1．排列(二)[學習目標]1．進一步加深對排列概念的理解．2．掌握幾種有限制條件的排列，能應用排列數公式解決簡單的實際問題．[知識鏈接]有限制條件的排列問題的解題思路有哪些？答所謂有限制條件的排列問題是指某些元素或位置有特殊要求．解決此類問題常從特殊元素或特殊位置入手進行解決，常用的方法有直接法和間接法，直接法又有分步法和分類法兩種．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置優先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解決，特別地：(ⅰ)當某些特殊元素要求必須相鄰時可以先將這些元素看作一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內部排序，這種分步法稱為“捆綁法”，即“相鄰元素捆綁法”．(ⅱ)當某些特殊元素要求不相鄰時，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空檔，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”．②分類法直接按特殊元素當選情況或特殊位置安排進行分類解決，即直接分類法．特別地當某些元素按一定順序排列時可用“等機率法”，即n個不同元素參加排列，其中m個元素的順序是確定的，這類問題的解法采用分類法：n個不同元素的全排列有Aeq\o\al(n,n)種排法，m個元素的排列有Aeq\o\al(m,m)種排法，因此Aeq\o\al(n,n)種排法中關于m個元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m)類，而且每一分類的排法數是一樣的，當這m個元素順序確定時，共有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))種排法．(2)間接法符合條件數等于無限制條件數與不符合條件數的差．故求符合條件的種數時，可先求與其對應的不符合條件的種數，進而求解，即“間接法”．[預習導引]1．排列數公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！)．Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規定0！＝1．2．應用排列與排列數公式求解實際問題中的計數問題的基本步驟：要點一數字排列的問題例1用0，1，2，3，4，5這六個數字(1)可以組成多少個數字不重復的三位數？(2)可以組成多少個數字允許重復的三位數？(3)可以組成多少個數字不允許重復的三位奇數？(4)可以組成多少個數字不重復的小于1000的自然數？(5)可以組成多少個大于3000，小于5421的不重復的四位數？解(1)分三步：①先選百位數字，由于0不能作百位數字，因此有5種選法；②十位數字有5種選法；③個位數字有4種選法．由分步乘法計數原理知所求三位數共有5×5×4＝100(個)．(2)分三步：①百位數字有5種選法；②十位數字有6種選法；③個位數字有6種選法．故所求三位數共有5×6×6＝180(個)．(3)分三步：①先選個位數字，有3種選法；②再選百位數字，有4種選法；③選十位數字也有4種選法，所以所求三位奇數共有3×4×4＝48(個)．(4)分三類：①一位數共有6個；②兩位數共有5×5＝25(個)；③三位數共有5×5×4＝100(個)．因此，比1000小的自然數共有6＋25＋100＝131(個)．(5)分四類：①千位數字為3，4之一時，共有2×5×4×3＝120(個)；②千位數字為5，百位數字為0，1，2，3之一時，共有4×4×3＝48(個)；③千位數字為5，百位數字為4，十位數字為0，1之一時，共有2×3＝6(個)；④還有5420也是滿足條件的1個．故所求四位數共120＋48＋6＋1＝175(個)．規律方法排列問題的本質是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現在某元素不排在某個位子上，或某個位子上不排某個元素．解決此類問題的方法主要按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先考慮特殊位子，若一個位子安排的元素影響另一個位子的元素個數時，應分類討論．跟蹤演練1用0，1，2，…，9十個數字可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復數字的數：(1)五位奇數；(2)大于30000的五位偶數．解(1)要得到五位奇數，末位應從1，3，5，7，9五個數字中取，有5種取法；取定末位數字后，首位就有除這個數字和0之外的8種不同取法；首末兩位取定后，十個數字還有八個數字可供中間的十位、百位與千位三個數位選取，共有Aeq\o\al(3,8)種不同的排列方法．因此由分步乘法計數原理共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440個沒有重復數字的五位奇數．(2)要得偶數，末位應從0，2，4，6，8中選取，而要得比30000大的五位偶數，可分兩類：①末位數字從0，2中選取，則首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一個，共有7種選取方法，其余三個數位可從除首末兩個數位上的數字之外的八個數字中選取，共Aeq\o\al(3,8)種取法．所以共有2×7×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．②末位數字從4，6，8中選取，則首位應從3，4，5，6，7，8，9中除去末位數字的六個數字中選取，其余三個數位仍有Aeq\o\al(3,8)種選法，所以共有3×6×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．由分類加法計數原理，比30000大的無重復數字的五位偶數共有2×7×Aeq\o\al(3,8)＋3×6×Aeq\o\al(3,8)＝10752(個)．要點二排隊問題例23名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數：(1)選5名同學排成一行；(2)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(3)全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端；(4)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全體站成一排，男、女各站在一起；(6)全體站成一排，男生必須排在一起；(7)全體站成一排，男生不能排在一起；(8)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(9)全體站成一排，甲、乙中間必須有2人；(10)全體站成一排，甲必須在乙的右邊；(11)全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右順序不變；(12)排成前后兩排，前排3人，后排4人．解(1)無限制條件的排列問題，只要從7名同學中任選5名排列，即可得共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)(直接分步法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余6人全排Aeq\o\al(6,6)，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再安排其余5人全排Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)．