湖南省衡陽市衡山縣金龍中學2022高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據三視圖判斷幾何體是圓錐的一部分，再根據俯視圖與左視圖的數據可求得底面扇形的圓心角為120°，又由側視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，把數據代入圓錐的體積公式計算．【解答】解：由三視圖知幾何體是圓錐的一部分，由俯視圖與左視圖可得：底面扇形的圓心角為120°，又由側視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，∴幾何體的體積V=××π×22×4=．故選：D．2.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π參考答案：C【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，在軸截面中圓錐的母線長使用勾股定理做出的，寫出表面積，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，做出圓柱的表面積，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，∴在軸截面中圓錐的母線長是=4，∴圓錐的側面積是π×2×4=8π，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，∴圓柱表現出來的表面積是π×22+2π×2×4=20π∴空間組合體的表面積是28π，故選：C．3.已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，則A∩B中元素的個數為（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C【知識點】函數值的意義；集合運算.

B1

A1

解析：∵A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，∴B={0,2,4,6}，∴A∩B={0,2}，故選C.【思路點撥】由函數值的意義得集合A中元素，從而A∩B.4.已知，，，，則向量在向量上的投影為

（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.過拋物線的焦點F，斜率為的直線交拋物線于A，B兩點，若

，則的值為

A．5

B．4

C．

D．參考答案：B6.下列各式中，值為的是

A．

B．C．D．參考答案：D7.為了解某地區的中小學生視力情況，擬從該地區的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是

( )A、簡單隨機抽樣 B、按性別分層抽樣 C、按學段分層抽樣 D、系統抽樣參考答案：C8.已知集合，，則等于

A．（-∞，5） B．（-∞，2） C． （1，2） D．參考答案：C9.某算法的程序框圖如右圖所示，如果輸出的結果為26，則判斷框內的條件應為(

)A． B． C． D．參考答案：C試題分析：程序在運行過程中，各變量的值變化如下所示：

條件

循環前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，當時，．此時應該結束循環體并輸出的值為26

所以判斷框應該填入的條件為：

故選C．考點：程序框圖10.數列為各項為正數的等比數列，且已知函數，則A、﹣6

B、﹣21

C、﹣12

D、21參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知偶函數f（x）（x≠0）的導函數為f′（x），且滿足f（1）=0，當x＞0時，xf′（x）＜2f（x），則使f（x）＞0成立的x的取值范圍為．參考答案：（﹣1，0）∪（0，1）【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；3N：奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據題意，構造函數g（x）=，利用導數得到，g（x）在（0，+∞）是減函數，再根據f（x）為偶函數，根據f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．【解答】解：根據題意，令g（x）=，又由f（x）為偶函數，則g（﹣x）==，故g（x）為偶函數，且g′（x）==，又由當x＞0時，xf′（x）＜2f（x），則當x＞0時，g′（x）＜0，所以函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減，又f（1）=0，所以g（1）==0，且g（x）為偶函數，則有|x|＜1，解可得x∈（﹣1，0）∪（0，1）；即g（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函數值大于零，則f（x）在（﹣1，0）∪（0，1）的函數值大于零．故答案為：（﹣1，0）∪（0，1）．【點評】本題考查導數與函數單調性的關系，關鍵是構造函數g（x）=，想到通過構造函數解決．12.在△ABC中，B＝60°，，則AB＋2BC的最大值為________．參考答案：13.已知銳角滿足，則的最大值為_______________.參考答案：14.已知函數，則f(x)在處的切線方程為

.參考答案：切線方程為.15.已知直線和圓相交于A，B兩點，當線段AB最短時直線l的方程為________.參考答案：x+3y+5=016.角終邊上一點M（，），且，則=

