＝meq\f(v2,R)，FN＝mg＋meq\f(v2,R)，車對橋面壓力大于汽車重力，汽車處于超重狀態．注意：凸形橋對汽車只能施加向上的支持力，故在橋的最高點，當汽車受到的支持力FN＝0時，向心力mg＝meq\f(v2,R)，此時汽車的臨界最大速度v臨＝eq\r(gR).(達到臨界速度時，從最高點將做平拋運動)例2如圖3所示，質量m＝×104kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20m．如果橋面受到的壓力不得超過×105N，則：圖3(1)汽車允許的最大速度是多少？(2)若以(1)中所求速度行駛，汽車對橋面的最小壓力是多少？(g取10m/s2)答案(1)10m/s(2)105N解析(1)汽車在凹形橋底部時，由牛頓第二定律得：FN－mg＝meq\f(v2,r)代入數據解得v＝10m/s.(2)汽車在凸形橋頂部時，由牛頓第二定律得：mg－FN′＝eq\f(mv2,r)代入數據解得FN′＝105N由牛頓第三定律知汽車對橋面的最小壓力等于105N.在圓周運動最高點和最低點應用牛頓第二定律列方程時，要以加速度a的方向為正方向，所以在拱橋的最高點有mg－FN＝meq\f(v2,r)，在凹形橋的最低點有FN－mg＝meq\f(v2,R).三、豎直面內的繩、桿模型問題1．輕繩模型(最高點，如圖4所示)：圖4(1)繩(外軌道)施力特點：只能施加向下的拉力(或壓力)(2)動力學方程：FT＋mg＝meq\f(v2,r)臨界條件：FT＝0，此時mg＝meq\f(v2,r)，則v＝eq\r(gr)①v＝eq\r(gr)時，拉力或壓力為零．②v>eq\r(gr)時，物體受向下的拉力或壓力．③v<eq\r(gr)時，物體不能(填“能”或“不能”)到達最高點．2．輕桿模型(最高點，如圖5所示)：圖5(1)桿(雙軌道)施力特點：既能施加向下的拉(壓)力，也能施加向上的支持力．(2)動力學方程：當v>eq\r(gr)時，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，桿對球有向下的拉力，且隨v增大而增大；當v＝eq\r(gr)時，mg＝meq\f(v2,r)，桿對球無作用力；當v<eq\r(gr)時，mg－FN＝meq\f(v2,r)，桿對球有向上的支持力，且隨速度減小而增大；當v＝0時，FN＝mg(臨界情況)．(3)桿類的臨界速度為v臨＝0.例3長度為m的輕桿OA繞O點在豎直平面內做圓周運動，A端連著一個質量m＝2kg的小球．求在下述的兩種情況下，通過最高點時小球對桿的作用力的大小和方向(g取10m/s2)：(1)桿做勻速圓周運動的轉速為r/s.(2)桿做勻速圓周運動的轉速為r/s.答案(1)小球對桿的拉力大小為138N，方向豎直向上．(2)小球對桿的壓力大小為10N，方向豎直向下．解析小球在最高點的受力如圖所示：(1)桿的轉速為r/s時，ω＝2π·n＝4πrad/s由牛頓第二定律得：F＋mg＝mLω2故小球所受桿的作用力F＝mLω2－mg＝2××42×π2－10)N≈138N即桿對小球提供了138N的拉力．由牛頓第三定律知，小球對桿的拉力大小為138N，方向豎直向上．(2)桿的轉速為r/s時，ω′＝2π·n′＝πrad/s.同理可得小球所受桿的作用力F＝mLω′2－mg＝2××π2－10)N≈－10N.力F為負值表示它的方向與受力分析中所假設的方向相反，故小球對桿的壓力大小為10N，方向豎直向下．(1)在最高點時，桿對球的彈力和球的重力的合力充當向心力．(2)桿對球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度決定．針對訓練一細繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細繩一起在豎直平面內做圓周運動，如圖6所示，水的質量m＝kg，水的重心到轉軸的距離l＝50cm.(g取10m/s2)圖6(1)若在最高點水不流出來，求桶的最小速率；(2)若在最高點水桶的速率v＝3m/s，求水對桶底的壓力．