利用圖解法求得線性規劃問題的最優解一、課前準備1、課時目標：（1）知識與技能：了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域或最優解等概念；（2）理解線性規劃的圖解法；（3）會利用圖解法求線性目標函數的最優解.2、基礎預探：（1）在平面直角坐標系中，動點運動范圍受到一定限制，則稱變量受到約束（2）目標函數為，當時，將其變化為，說明直線在軸上的截距為，若，直線越往上移，截距，目標函數為的值就越大.（3）直線把直角坐標平面劃分為兩部分，其中一部分（半個平面）對應二元一次不等式，另一部分對應二元一次不等式二、基本知識習題化1、若實數滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2、約束條件為則目標函數（）A．無最大值有最小值B．無最小值有最大值C．無最大值和最小值D．有最大值和最小值3、有5輛6噸汽車，4輛4噸的汽車，要運送最多的貨物，完成這項運輸任務的線性目標函數為___________________4、若滿足的約束條件為要使達到最大值，則=，=___________三、學習引領1、設目標函數為；當時，把直線向上平移時，所對應的隨之增大；把向下平移時，所對應的隨之減少.2.、在約束條件下，當時，求目標函數的最小值或最大值的步驟如下：=1\*GB3①作出可行域；=2\*GB3②作出直線=3\*GB3③確定的平移方向，依可行域判斷取得最優解的點；=4\*GB3④解相關方程組，求出最優解，從而取得目標函數的最小值或最大值.四、典例導析：例1、給定下列命題：在線性規劃中最優解指的是使目標函數取得最大值的變量或的值；最優解指的是目標函數的最大值或最小值；最優解指的是目標函數取得最大值或最小值的可行域；最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解.其中正確命題的序號是_______________解析：因為最優解是使目標是取得最大值（或最小值）的可行解，即滿足相信約束條件的解，它是一個有序實數對，所以1,2,3均錯，4正確，故選4.規律總結：解答這類有關線性規劃概念的真假判定問題，其關鍵在于準確把握線性規劃的有關概念，要注意的是：線性規劃是指線性目標函數（關于變量一次函數）在線性約束條件（關于變量的一次不等式組）下的最值問題.變式練習1、在如圖所示的坐標平面的可行域內（包括邊界的陰影部分），目標函數取得最小值的最優解有無數個，則的一個可能值為（）A.-3B.3C.-1D.1例2、圖中陰影部分滿足不等式組求使目標函數取得最大值的點的坐標.思路導析：畫圖將所求問題分成小區間，進而比較得出結果.解：依題作圖，使目標函數取得最大值的點一定在邊界或上取得.當時，在上是減函數，所以當時，當時，在上是減函數，所以當時，由1、2可知當時，最大，此時，所以所求的點的坐標為.規律總結：本解法是將二元一次函數轉化為一元一次函數，然后利用函數單調性得解.變式練習2、已知變量滿足不等式組求的最大值和最小值.例3、醫院用甲、乙兩張原料為手術后的病人配營養餐.甲種原料每10g含5單位蛋白質和10單位鐵質，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質和4單位鐵質，售價2元，若病人每餐至少需要35單位蛋白質和40單位鐵質.試問：應如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養，又使用費最省？思路導析：將已知數據列成下表原料/10g蛋白質/單位鐵質/單位甲510乙74費用32設甲、乙兩種原料分別用10g和10g，則需要的費用為；病人每餐至少需要35單位蛋白質可表示為；同理，對鐵質的要求可表示為，這樣，問題成為在約束條件下，求目標函數的最小值.解：設甲、乙兩種原料分別用10g和10g，總費用為，那么目標函數為，作出可行域如右圖.把變形為，得到斜率為，在軸上的截距為隨變化的一組平行直線.由圖可知，當直線經過可行域上的點時，截距最小，即最小.由得，所以所以甲種原料使用，乙種原料使用時，費用最省.規律總結：解決此問題的關鍵是將問題的文字語言轉換成數學語言，此題通過表格將數據進行處理，使問題難度大大降低..變式練習3、某工廠有一批長為的長形鋼材，要截成60cm和42cm兩種規格的零件毛坯，找出下料的最佳方案，并計算材料的利用率.五、隨堂練習：1、設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（）Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．142、設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（）B.3D.53、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為（）A．-2B．-4C．-6D．-84、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為5、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為6、設變量滿足約束條件求目標函數的最大值. 六、課后作業：1、設變量滿足約束條件則的取值范圍為（）ABCD2、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為（）A．B．C．D．3、設是不等式組所表示的平面區域，則中的點到直線距離的最大值為4、變量滿足約束條件則的取值范圍為__________5、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為？6、設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為？答案：一．（1）條件（2），越大（3），二．1C解析：依題意作圖，找到可行域，所求即為過點和原點的直線的斜率的取值范圍。2．A解析：根據題意作出可行域，可行域無上界，即可得到答案.3.4．4,2解析：依題意作圖，找到可行域，由得作出與平行的，可得到當直線過點（4,2）是，最大，所以.四．變式訓練1：目標函數取最小值即取最小值，目標函數可變為，取最小值由的符號決定.當時，在點取得最小值，與最優解有無數個矛盾，當時，由圖可知，目標函數的斜率與的斜率相等，取最小值的最優解有無數個，即，故選變式訓練2：由題意作出可行域如圖，，可知，當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且直線往右平移時，隨之增大，在經過不等式組表示的區域內的點且平行于的直線中，以經過點的直線所對應的最大，以經過點的直線所對應的最小，所以.變式訓練3：設鋼材可截成60cm的毛坯根，42cm的毛坯根，截得毛坯的總長度為，根據題意可得且，作出可行域如圖因為要截得的兩種毛坯數必須是整數，所以以的解為坐標的點一定是第一象限內可行域與網格的交點.如果直線與網格有交點，那么按交點坐標的值作為下料方案，這時材料全被利用，因此這個方案是最佳方案.但由圖象可知，直線不能過網格的交點，在這種情況下，應該找靠近直線的網格的交點.當直線的右上方的半平面內找網格交點時，網格交點坐標都使，這時兩種零件毛坯長度的和超過了原鋼材的長度，問題的最優解不可能在這個區域內，所以下料范圍只能限制在表示的可行域內，在直線的左半平面上找靠近直線的網格交點，得，所以鋼材截成60cm的毛坯2根，42cm的毛坯3根，材料盡管沒有完全被利用，但廢料最少，此時材料的利用率為%.所以鋼材截成60cm的毛坯2根，42cm的毛坯3根是下料的最佳方案，并且材料的利用率為%.五．解析：只需畫出線性規劃區域如圖，可知，在處取得最大值11.2.D解析：如圖，由得，目標函數在點處取得最大值，即。3.D解析：作出可行域如圖，令=0，則，平移在點處取到最小值-8.4.解析：如圖，在處取得最小值，解得，代入得5.解析：如圖，在處取得最小值，解得，代入得6.依題意作出可行域，做直線，，即，將此直線向右上方平移，當恰好與直線BC重合時，與原點的距離最大，從而，此時BC邊上的每一點的坐標都是最優解，因此最優解的個數有無窮多個，而它們對應的目標函數的值都是135.六．1．D解析：依題意作圖，找到可行域，所求即為過點和原點的直線的斜率的取值范圍。2.D解析：依題意作出可行域，即點與可行域上點間距離的平方，顯然長度最小，所以