__

；參考答案：17.已知則等于

.參考答案：-【知識點】同角三角函數的基本關系式與誘導公式C2由則，sin=-,tan=-,==-【思路點撥】先根據角的范圍求出正切值，再求。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側的兩點，連結BD并延長至點C，使BD=DC，連結AC，AE，DE．求證：∠E=∠C．參考答案：證明：連接AD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定義）．又∵BD=DC，∴AD是線段BC的中垂線（線段的中垂線定義）．∴AB=AC（線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對等角的性質）．又∵D，E為圓上位于AB異側的兩點，∴∠B=∠E（圓周角定理）∴∠E=∠C（等量代換）點評：本題考查的知識點是圓周考點：與圓有關的比例線段．專題：證明題．分析：要證∠E=∠C，就得找一個中間量代換，一方面考慮到∠B，∠E是同弧所對圓周角，相等；另一方面根據線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質得到．從而得證．解答：證明：連接AD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定義）．又∵BD=DC，∴AD是線段BC的中垂線（線段的中垂線定義）．∴AB=AC（線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對等角的性質）．又∵D，E為圓上位于AB異側的兩點，∴∠B=∠E（圓周角定理）∴∠E=∠C（等量代換）點評：本題考查的知識點是圓周19.（10分）已知各項均不相等的等差數列{an}的前四項和為10，是一個與n無關的常數，數列{an}的前n項和為Sn．（1）求數列{an}的通項公式及數列的前n項和Tn；（2）若a1，a2，a4恰為等比數列{bn}的前三項，記數列cn=an（cosnπ+bn），求{cn}的前n項和為Kn．參考答案：（1）（2）Kn=．（1）∵是一個與n無關的常數，∴a1=d．又，∴a1=1，∴an=n，，∴，∴Tn=…+=…+==．（2）∵b1=a1=1，b2=a2=2，是等比數列{bn}的前3項，∴．∴cn=n（﹣1）n+n×2n﹣1，記，則，Bn=1+2×21+3×22+…n×2n﹣1=（n﹣1）2n+1．Kn=．20.已知函數，．（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）若的最小值為0，回答下列問題：（ⅰ）求實數的值；（ⅱ）設，（）是函數圖象上的兩點，且曲線在點處的切線與直線平行，求證：．參考答案：解：（Ⅰ）函數的定義域為，且．當時，，所以在區間單調遞增；當時，由，解得；由，解得．所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．綜上述：時，的單調遞增區間是；

時，的單調遞減區間是，單調遞增區間是（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，當時，無最小值，不合題意；當時，令，則，由，解得；由，解得．所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．故，即當且僅當時，=0．因此，．

（ⅱ）因為，所以直線AB的斜率．依題意，可得，即．令，于是==．

由（ⅰ）知，當時，，于是，即成立．分==．由（ⅰ）知，當時，，即，于是，即成立．綜上，成立．

略21.在直角坐標系xOy中，直線l經過點P(?2,0)，其傾斜角為?，在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中（取相同的長度單位），曲線C的極坐標方程為．（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點，求傾斜角?的取值范圍；（Ⅱ）設M(x,y)為曲線C上任意一點，求的取值范圍．參考答案：(Ⅰ)法一：由曲線C的極坐標方程得，又∴曲線C的直角坐標方程為，即

………....…1分∴曲線C是圓心為C(2,0)，半徑為2的圓.∵直線l過點P(?2,0)，當l的斜率不存在時，l的方程為x=?2與曲線C沒有公共點，…2分∴直線l的斜率存在，設直線l：，即.直線l與圓有公共點，則圓心C到直線l的距離

...........………3分解得

…...............………4分∵，∴的取值范圍是

....................…………5分法二：由曲線C的極坐標方程得，又∴曲線C的直角坐標方程為，

…....................................................………1分∵直線l經過點P(?2,0)，其傾斜角為?，∴直線l的參數方程為（為參數），

……......................................……2分將代入整理得：.

.............….………3分∵直線l與曲線C有公共點，∴即或…....4分∵，∴的取值范圍是.

....…….......................5分(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲線C的直角坐標方程為，故其參數方程為

（為參數）

.

……….............…7分∵M(x,y)為曲線C上任意一點，∴

…........8分∵，∴，因此，的取值范圍是.

………….........................10分法二：設.

………….....6分由(Ⅰ)知曲線C即圓C:,依題意,圓C與直線有交點，…7分∴圓心C到直線的距離，

.........................…9分解得,即的取值范圍是.

……................................................……10分22.（本小題滿分12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數．（Ⅰ）證明：an＋2－an＝λ；（Ⅱ）當λ為何值時，數列{an}為等差數列？并說明理由．參考答案：【知識點】數列遞推式；等差關系的確定．D1D2【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）λ＝4.解析：（Ⅰ）由題設，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1．………………1分兩式相減，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．

………………2分由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………4分（Ⅱ）由題設，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．………………6分由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3