湖北省宜昌市三峽藝術(shù)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知0<x<1,a、b為常數(shù)，且ab>0，則的最小值為（

）A.(a+b)2

B.(a-b)2

C.a+b

D.a-b參考答案：A略2.2路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，小明到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過兩分鐘的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A∵公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過

當(dāng)乘客在上一輛車開走后3分鐘內(nèi)到達(dá)候車時(shí)間會(huì)超過2分鐘

∴乘客候車時(shí)間不超過2分鐘的概率為．故選A.

3.?x1∈（1，2），?x2∈（1，2）使得lnx1=x1+，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C．[3﹣3ln2，+∞） D．（3﹣3ln2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】2H：全稱命題．【分析】由題意得到lnx1﹣x1=m﹣mx2，設(shè)h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域?yàn)锳，函數(shù)g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域?yàn)锽，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求m的取值范圍．【解答】解：由題意，得lnx1﹣x1=，設(shè)h（x）=lnx﹣x在（1，2）上的值域?yàn)锳，函數(shù)g（x）=mx3﹣mx在（1，2）上的值域?yàn)锽，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h′（x）=﹣1=＜0，函數(shù)h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，故h（x）∈（ln2﹣2，﹣1），∴A=（ln2﹣2，﹣1）；又g'（x）=mx2﹣m=m（x+1）（x﹣1），m＞0時(shí)，g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，此時(shí)g（x）的值域?yàn)锽=（﹣，），由題意A?B，且m＞0＞﹣1，∴﹣≤ln2﹣2，解得m≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2；∴正實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3﹣ln2，+∞）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是中檔題．4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A．

B.

C.

D.參考答案：A6.已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是（

）A. B.C. D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限參考答案：C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出，然后求出，，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依次排除答案。【詳解】由，可得，，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為，在第二象限；故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。8.若m∈R，則“l(fā)og6m=﹣1”是“直線l1：x+2my﹣1=0與l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)直線平行的等價(jià)條件求出m，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由log6m=﹣1得m=，若l1：x+2my﹣1=0與l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行，則直線斜率相等或斜率不存在，解得m=0或m=，則“l(fā)og6m=﹣1”是“直線l1：x+2my﹣1=0與l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0平行”的充分不必要條件，故選：A9.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則“a＜b”是“a－＜b－”成立的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件

D．充要條件參考答案：D10.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．為了調(diào)查他們的身體狀況，需從他們中抽取一個(gè)容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是（）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣D．先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣參考答案：D【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】由于總體由具有明顯不同特征的三部分構(gòu)成，故應(yīng)采用分層抽樣的方法，若直接采用分層抽樣，則運(yùn)算出的結(jié)果不是整數(shù)，先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣．【解答】解：由于總體由具有明顯不同特征的三部分構(gòu)成，故不能采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也不能用系統(tǒng)抽樣，若直接采用分層抽樣，則運(yùn)算出的結(jié)果不是整數(shù)，先從老年人中剔除一人，然后分層抽樣，此時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于==，從各層中抽取的人數(shù)分別為27×=6，54×=12，81×=18．故選

D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的漸近線方程為y=，則雙曲線的離心率為________參考答案：12.設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1的離心率e=，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則?的最大值為．參考答案：4【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可知離心率e===，即可求得b的值，則F（﹣1，0），A（2，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），=3（1﹣），=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，?=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=（﹣1）2，由﹣2≤x0≤2，即可求得?的最大值．【解答】解：由焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1，a=2，c=，離心率e===，解得：b2=3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，∴F（﹣1，0），A（2，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則有，解得：=3（1﹣），=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），?=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=﹣x0﹣2+3（1﹣）=﹣x0+1=（﹣1）2，∵﹣2≤x0≤2，∴當(dāng)x0=﹣2時(shí)，?取最大值，最大值為4，故答案為：4．13.給出下列函數(shù)：①y=x+；②y=lgx+logx10（x＞0，x≠1）；③y=sinx+（0＜x≤）；④y=；⑤y=（x+）（x＞2）．其中最小值為2的函數(shù)序號(hào)是