答案(1)m/s(2)4N解析分別以水桶和桶中的水為研究對象，對它們進行受力分析，找出它們做圓周運動所需向心力的來源，根據牛頓運動定律建立方程求解．(1)以水桶中的水為研究對象，在最高點恰好不流出來，說明水的重力恰好提供其做圓周運動所需的向心力，此時桶的速率最小．此時有：mg＝meq\f(v\o\al(2,0),r)，則所求的最小速率為：v0＝eq\r(gr)≈m/s.(2)此時桶底對水有一向下的壓力，設為FN，則由牛頓第二定律有：FN＋mg＝meq\f(v2,r)，代入數據可得：FN＝4N.由牛頓第三定律得，水對桶底的壓力FN′＝4N.繩的施力特點：只能施加拉力，不能施加支持力，故繩拉物體在最高點的臨界條件FT＝0，此時小球有最小速度v＝eq\r(gr).四、航天器中的失重現象離心運動1．航天器在近地軌道的運動(1)對于航天器，重力充當向心力，滿足的關系為mg＝meq\f(v2,R)，航天器的速度v＝eq\r(gR).(2)對于航天員，由重力和座椅的支持力提供向心力，滿足的關系為mg－FN＝eq\f(mv2,R).當v＝eq\r(gR)時，座艙對宇航員的支持力FN＝0，宇航員處于完全失重狀態．2．對失重現象的認識航天器內的任何物體都處于完全失重狀態，但并不是物體不受重力．正因為受到重力作用才使航天器連同其中的宇航員環繞地球轉動．3．離心運動(1)定義：物體沿切線飛出或做逐漸遠離圓心的運動．(2)實質：離心運動的實質是物體慣性的表現．做圓周運動的物體，總有沿著圓周切線飛出去的趨勢，之所以沒有飛出去，是因為受到向心力的作用．從某種意義上說，向心力的作用是不斷地把物體從圓周運動的切線方向拉到圓周上來．一旦作為向心力的合外力突然消失或不足以提供所需向心力，物體就會發生離心運動．(3)離心運動、近心運動的判斷：物體做圓周運動、離心運動還是近心運動，由實際提供的向心力Fn與所需向心力(meq\f(v2,r)或mrω2)的大小關系決定．如圖7所示．圖7①若Fn＝mrω2(或meq\f(v2,r))，即“提供”滿足“需要”，物體做圓周運動．②若Fn＞mrω2(或meq\f(v2,r))，即“提供”大于“需要”，物體做半徑變小(填“大”或“小”)的近心運動．③若Fn＜mrω2(或meq\f(v2,r))，即“提供”不足，物體做半徑變大(填“大”或“小”)的離心運動．④若Fn＝0，物體做離心運動，并沿切線方向飛出．深度思考如圖8所示，鏈球比賽中，高速旋轉的鏈球被放手后會飛出．汽車高速轉彎時，若摩擦力不足，汽車會滑出路面．圖8(1)鏈球飛出、汽車滑出是因為受到了離心力嗎？(2)物體做離心運動的條件是什么？答案(1)不是，離心力實際并不存在．(2)當向心力突然消失或合外力不足以提供所需向心力時，物體做離心運動．例4下列有關洗衣機脫水筒的脫水原理說法正確的是()A．水滴受離心力作用，而沿背離圓心的方向甩出B．水滴受到向心力，由于慣性沿切線方向甩出C．水滴受到的離心力大于它受到的向心力，從而沿切線方向甩出D．水滴與衣服間的附著力小于它所需的向心力，于是沿切線方向甩出答案D解析隨著脫水筒的轉速增加，水滴所需的向心力越來越大，當轉速達到一定值，水滴所需的向心力F＝meq\f(v2,r)大于水滴與衣服間的附著力時，水滴就會做離心運動，沿切線方向被甩出．離心現象的三點注意：(1)在離心現象中并不存在離心力，是外力不足以提供物體做圓周運動所需的向心力而引起的，是慣性的一種表現形式．(2)做離心運動的物體，并不是沿半徑方向向外遠離圓心．(3)物體的質量越大，速度越大(或角速度越大)，半徑越小時，圓周運動所需要的向心力越大，物體就越容易發生離心現象．1.(交通工具的轉彎問題)賽車在傾斜的軌道上轉彎如圖9所示，彎道的傾角為θ，半徑為r，則賽車完全不靠摩擦力轉彎的速率是(設轉彎半徑水平)()圖9\r(grsinθ) \r(grcosθ)\r(grtanθ) \r(grcotθ)答案C解析設賽車的質量為m，賽車受力分析如圖所示，可見：F合＝mgtanθ，而F合＝meq\f(v2,r)，故v＝eq\r(grtanθ).2．