浙江省溫州市林垟中學(xué)2022高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.圓的圓心的極坐標(biāo)是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略2.下列命題中是假命題的是（）A．若a＞0，則2a＞1B．若x2+y2=0，則x=y=0C．若b2=ac，則a，b，c成等比數(shù)列D．若a+c=2b，則a，b，c成等差數(shù)列參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A，由指數(shù)函數(shù)y=2x可得，當(dāng)a＞0，2a＞1；B，∵x2≥，y2≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，∴當(dāng)x2+y2=0時(shí)，一定有x=y=0；C，當(dāng)b2=ac時(shí)，a，b，c可能同時(shí)為0，此時(shí)a，b，c不是等比數(shù)列；D，當(dāng)a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，則a，b，c一定成等差數(shù)列．【解答】解：對(duì)于A，由指數(shù)函數(shù)y=2x可得，當(dāng)a＞0，2a＞1，故正確；對(duì)于B，∵x2≥，y2≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，∴當(dāng)x2+y2=0時(shí)，一定有x=y=0，故正確；對(duì)于C，當(dāng)b2=ac時(shí)，a，b，c可能同時(shí)為0，此時(shí)a，b，c不是等比數(shù)列，故錯(cuò)；對(duì)于D，當(dāng)a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，則a，b，c一定成等差數(shù)列，故正確．故選：C．3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由n=k的假設(shè)證明n=k+1時(shí)，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】當(dāng)n=k+1時(shí)，右邊=，由此可得結(jié)論．【解答】解：由所證明的等式，當(dāng)n=k+1時(shí)，右邊==故選D．4.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（

）．（1） （2）截面 （3） （4）異面直線PM與BD所成的角為45° A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C∵，∴面，又∵平面平面，∴，∴截面．②正確；同理可得，故．①正確，又，，∴異面直線與所成的角為，故④正確．根據(jù)已知條件無(wú)法得到、長(zhǎng)度之間的關(guān)系，故③錯(cuò)誤．故選．5.已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我們把使乘積a1?a2?a3?…?an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為（）A．1024 B．2003 C．2026 D．2048參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)換底公式，把a(bǔ)n=log（n+1）（n+2）代入a1?a2…an并且化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為log2（n+2），由log2（n+2）為整數(shù)，即n+2=2m，m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區(qū)間[1，2004]內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和．【解答】解：由換底公式：．∴a1?a2?a3?…?an=log23?log34…log（n+1）（n+2）===log2（n+2），∵log2（n+2）為整數(shù)，∴n+2=2m，m∈N*．n分別可取22﹣2，23﹣2，24﹣2，最大值2m﹣2≤2004，m最大可取10，故和為22+23++210﹣18=2026．故選：C．6.已知，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的上下頂點(diǎn)分別為B2、B1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B2的直線l與以橢圓的中心為頂點(diǎn)、以B2為焦點(diǎn)的拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l與橢圓交于B2、C兩點(diǎn)，且||=2||．直線l1過(guò)點(diǎn)B1且垂直于y軸，線段AB的中點(diǎn)M到直線l1的距離為．設(shè)=λ，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A．（0，3） B．（﹣，2） C．（﹣，4） D．（﹣，3）參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得丨AB丨=2×=，丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，丨BB2丨=2，即可求得b的值，將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，即可求得m的值，求得直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得λ的表達(dá)式，由a的取值范圍，即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解答】解：如圖，由題意可知：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（a＞b＞0），線段AB的中點(diǎn)M到直線l1的距離為，∴由拋物線的定義可知：丨AB丨=2×=，由||=2||，∴丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，由三角形的相似關(guān)系求得丨BB2丨=2，∴2b=2，b=1，．拋物線方程為x2=4y，設(shè)直線AB的方程為：x=m（y﹣1），由，代入整理得：m2y2﹣2（m2+2）y+m2=0，由韋達(dá)定理可知：yA+yB=，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式可知：丨AB丨=yA+yB+p=+2=，解得：m=±2，∴直線AB的方程為：x=±2（y﹣1），∴，整理得：（8+a2）y2﹣16y+8﹣a2=0，由韋達(dá)定理可知：yC+=，∴yC=﹣1=，=λ，yB﹣yC=λ（﹣yB），由拋物線的性質(zhì)可知：yB=丨BB2丨﹣b，=b，∴﹣yC=λ，整理得：λ==3﹣，由a2＞b2=1，∴﹣＜λ＜3，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍（﹣，3），故選D．7.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A. B.2 C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)題意求出x,y滿足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代換，求解最小值【詳解】如圖可知x，y均為正，設(shè)，共線，，，則，，則的最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】平面向量與基本不等式的綜合題目，考察基本不等式中“1”的代換，求解代數(shù)式最值問(wèn)題8.已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則等于A．16

B.8

C.4

D.2參考答案：B略9.已知復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部

（

）A.不小于

B.不大于

C.大于

D.小于參考答案：B10.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度

B．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度

C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度

D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)

則_____________參考答案：略12.(5分)已知，存在，使對(duì)任意，都有整除，則的最大值為_(kāi)_____________.