．參考答案：③⑤【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】運(yùn)用分類討論可判斷①②不成立；由函數(shù)的單調(diào)性可知④不成立；運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得③對(duì)；由x﹣2＞0，運(yùn)用基本不等式可知⑤對(duì)．【解答】解：①y=x+，當(dāng)x＞0時(shí)，y有最小值2；x＜0時(shí)，有最大值﹣2；②y=lgx+logx10（x＞0，x≠1），x＞1時(shí)，有最小值2；0＜x＜1時(shí)，有最大值﹣2；③y=sinx+（0＜x≤），t=sinx（0＜t≤1），y=t+≥2=2，x=最小值取得2，成立；④y==+，t=（t≥），y=t+遞增，t=時(shí)，取得最小值；⑤y=（x+）（x＞2）=（x﹣2++2）≥（2+2）=2，x=3時(shí)，取得最小值2．故答案為：③⑤．14.設(shè)復(fù)平面上關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)Z1，Z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，若z1－(3z2－1)i＝[z2＋(2＋z1)i]i，則z1z2＝

．參考答案：15.已知命題p：?x∈R，ex＜0，則?p是

．參考答案：?x∈R，ex≥0【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到結(jié)論．【解答】解：∵命題p：?x∈R，ex＜0是特稱命題，∴￢p：?x∈R，ex≥0，故答案為：?x∈R，ex≥0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．16.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為___________.參考答案：0．98.【分析】本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為10+20+10=40，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．17.已知函數(shù)y＝tanωx在(－，)內(nèi)是減函數(shù)，則ω的取值范圍是__▲___參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)（1）時(shí)，求最小值；（2）若在是單調(diào)減函數(shù)，求取值范圍．參考答案：（1）時(shí)時(shí)時(shí)

單減，在單增時(shí)有最小值1

……………6分（2）在為減函數(shù)，則恒成立，最小值

……9分令則

……………13分

略19.（本題滿分16分）已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2＋(a＋1)x＋1．（1）當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若a＞0，且對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|＞2|x1－x2|，求實(shí)數(shù)a的最小值．參考答案：解：（1）當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－lnx＋x2＋1．則f′(x)＝－＋x…3分

令f′(x)＞0，得x＜0或x＞1．

所以函數(shù)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞)．……………5分

（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，

所以f′(x)＝＝＝≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立.……8分

即x＋a≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立．

所以a≥0．

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞)．…………10分

（3）因?yàn)閍＞0，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

因?yàn)閤1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，不妨設(shè)x1＞x2，所以f(x1)＞f(x2)．由|f(x1)－f(x2)|>2|x1－x2|恒成立，可得f(x1)－f(x2)＞2(x1－x2)，

即f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2恒成立．

令g(x)＝f(x)－2x，則在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

………………12分

所以g′(x)＝＋x＋(a＋1)－2＝≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立．

即x2＋(a－1)x＋a≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立．即a≥－對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立

因?yàn)椋剑?x＋1＋－3)≤3－2（當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝即x＝－1時(shí)取等號(hào)），

所以a≥3－2．所以實(shí)數(shù)a的最小值為3－2．………………16分略20.已知函數(shù)，，，其中且.（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（3）若對(duì)任意的，函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案：20.解：（I），其中.…1分

因?yàn)椋裕郑裕?分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其最小值為.…3分

（II）當(dāng)時(shí)，，.…K*s#5u………5分

的變化如下表：00

…6分所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.…7分函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.…7分（III）由題意，.不妨設(shè)，則由得.…8分令，則函數(shù)在單調(diào)遞增.…………9分在恒成立.…………10分

即在恒成立.因?yàn)椋?2分因此，只需.解得.故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.…14分

21.（本小題滿分14分）動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線．圓的圓心是曲線上的點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn)，且.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)2,若點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由.參考答案：（本小題滿分14分）(本小題主要考查求曲線的軌跡方程、直線、圓、拋物線等知識(shí),

考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí))

(1)解法1:設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意,得,

即,

……2分

化簡(jiǎn)得:,

∴曲線的方程為.

……4分

解法2:由于動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線.

……2分

∴曲線的方程為.

…4分（2）解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，

∵點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),

∴().

∴

…6分

.

∵,∴,則當(dāng)時(shí),取得最小值為,

…8分

依題意得,

兩邊平方得,

解得或(不合題意,舍去).

……10分

∴,,即.

∴圓的圓心的坐標(biāo)為.

∵圓與軸交于兩點(diǎn)，且,

∴.

∴.

…12分

∵點(diǎn)到直線的距離,

∴直線與圓相離.