(汽車過橋問題)城市中為了解決交通問題，修建了許多立交橋．如圖10所示，橋面是半徑為R的圓弧形的立交橋AB橫跨在水平路面上，一輛質量為m的小汽車，在A端沖上該立交橋，小汽車到達橋頂時的速度大小為v1，若小汽車在上橋過程中保持速率不變，則()圖10A．小汽車通過橋頂時處于失重狀態B．小汽車通過橋頂時處于超重狀態C．小汽車在上橋過程中受到橋面的支持力大小為FN＝mg－meq\f(v\o\al(2,1),R)D．小汽車到達橋頂時的速度必須大于eq\r(gR)答案A解析由圓周運動知識知，小汽車通過橋頂時，其加速度方向向下，由牛頓第二定律得mg－FN＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，解得FN＝mg－meq\f(v\o\al(2,1),R)＜mg，故其處于失重狀態，A正確，B錯誤；FN＝mg－meq\f(v\o\al(2,1),R)只在小汽車通過橋頂時成立，而其上橋過程中的受力情況較為復雜，C錯誤；由mg－FN＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，FN≥0解得v1≤eq\r(gR)，D錯誤．3．(離心運動問題)如圖11所示是摩托車比賽轉彎時的情形，轉彎處路面常是外高內低，摩托車轉彎有一個最大安全速度，若超過此速度，摩托車將發生滑動．關于摩托車滑動的問題，下列論述正確的是()圖11A．摩托車一直受到沿半徑方向向外的離心力作用B．摩托車所受外力的合力小于所需的向心力C．摩托車將沿其線速度的方向沿直線滑去D．摩托車將沿其半徑方向沿直線滑去答案B解析摩托車只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，沒有離心力，A項錯誤；摩托車正常轉彎時可看作是做勻速圓周運動，所受的合力等于向心力，如果向外滑動，說明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B項正確；摩托車將在沿線速度方向與半徑向外的方向之間做離心曲線運動，C、D項錯誤．4．(豎直面內的圓周運動)(多選)如圖12所示，半徑為L的圓管軌道(圓管內徑遠小于軌道半徑)豎直放置，管內壁光滑，管內有一個小球(小球直徑略小于管內徑)可沿管轉動，設小球經過最高點P時的速度為v，則()圖12A．v的最小值為eq\r(gL)B．v若增大，球所需的向心力也增大C．當v由eq\r(gL)逐漸減小時，軌道對球的彈力也減小D．當v由eq\r(gL)逐漸增大時，軌道對球的彈力也增大答案BD解析由于小球在圓管中運動，最高點速度可為零，A錯誤；根據向心力公式有F＝meq\f(v2,r)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正確；因為圓管既可提供向上的支持力也可提供向下的壓力，當v＝eq\r(gL)時，圓管受力為零，故v由eq\r(gL)逐漸減小時，軌道對球的彈力增大，C錯誤；v由eq\r(gL)逐漸增大時，軌道對球的彈力也增大，D正確.題組一交通工具的轉彎問題1．關于鐵路轉彎處內軌和外軌間的高度關系，下列說法中正確的是()A．內軌和外軌一樣高，以防列車傾倒B．因為列車在轉彎處有向內傾倒的可能，故一般使內軌高于外軌，以防列車傾倒C．外軌比內軌略高，這樣可以使列車順利轉彎，減少車輪與鐵軌間的擠壓D．以上說法都不對答案C解析列車轉彎時實際是在做圓周運動，若內軌和外軌一樣高，則列車做圓周運動的向心力由外軌對輪緣的彈力提供，但由于列車質量太大，輪緣與外軌間的彈力太大，鐵軌與車輪極易受損，可能造成翻車事故；若轉彎處外軌比內軌略高，此時列車轉彎所需的向心力可由列車的重力和鐵軌的支持力的合力提供．故選項C正確．2．(多選)公路急轉彎處通常是交通事故多發地帶．如圖1，某公路急轉彎處是一圓弧，當汽車行駛的速率為v0時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢．則在該彎道處，()1A．路面外側高內側低B．車速只要低于v0，車輛便會向內側滑動C．