湖北省襄陽市棗陽新市火青中學2022年高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若雙曲線的漸近線與拋物線相切，且被圓截得的弦長為，則a=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B可以設切點為(x0，＋1)，由y′＝2x，∴切線方程為y－(＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－＋1，∵已知雙曲線的漸近線為y＝±x，∴，x0＝±1，＝2，一條漸近線方程為y＝2x，圓心到直線的距離是.故選：B

2.函數（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C略3.設為空間的兩條不同的直線，為空間的兩個不同的平面，給出下列命題：①若∥，∥，則∥；

②若，則∥；③若∥，∥，則∥；

④若，則∥．上述命題中，所有真命題的序號是

（

）A.①②

B.③④

C.①③

D.②④參考答案：D4.若一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C．8 D．參考答案：D【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個正方體內挖去一個同底等高的四棱錐，進而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個正方體內挖去一個同底等高的四棱錐，故體積V=（1﹣）×4×4×4=，故選：D5.如果執行下面的框圖，運行結果為(

) A． B．3 C． D．4參考答案：B考點：循環結構．專題：計算題．分析：先由流程圖判斷其作用，即求數列=的前9項和，再對數列進行裂項求和即可解答： 解：本框圖的作用即求s=1++++…+=1+（﹣1）+（﹣）+…+（）==3故選B點評：本題考察了算法的表示方法，程序框圖的認識和意義，循環結構的流程規則6.已知向量a，b滿足，，且，則向量a，b的夾角是（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：D7.已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，規定：當|f（x）|≥g（x）時，h（x）=|f（x）|；當|f（x）|＜g（x）時，h（x）=﹣g（x），則h（x）(

)A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，無最小值C．有最小值﹣1，無最大值 D．有最大值﹣1，無最小值參考答案：C【考點】分段函數的解析式求法及其圖象的作法．【專題】計算題；壓軸題．【分析】可以畫出f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，的圖象，根據規定分兩種情況：在A、B兩側，|f（x）|≥g（x）；在A、B之間，從圖象上可以看出最值；【解答】解：畫出y=|f（x）|=|2x﹣1|與y=g（x）=1﹣x2的圖象，它們交于A、B兩點．由“規定”，在A、B兩側，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之間，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．綜上可知，y=h（x）的圖象是圖中的實線部分，因此h（x）有最小值﹣1，無最大值．故選C．【點評】此題考查分段函數的解析式及其圖象的性質，利用了數形結合的方法，是一道中檔題；8.冪函數在(0,+∞)上單調遞增，則m的值為（

）A.2

B.3

C.4

D.2或4參考答案：C由題意得：解得,∴m=4．故選：C．

9.將函數的圖象向左平移個長度單位后,所得到的函數為偶函數,則m的最小值是(

)A． B. C． D．參考答案：A略10.已知△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若=，則sin（2A+）的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣，1] C．（，1] D．[﹣1，）參考答案：B【考點】GI：三角函數的化簡求值．【分析】將已知的等式變形，能夠得到A的范圍，然后求sin（2A+）取值范圍．【解答】解：因為=，由正弦定理得到，所以sinCcosA=sin（A+C）（1+cosC），展開整理得到cosC（sinA+sinB）=0，因為sinA+sinB≠0，所以cosC=0，所以C=，所以A+B=，所以0＜A＜，所以＜2A+＜，所以﹣＜sin（2A+）≤1；所以sin（2A+）的取值范圍是（﹣，1]；故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設函數y=的圖象上存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形（其中O為坐標原點），且斜邊的中點恰好在y軸上，則實數a的取值范圍是．參考答案：（0，]【考點】分段函數的應用．【分析】曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），運用向量垂直的條件：數量積為0，構造函數h（x）=（x+1）lnx（x≥e），運用導數判斷單調性，求得最值，即可得到a的范圍．【解答】解：假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q．若0＜t＜e，則f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程無解，因此t≥e，此時f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），則h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上單調遞增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范圍是[e+1，+∞）．∴對于0＜a≤，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．故答案為：（0，]．12.函數的定義域是

參考答案：試題分析：要使函數有意義滿足，得，因此函數的定義域是.考點：函數的定義域.13.若向量，滿足，則__________．參考答案：略14.設函數，記在上的最大值為，則函數的最小值為__________.參考答案：略15.已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________．參考答案：16.設F1，F2為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標為___________.參考答案：由已知可得，．．設點的坐標為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標為．

