湖南省長沙市成功塘中學2021-2022學年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由排列組合及簡單的計數原理得：不同選法的種數是56，得解．【詳解】每一位同學有5種不同的選擇，則6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是56.故選：B．2.函數在上有兩個零點，則實數的取值范圍是（

）A.B.C.

D.參考答案：C3.已知，下列不等式中成立的是（

）A、

B、C、 D、參考答案：C4.已知函數f（x）=cosx﹣sinx，f′（x）為函數f（x）的導函數，那么等于(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：導數的運算．專題：導數的概念及應用．分析：根據導數的運算法則求導，再代值計算即可．解答： 解：f′（x）=﹣sinx﹣cosx，∴f′（）=﹣sin﹣cos=﹣，故選：C．點評：本題考查了導數的運算法則和導數的基本公式，屬于基礎題．5.年勞動生產率（千元）和工人工資（元）之間回歸方程為，這意味著年勞動生產率每提高1千元時，工人工資平均（

）

Ａ．增加10元

Ｂ．減少10元

Ｃ．增加80元

Ｄ．減少80元參考答案：C6.執行右面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是

A．120

B．720

C．1440

D．5040參考答案：B7.已知空間四邊形OABC，M在AO上，滿足=，N是BC的中點，且=，=，=用a，b，c表示向量為（）A．++ B．+﹣ C．﹣++ D．﹣+參考答案：C【考點】空間向量的基本定理及其意義．【分析】作出空間四邊形OABC，結合圖形利用空間向量加法法則能求出結果．【解答】解：∵空間四邊形OABC，M在AO上，滿足=，N是BC的中點，且=，=，=，∴====﹣．故選：C．【點評】本題考查空間向量的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間向量加法法則的合理運用．8.若ab，且ab0，則曲線bx-y+a=0和的形狀大致是下圖中的參考答案：A略9.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）．A．圓柱 B．圓錐 C．三棱錐 D．三棱柱參考答案：A圓柱的正視圖可能是矩形，可能是圓，不可能是三角形，故選．10.已知雙曲線的離心率，則它的漸近線方程為 (

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果函數y=f(x)的導函數的圖像如右圖所示，給出下列判斷：(1)函數y=f(x)在區間（3，5）內單調遞增；(2)函數y=f(x)在區間（－，3）內單調遞減；(3)函數y=f(x)在區間（-2，2）內單調遞增； (4)當x=－時，函數y=f(x)有極大值;(5)當x=2時，函數y=f(x)有極大值;則上述判斷中正確的是

.

參考答案：③⑤；略12.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是

.參考答案：②④略13.已知點在直線上，則的最小值為

參考答案：314.若雙曲線的兩個焦點為F1，F2，P為雙曲線上一點，且|PF1|=3|PF2|，則該雙曲線離心率的取值范圍是．參考答案：1＜e≤2【考點】雙曲線的簡單性質；雙曲線的定義．【分析】先根據雙曲線定義可知|PF1|﹣|PF2|=2a進而根據|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同時利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質，推斷出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，進而求得a和c的不等式關系，分析當p為雙曲線頂點時，=2且雙曲線離心率大于1，可得最后答案．【解答】解根據雙曲線定義可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，當p為雙曲線頂點時，=2又∵雙曲線e＞1，∴1＜e≤2故答案為：1＜e≤2．15.若橢圓的兩焦點關于直線的對稱點均在橢圓內部，則橢圓的離心率的取值范圍為_______________。參考答案：略16.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和兩點A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點P使得∠APB=90°，則m的最大值為

．參考答案：6【考點】圓的標準方程．【專題】直線與圓．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設P（a，b）在圓C上，則=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大值即為|OP|的最大值．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設P（a，b）在圓C上，則=（a+m，b），=（a﹣m，b），∵∠APB=90°，∴，∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．故答案為：6．【點評】本題考查實數的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．17.已知復數z=x+yi（x，y∈R）滿足條件|z﹣4i|=|z+2|，則2x+4y的最小值是

．參考答案：【考點】7F：基本不等式．【分析】利用復數的運算法則和模的計算公式可得x+2y=3，再利用基本不等式的性質和指數的運算性質即可得出．【解答】解：∵復數z=x+yi（x，y∈R）滿足條件|z﹣4i|=|z+2|，∴|x+yi﹣4i|=|x+yi+2|，∴|x+（y﹣4）i|=|x+2+yi|，∴，化為x+2y=3．則2x+4y≥2=2=4，因此2x+4y的最小值是．故答案為：．【點評】本題考查了復數的運算法則、模的計算公式、基本不等式的性質和指數的運算性質，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列是等差數列，且，

（1）求數列的通項公式；

（2）令，求的前n項和.參考答案：（1）（2）19.解關于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．參考答案：【考點】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式坐標利用十字相乘法分解因式：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，然后對a值進行分類討論：a與的大小關系三種情況，利用不等式取解集的方法分別求出各自的解集即可．【解答】解：原不等式可化為：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，對應方程的根為x1=a，x2=1﹣a…（1）當時，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（2）當時，a=1﹣a得x∈R且；…（3）當時，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…綜合得：（1）當時，原不等式的解集為（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）當時，原不等式的解集為；（3）當時，原不等式的解集為（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…20.（15分）（2007?天津）已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球．現在從甲、乙兩個盒內各任取2個球．（I）求取出的4個球均為黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；（Ⅲ）設ξ為取出的4個球中紅球的個數，求ξ的分布列和數學期望．參考答案：解：（I）設“從甲盒內取出的2個球均黑球”為事件A，“從乙盒內取出的2個球為黑球”為事件B．∵事件A，B相互獨立，且．∴取出的4個球均為黑球的概率為P（A?B）=P（A）?P（B）=．（II）解：設“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅紅，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值為0，1，2，3．由（I），（II）得，又，從而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．ξ的分布列為ξ的數學期望．（1）取出的4個球均為黑色球包括從甲盒內取出的2個球均黑球且從乙盒內取出的2個球為黑球，這兩個事件是相互獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．（2）取出的4個球中恰有1個紅球表示從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅紅，1個是黑球或從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個球均為黑球兩種情況，它們是互斥的．（3）ξ為取出的4個球中紅球的個數，則ξ可能的取值為0，1，2，3．結合前兩問的解法得到結果，寫出分布列和期望．21.已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式對任意的實數x恒成立，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】(1)當時，討論取值范圍去絕對值符號，計算不等式.(2)利用絕對值不等式求函數最大值為，計算得到答案.【詳解】解：（1）當時不等式即為①當時不等式可化為得故②當時不等式可化為恒成立故③當時不等式可化