車速雖然高于v0，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動D．當路面結冰時，與未結冰時相比，v0的值變小答案AC解析當汽車行駛的速率為v0時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢，即不受靜摩擦力，此時由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外側高內側低，選項A正確；當車速低于v0時，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽車有向內側運動的趨勢，但并不會向內側滑動，靜摩擦力向外側，選項B錯誤；當車速高于v0時，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽車有向外側運動的趨勢，靜摩擦力向內側，速度越大，靜摩擦力越大，只有靜摩擦力達到最大以后，車輛才會向外側滑動，選項C正確；由mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),r)可知，v0的值只與斜面傾角和圓弧軌道的半徑有關，與路面的粗糙程度無關，選項D錯誤．3．在高速公路的拐彎處，路面建造得外高內低，即當車向右拐彎時，司機左側的路面比右側的要高一些，路面與水平面間的夾角為θ，設拐彎路段是半徑為R的圓弧，要使車速為v時車輪與路面之間的橫向(即垂直于前進方向)摩擦力等于零，θ應等于()A．sinθ＝eq\f(v2,Rg) B．tanθ＝eq\f(v2,Rg)C．sin2θ＝eq\f(2v2,Rg) D．tanθ＝eq\f(Rg,v2)答案B解析當車輪與路面的橫向摩擦力等于零時，汽車受力如圖所示，則有：FNsinθ＝meq\f(v2,R)，FNcosθ＝mg，解得：tanθ＝eq\f(v2,Rg)，故B正確．題組二航天器中的失重現象及離心運動4．(多選)2023年6月11日至26日，“神舟十號”飛船圓滿完成了太空之行，期間還成功進行了人類歷史上第二次太空授課，女航天員王亞平做了大量失重狀態下的精美物理實驗．關于失重狀態，下列說法正確的是()A．航天員仍受重力的作用B．航天員受力平衡C．航天員所受重力等于所需的向心力D．航天員不受重力的作用答案AC解析做勻速圓周運動的空間站中的航天員，所受重力全部提供其做圓周運動的向心力，處于完全失重狀態，并非航天員不受重力作用，A、C正確，B、D錯誤．5．如圖2洗衣機的甩干筒在轉動時有一衣物附在筒壁上，則此時()圖2A．衣物受到重力、筒壁的彈力、摩擦力和向心力B．衣物隨筒壁做圓周運動的向心力是摩擦力C．筒壁的彈力隨筒的轉速的增大而減小D．水與衣物間的附著力小于水做圓周運動所需的向心力，水從筒壁小孔甩出答案D6．在世界一級方程式錦標賽中，賽車在水平路面上轉彎時，常常在彎道上沖出跑道，其原因是()A．是由于賽車行駛到彎道時，運動員未能及時轉動方向盤造成的B．是由于賽車行駛到彎道時，沒有及時加速造成的C．是由于賽車行駛到彎道時，沒有及時減速造成的D．是由于在彎道處汽車受到的摩擦力比在直道上小造成的答案C解析賽車在水平彎道上行駛時，摩擦力提供向心力，而且速度越大，需要的向心力越大，如不及時減速，當摩擦力不足以提供向心力時，賽車就會做離心運動，沖出跑道，故C正確．題組三豎直面內的圓周運動問題7．長為L的細繩，一端系一質量為m的小球，另一端固定于某點，當繩豎直時小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內做圓周運動，并且剛好能過最高點．則下列說法中正確的是()A．小球過最高點時速度為零B．小球開始運動時繩對小球的拉力為meq\f(v\o\al(2,0),L)C．小球過最高點時繩對小球的拉力為mgD．小球過最高點時速度大小為eq\r(gL)答案D8.圖3所示為模擬過山車的實驗裝置，小球從左側的最高點釋放后能夠通過豎直圓軌道而到達右側．