參考答案：6413.橢圓（a＞b＞0）)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，若∠F1PF2＝45°，則橢圓的離心率e＝__________．參考答案：略14.已知扇形的圓心角為（定值），半徑為（定值），分別按圖一、二作扇形的內(nèi)接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為，則按圖二作出的矩形面積的最大值為

▲

．參考答案：15.從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有______個(gè)用數(shù)字作答參考答案：300【分析】根據(jù)題意，分三種情況進(jìn)行討論，四位數(shù)中包含5和0的情況，四位數(shù)中包含5，不含0的情況，四位數(shù)中包含0，不含5的情況，再由分步計(jì)數(shù)原理，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，分三種情況進(jìn)行討論，（1）四位數(shù)中包含5和0的情況，共有個(gè)；（2）四位數(shù)中包含5，不含0的情況，共有個(gè)；（3）四位數(shù)中包含0，不含5的情況，共有個(gè)，再由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，可得個(gè)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的綜合應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，以及被5整除的數(shù)的特點(diǎn)，合理分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．16.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1（b∈R），若當(dāng)x∈時(shí)，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】考查函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，得出函數(shù)f（x）在上是單調(diào)增函數(shù)，由f（x）min＞0求出b的取值范圍即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，且開(kāi)口向下，∴函數(shù)f（x）在上是單調(diào)遞增函數(shù)，而f（x）＞0恒成立，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1﹣2+b2﹣b+1＞0，解得b＜﹣1或b＞2，∴b的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求不等式的解集的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟記基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．17.已知點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)集合A=＜，集合B=＞，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：由＜1得＜＜

＜＜

………………4分

由＞0

得＜＜1或＞2

＜＜1或＞

……8分

或

解得或

的取值范圍為

………………13分19.（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，其中，，，底面，是的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）若，求證：平面。參考答案：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，。∵是中點(diǎn)，∴中，且∴四邊形為平行四邊形。∴，又平面，平面∴平面。（2）由（1），∵，，∴平面，從而，即。在Rt中，∵，為中點(diǎn)，∴。又，∴平面，又，∴平面。20.設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，其中；：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a<x<3a，當(dāng)a＝1時(shí)，1<x<3，即p為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的范圍是1<x<3…………2分由q為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的范圍是x3，………4分若p∧q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1,3)．……5分(2)：x≤a或x≥3a，

：x<-2或x>3，由是的充分不必要條件，有……………………8分得0<a≤1，顯然此時(shí)，即a的取值范圍為(0,1]．………10分21.已知函數(shù)，曲線的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a，并證明；（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得，得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；（2）把對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，由切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入，解得，故，則，則，得，，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，所以．（2）由對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，令，得，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，得；，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，故，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式關(guān)系的證明和恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．22.為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該處理成本y（萬(wàn)元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：，且每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20萬(wàn)元的某種化工產(chǎn)品．（Ⅰ）當(dāng)x∈[30，50]時(shí)，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少萬(wàn)元，該工廠才不虧損？（Ⅱ）當(dāng)處理量為多少?lài)崟r(shí)，每噸的平均處理成本最少．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20萬(wàn)元的某種化工產(chǎn)品，及處理成本y（萬(wàn)元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系，可得利潤(rùn)函數(shù)，利用配方法，即可求得結(jié)論；（Ⅱ）求得二氧化碳的每噸平均處理成本函數(shù)是分段函數(shù)，再分段求出函數(shù)的最值，比較其大小，即可求得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)x∈[30，50]時(shí)，設(shè)該工廠獲利為S，則S=20x﹣（x2﹣40x+1600）=﹣（x﹣30）2﹣700所以當(dāng)x∈[30，50]時(shí)，S＜0，因此，該工廠不會(huì)獲利，所以國(guó)家至少需要補(bǔ)貼700萬(wàn)元，才能使工廠不虧損