(4)法一(直接分類法)按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)(種)；第二類：甲不在最右端時，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置，而其余全排Aeq\o\al(5,5)，N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5).故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法二(間接法)無限制條件的排列數共有Aeq\o\al(7,7)，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法三(直接分步法)按最左端優先安排分步對于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但減去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．(5)相鄰問題(捆綁法)男生必須站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體男生、女生各視為一個元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計數原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)．(6)(捆綁法)即把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排，故N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(種)．(7)即不相鄰問題(插空法)：先排女生共Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排有Aeq\o\al(3,5)種排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．(8)對比(7)讓女生插空：N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(9)(捆綁法)任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排，故N＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(種)．(10)甲與乙之間的左右關系各占一半，故N＝eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(2,2))＝2520(種)．(11)甲、乙、丙自左向右順序保持不變，即為所有甲、乙、丙排列的eq\f(1,Aeq\o\al(3,3))，∴N＝eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840(種)．(12)直接分步完成共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．規律方法排隊問題的解題策略排隊問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰、定序等問題．(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決．即將相鄰的元素視為一個整體進行排列．(2)對于不相鄰問題，可采用“插空法”解決．即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中．(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數除以順序一定元素的全排列數．跟蹤演練2分別求出符合下列要求的不同排法的種數：(1)6名學生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰．解(1)分排與直排一一對應，故排法種數為Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)排法．要點三排列的綜合應用例3從數字0，1，3，5，7中取出不同的三個數作系數，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有實根的方程有多少個？解先考慮組成一元二次方程的問題．首先確定a，只能從1，3，5，7中選一個，有Aeq\o\al(1,4)種，然后從余下的4個數中任選兩個作b，c，有Aeq\o\al(2,4)種．由分步乘法計數原理知，共組成一元二次方程Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48(個)方程要有實根，必須滿足Δ＝b2－4ac≥0.分類討論如下：當c＝0時，a，b可以從1，3，5，7中任取兩個，有Aeq\o\al(2,4)種；當c≠0時，分析判別式知b只能取5，7中的一個．當b取5時，a，c只能取1，3這兩個數，有Aeq\o\al(2,2)種；當b取7時，a，c可取1，3或1，5這兩組數，有2Aeq\o\al(2,2)種．此時共有(Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2))個．由分類加法計數原理知，有實根的一元二次方程共有：Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(個)．規律方法該例的限制條件較隱蔽，需仔細分析，一元二次方程中a≠0需要考慮到，而對有實根的一元二次方程需有Δ≥0.這里有兩層意思：一是a不能為0；二是要保證b2－4ac≥0，所以需先對c能否取0進行分類討論．實際問題中，既要能觀察出是排列問題，又要能搞清哪些是特殊元素，還要根據問題進行合理分類、分步，選擇合適的解法．因此需做一定量的排列應用題，逐漸掌握解決問題的基本思想．跟蹤演練3從集合{1，2，3，…，20}中任選出3個不同的數，使這3個數成等差數列，這樣的等差數列可以有多少個？解設a，b，c∈N*，且a，b，c成等差數列，則a＋c＝2b，即a＋c應是偶數．因此從1到20這20個數字中任選出三個數成等差數列，則第一個數與第三個數必同為偶數或同為奇數，而1到20這20個數字中有10個偶數和10個奇數．當第一個和第三個數選定后，中間數被唯一確定．因此，選法只有兩類．(1)第一、三個數都是偶數，有Aeq\o\al(2,10)種；(2)第一、三個數都是奇數，有Aeq\o\al(2,10)種．于是，選出3個數成等差數列的個數為Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180(個).1．用1，2，3，4，5這5個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數共有()A．30個B．36個C．40個D．60個答案B解析分2步完成：個位必為奇數，有Aeq\o\al(1,3)種選法；從余下的4個數中任選2個排在三位數的百位、十位上，有Aeq\o\al(2,4)種選法．由分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(2,4)＝36(個)無重復數字的三位奇數．2．6人站成一排，甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數為()A．720B．144C．576D．684答案C解析(間接法)甲、乙、丙三人在一起的排法種數為Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,3)；不考慮任何限制，6人的全排列有Aeq\o\al(6,6).∴符合題意的排法種數為Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝576.3．(2023·北京理)將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是________．