17.設函數，觀察：

，

，，……

根據以上事實，由歸納推理可得：當時，____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若g（x）=[f（x）﹣ax]，且對任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，求實數λ的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）先求出函數的定義域，求出函數f（x）的導函數，在定義域下，討論a≥0，a＜0，令導函數大于0得到函數的遞增區間，令導函數小于0得到函數的遞減區間．（Ⅱ）先求導，化簡對任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，得到λ≤（1+）（lnx+1），再構造函數，根據導數和函數的單調性和最值得關系即可求出實數λ的取值范圍【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），則f′（x）=+a，當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，則f（x）的增區間為（0，+∞）．無減區間；當a＜0時，令f′（x）＞0，解得0＜x＜﹣；令f′（x）＜0，解得x＞﹣．則f（x）的增區間為（0，﹣），減區間為（﹣，+∞）．（Ⅱ）∵g（x）=[f（x）﹣ax]=（ax+lnx﹣ax）=lnx，x＞0，∴g′（x）=lnx+=（lnx+2），∴2?g′（x）﹣1=lnx+1，∵對任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，∴lnx+1≥恒成立，∴λ≤（1+）（lnx+1），設h（x）=（1+）（lnx+1），∴h′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，x≥1，∴φ′（x）=1﹣≥0恒成立，∴φ（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴φ（x）≥φ（1）=1，∴h′（x）＞0恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴h（x）min=h（1）=2，∴λ≤219.（本小題滿分13分）某學習興趣小組開展“學生語文成績與英語成績的關系”的課題研究，對該校高二年級800名學生上學期期末語文和英語成績進行統計，按優秀和不優秀進行分類．記集合A={語文成績優秀的學生}，B={英語成績優秀的學生}．如果用表示有限集合M中元素的個數．已知,,,其中U表示800名學生組成的全集．（Ⅰ）是否有99．9%的把握認為“該校學生的語文成績與英語成績優秀與否有關系”；（Ⅱ）將上述調查所得的頻率視為概率，從該校高二年級的學生成績中，有放回地隨機抽取3次，記所抽取的成績中，語文英語兩科成績中至少有一科優秀的人數為，求的分布列和數學期望．

附：參考數據：0．0250．0100．0050．0015．0246．6357．87910．828

參考答案：（Ⅰ）由題意得列聯表：

語文優秀語文不優秀總計英語優秀60100160英語不優秀140500640總計200600800

20.若的圖象關于直線對稱，其中．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍，（縱坐標不變）后得到的y=g（x）的圖象；若函數的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數列，求a的值．參考答案：【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】（Ⅰ）利用f（x）的圖象關于直線對稱求出ω，得到函數f（x）的表達式．（Ⅱ）按照將y=f（x）的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）后，得到函數y=g（x）的表達式；求出函數y=g（x），x∈（，3π）的范圍，函數的圖象與y=a的圖象有三個交點且交點的橫坐標成等比數列，列出方程，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象關于直線x=對稱，∴2ω?﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1．∵ω∈（﹣，），∴﹣＜k+1＜，∴﹣1＜k＜1（k∈Z），∴k=0，ω=1∴f（x）=sin（2x﹣）（Ⅱ）將f（x）=sin（2x﹣）的圖象向左平移個單位后，得到f（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，再將得到的圖象的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）后，得到y=g（x）=cosx函數y=g（x）=cosx，x∈（，3π）的圖象與y=a的圖象有三個交點坐標分別為（x1，a），（x2，a），（x3，a）且＜x1＜x2＜x3＜3π，則由已知結合如圖圖象的對稱性有，解得x2=．∴a=cos=﹣．【點評】本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，兩角和與差的三角函數，正弦函數的單調性，考查計算能力，考查數形結合思想．21.本小題12分）設f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0，6)．(1)確定a的值；(2)求函數f(x)的單調區間與極值．參考答案：(1)

(2)上增

上減極大值極小值略22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中點．（Ⅰ）證明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求AN與面PND所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PB中點M，連結AM，MN，證明：四邊形AMND是平行四邊形，得出ND∥AM，即可證明ND∥面PAB；（Ⅱ）在面PAD內過A做AF⊥PD于F，則CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，連接NF，則∠ANF是AN與面PND所成的角，即可求AN與面PND所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，取PB中點M，連結AM，MN．∵MN是△BCP的中位線，∴MN平行且等于BC．

依題意得，AD平行且等于B