若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過豎直圓軌道，則小球通過豎直圓軌道的最高點時的角速度最小為()圖3\r(gR)B．2eq\r(gR)\r(\f(g,R))\r(\f(R,g))答案C解析小球能通過豎直圓軌道的最高點的臨界狀態為重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝eq\r(\f(g,R))，選項C正確．9.一輛滿載的卡車在起伏的公路上勻速行駛，如圖4所示，由于輪胎過熱，容易爆胎．爆胎可能性最大的地段是()圖4A．A處 B．B處C．C處 D．D處答案D解析在A、B、C、D各點均由重力與支持力的合力提供向心力，爆胎可能性最大的地段為輪胎與地面的擠壓力最大處．在A、C兩點有mg－F＝meq\f(v2,R)，則F＝mg－meq\f(v2,R)<mg；在B、D兩點有F－mg＝meq\f(v2,R)，則F＝mg＋meq\f(v2,R)>mg，且R越小，F越大，故FD最大，即D處最容易爆胎．10．雜技演員表演“水流星”，在長為m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m＝kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖5所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s，則下列說法正確的是(g＝10m/s2)()圖5A．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B．“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C．“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用D．“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N答案B解析水流星在最高點的臨界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知繩的拉力恰為零，且水恰不流出．故選B.11.(多選)如圖6所示，小球m在豎直放置的光滑的圓形管道內做圓周運動，下列說法正確的是()圖6A．小球通過最高點時的最小速度是eq\r(Rg)B．小球通過最高點時的最小速度為零C．小球在水平線ab以下的管道中運動時外側管壁對小球一定無作用力D．小球在水平線ab以下的管道中運動時外側管壁對小球一定有作用力答案BD解析圓環外側、內側都可以對小球提供彈力，小球在水平線ab以下時，必須有指向圓心的力提供向心力，就是外側管壁對小球的作用力，故B、D正確．12．一輛質量為800kg的汽車在圓弧半徑為50m的拱橋上行駛．(g取10m/s2)(1)若汽車到達橋頂時速度為v1＝5m/s，汽車對橋面的壓力是多大？(2)汽車以多大速度經過橋頂時，恰好對橋面沒有壓力？(3)汽車對橋面的壓力過小是不安全的，因此汽車過橋時的速度不能過大．對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？(4)如果拱橋的半徑增大到與地球半徑一樣大，汽車要在橋面上騰空，速度至少為多大？(已知地球半徑為6400km)答案(1)7600N(2)m/s(3)半徑大些比較安全(4)8000m/s解析如圖所示，汽車到達橋頂時，受到重力mg和橋面對它的支持力FN的作用．(1)汽車對橋面的壓力大小等于橋面對汽車的支持力FN.汽車過橋時做圓周運動，重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律有mg－FN＝meq\f(v\o\al(2,1),R)所以FN＝mg－meq\f(v\o\al(2,1),R)＝7600N故汽車對橋面的壓力為7600N.(2)汽車經過橋頂時恰好對橋面沒有壓力，則FN＝0，即汽車做圓周運動的向心力完全由其自身重力來提供