湖南省永州市七里橋鎮第三中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設,,,則,,間的大小關系為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.已知集,,則（

）A．

B．C．P

D．Q參考答案：D3.（5分）（2015?濟寧一模）已知i是虛數單位，復數z=，則|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1參考答案：C【考點】：復數代數形式的乘除運算．【專題】：數系的擴充和復數．【分析】：利用復數代數形式的乘除運算化簡，然后利用復數模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故選：C．【點評】：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題．4.若正方體A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱長為1，則集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點】子集與真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個數．【解答】解：∵正方體A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱長為1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴?=?（++）=?++=1．∴集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個數為1．故選：A．5.設是關于t的方程的兩個不等實根，則過,兩點的直線與雙曲線的公共點的個數為A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：A6.的值為

（）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統計如表，則這100人成績的標準差為（

）分數54321人數2010303010A．

B．

C．3

D．參考答案：【解析】本小題主要考查平均數、方差、標準差的概念及其運算。

答案：B8.已知，，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知，則……………（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.已知函數，若a、b、c互不相等，且，則a＋b＋c的取值范圍是 （

）A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數列中，若，則此數列的前13項之和為

.參考答案：52略12.2008年北京奧運會，我國將派5名正式運動員和3名替補運動員參加體操比賽,最終將有3人上場比賽,其中甲、乙兩名替補運動員均不上場比賽的概率是

.參考答案：答案：

13.給出下列四個命題，其中不正確命題的序號是

。①若；②函數的圖象關于x=對稱；③函數為偶函數，④函數是周期函數，且周期為2。參考答案：①②④14.對任意中任取兩個元素，定義運算，其中是常數，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算.已知，并且集合中存在一個非零常數，使得對任意，都有，則稱是集合的“釘子”.集合的“釘子”為__________________．參考答案：4略15.函數的最大值為_______參考答案：1【分析】因為，所以可以把函數解析式化簡，再逆用兩角差的正弦公式化簡函數解析式，利用正弦函數的性質求出最大值.【詳解】,所以，因此的最大值為1.【點睛】本題考查了二角差的正弦公式的逆用，正弦型函數的最值，考查了三角恒等變換.16.是虛數單位，能使得成立的成立的最小正整數是

；【解析】由，得，所以，即,所以最小的正整數為3。參考答案：由，得，所以，即,所以最小的正整數為3?！敬鸢浮?

17.已知α∈（，π），sinα=，則tan=．參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數；同角三角函數間的基本關系．【分析】利用同角三角函數的基本關系求出cosα和tanα的值，利用兩角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系中，曲線（為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）過點且與直線平行的直線交曲線于兩點，求點到兩點的距離之和.參考答案：19.如圖在直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D為BC的中點，E為CC1上的點，且CE=CC1

（I）求三棱錐B–AB1D的體積；

（II）求證：BE⊥平面ADB1；

（Ⅲ）求二面角B—AB1—D的大小.

參考答案：解析：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D為BC中點B1B=C1C=A1A=2a，∴

………………2分∵

…………4分解法一：（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中點，得AD⊥BC從而AD⊥平面B1BCC1又BE平面B1BCC1，所在AD⊥BE…………6分由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得在Rt△BB1D中，在Rt△CBE中，于是∠BB1D=∠CBE，設EB∩DB1=G∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，則DB1⊥BE，又AD∩DB1=D故BE⊥平面ADB1

……8分（Ⅲ）過點G作GF⊥AB1于F，連接BF由（Ⅰ）及三垂線定理可知∠BFG是二面角B—AB-1—D的平面角

…………10分在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，得在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，得BG=所以在Rt△BFG中，故二面角B—AB—D的大小為arcsin

………………12分解法二：解法：（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系A－xyz

…………2分可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（），B1（a，0，2a），E（0，a，）…………4分可得

………………6分于是得，可知BE⊥AD，BE⊥DB1又AD∩DB1=D，故BE⊥平面ADB1

…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB1的法向量，平面ABB1的法向量于是

…………10分故二面角B—AB1—D的大小為arccos

………………12分20.已知函數f（x）=xe﹣x（x∈R）（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；（Ⅱ）已知函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明：當x＞1時，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明x1+x2＞2．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）先求導求出導數為零的值，通過列表判定導數符號，確定出單調性和極值．（2）先利用對稱性求出g（x）的解析式，比較兩個函數的大小可將它們作差，研究新函數的最小值，使最小值大于零，不等式即可證得．（3）通過題意分析先討論，可設x1＜1，x2＞1，利用第二問的結論可得f（x2）＞g（x2），根據對稱性將g（x2）換成f（2﹣x2），再利用單調性根據函數值的大小得到自變量的大小關系．【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表x（﹣∞，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）極大值所以f（x）在（﹣∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數．函數f（x）在x=1處取得極大值f（1）且f（1）=．（Ⅱ）證明：由題意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）ex﹣2令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）ex﹣2于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x當x＞1時，2x﹣2＞0，從而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，從而函數F（x）在[1，+∞）是增函數．又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1時，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．（Ⅲ）證明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），則x1=x2=1．與x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．與x1≠x2矛盾．根據（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨設x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），則g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），從而f（x1）＞f（2﹣x2）．因為x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函數f（x）在區間（﹣∞，1）內是增函數，所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．21.已知函數.（Ⅰ）求函數的最小正周期；（Ⅱ）將函數的圖象向右平移個單位,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數的圖象,若關于的方程在區間上有解,求實數的取值范圍.參考答案：（I）由題意知的最小正周期（II）將的圖象向右平移個個單位后,得到的圖象,再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,得到的圖象.所以，因為,所以.在區間上有且只有一個實數解,即函數與在區間上有且只有一個交點,由正弦函數的圖象可知綜上所述：略22.(本小題滿分l2分)中國航母“遼寧艦”是中國第一艘航母，“遼寧”號以4臺蒸汽輪機為動力，為保證航母的動力安全性，科學家對蒸汽輪機進行了170余項技術改進，增加了某項新技術，該項新技術要進入試用階段前必須對其中的三項不同指標甲、乙、丙進行通過量化檢測．假如該項新技術的指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格的概率分別為、、。指標甲、乙、丙合格分別記為4分、2分、4分；若某項指標不合格，則該項指標記0分，各項指標檢測結果互不影響．

(I)求該項技術量化得分不低于8分的概率；

(II)記該項新技術的三個指標中被檢測合格的指標個數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．參考答案：解：（Ⅰ）該項新技術的三項不同指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為