答案96解析5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其他號碼各為一組，分給4人，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96種．4．將紅、黃、藍、白、黑5種顏色的小球，放入紅、黃、藍、白、黑5種顏色的小口袋中，若不允許有空袋，且紅口袋中不能裝入紅球，則有________種不同的放法．答案96解析∵紅口袋不能裝入紅球，∴紅球只能放在黃、藍、白、黑4種顏色的口袋中，∴紅球有Aeq\o\al(1,4)種放法，其余的四個球在四個位置全排列有Aeq\o\al(4,4)種放法，由分步計數原理得到共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(種)．1．對有特殊限制的排列問題，優先安排特殊元素或特殊位置．2．對從正面分類繁雜的排列問題，可考慮使用間接法．3．對要求某些元素相鄰或不相鄰的排列問題，可使用“捆綁法”“插空法”.一、基礎達標1．把4個不同的黑球，4個不同的紅球排成一排，要求黑球、紅球分別在一起，不同的排法種數是 ()A．Aeq\o\al(8,8) B．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2) D．以上都不對答案C2．6個停車位置，有3輛汽車需要停放，若要使3個空位連在一起，則停放的方法總數為 ()A．Aeq\o\al(3,3) B．Aeq\o\al(3,6) C．Aeq\o\al(4,6) D．Aeq\o\al(4,4)答案D解析3個空位連在一起作為1個元素與3輛汽車看成4個不同元素的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)種停放方法．3．某省有關部門從6人中選4人分別到A，B，C，D四個地區調研十二五規劃的開局形勢，要求每個地區只有1人，每人只去一個地區，且這6人中甲、乙兩人不去A地區，則不同的安排方案有 ()A．300種 B．240種 C．144種 D．96種答案B解析A地區有Aeq\o\al(1,4)種方法，其余地區有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝240(種)．4．8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數為 ()A．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9) B．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,10) C．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7) D．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,6)答案A解析運用插空法，8名學生間共有9個空隙(加上邊上空隙)，先把老師排在9個空隙中，有Aeq\o\al(2,9)種排法，再把8名學生排列，有Aeq\o\al(8,8)種排法，共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)種排法．5．從0，1，2，3這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)＝ax2＋bx＋c中的參數a，b，c，可組成不同的二次函數共有________個．答案18解析若得到二次函數，則a≠0，a有Aeq\o\al(1,3)種選擇，故二次函數有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝3×3×2＝18(個)．6．從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有________種．答案186解析沒有女生的選法有Aeq\o\al(3,4)種，一共有Aeq\o\al(3,7)種選法，則至少有1名女生的選派方案共有Aeq\o\al(3,7)－Aeq\o\al(3,4)＝186(種)．7．(1)某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？(2)將4位司機、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？解(1)分3類：第一類用1面旗表示的信號有Aeq\o\al(1,3)種；第二類用2面旗表示的信號有Aeq\o\al(2,3)種；第三類用3面旗表示的信號有Aeq\o\al(3,3)種．由分類加法計數原理，所求的信號種數是Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15種不同的信號．(2)由分步乘法計數原理，分配方案種數共有N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576.即共有576種不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生與兩名女生排成一排照相，如果男生甲必須站在中間，兩名女生必須相鄰，符合條件的排法共有 ()A．48種 B．192種 C．240種 D．288種答案B解析(間接法)將兩名女生看作1人，與四名男生一起排隊，有Aeq\o\al(5,5)種排法，而女生可互換位置，所以共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2,2)種排法，男生甲插入中間位置，只有一種插法；而4男2女排列中2名女生恰在中間的排法共有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4)(種)，這時男生甲若插入中間位置不符合題意，故符合題意的排列總數為Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝192.9．5名大人要帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭、尾，則共有______種排法(用數字作答)．答案1440解析先讓5名大人全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，兩個小孩再依條件插空有Aeq\o\al(2,4)種方法，故共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,4)＝1440(種)排法．10．(2023·浙江卷)將A，B，C，D，E，F六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有________種(用數字作答)．答案480解析按C的位置分類，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因為左右是對稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可．當C在左邊第1個位置時，有Aeq\o\al(5,5)，當C在左邊第2個位置時Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)，當C在左邊第3個位置時，有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3).這三種情況的和為240種，乘以2得480.則不同的排法共有480種．11．某天課程表要排入政治、語文、數學、物理、化學、體育共6門課程，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，一共有多少種不同的排法？解不考慮任何條件限制共有Aeq\o\al(6,6)種排法，其中包括不符合條件的有：(1)數學排在最后一節，有Aeq\o\al(5,5)