河南省新鄉(xiāng)市輝縣文昌高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知滿足約束條件當目標函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（A）5（B）4（C）（D）2參考答案：B2.某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘0.20元(不滿三分鐘按三分鐘計算)，以后每加一分鐘增收0.10元(不滿一分鐘按一分鐘計算)，那么某人打市話550秒，應支付電話費()A．1.00元

B．0.90元C．1.20元

D．0.80元參考答案：B3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C程序運行過程中，各變量的值如下表示：

是否繼續(xù)循環(huán)

i

S

循環(huán)前

1

0

第一圈

是

2-1

第二圈

是

3

3第三圈

是

4-6第四圈

是

5

10第五圈

否故最后輸出的S值為104.橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若線段PF2的中點在y軸上，則|PF2|是|PF1|的()A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍參考答案：A解：設線段PF2的中點為D，則|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x軸，∴PF1⊥x軸，∴|PF1|＝＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－＝，∴|PF2|是|PF1|的7倍.故選A.5.設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2,過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則的最小值為（

）A.10 B.11 C.12 D.13參考答案：B【分析】利用雙曲線定義可知求解的最小值即為求解的最小值；當最小時，為通徑，從而利用通徑長和雙曲線方程可求得所求最小值.【詳解】由得：，由雙曲線定義可知：；又為雙曲線的焦點弦

最小時，為通徑

本題正確選項：【點睛】本題考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是能夠利用雙曲線的定義將問題轉(zhuǎn)化為最短焦點弦的問題，根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)可知最短的焦點弦為通徑，從而使問題得以求解.6.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是

（

） A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】幾何概型K3D由得，設BC邊中點為D，則,P為AD中點，所以黃豆落在內(nèi)的概率是，故選D.【思路點撥】：由得P為BC邊中線AD的中點，由此可得黃豆落在內(nèi)的概率.7.某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．已知9時至10時的銷售額為3萬元，則11時至12時的銷售額為(

)A．8萬元 B．10萬元 C．12萬元 D．15萬參考答案：C【考點】頻率分布直方圖．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】由頻率分布直方圖得0.4÷0.1=4，也就是11時至12時的銷售額為9時至10時的銷售額的4倍．【解答】解：由頻率分布直方圖得0.4÷0.1=4∴11時至12時的銷售額為3×4=12故選C【點評】本題考查頻率分布直方圖，關(guān)鍵是注意縱坐標表示頻率比組距，屬于基礎題．8.若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=（A）

（B）

（C）

（D）1參考答案：A本題主要考查了函數(shù)問題中的奇偶性問題，用特值法解答更巧妙，難度中等。（法一），，因為函數(shù)為奇函數(shù)，故，即，整理得。（法二），因為函數(shù)為奇函數(shù)，故，即，整理得.，因為，所以，即。9.如圖，已知在四棱錐中，底面是菱形,底面，，則四棱錐的體積的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A，所以，所以高,底面積為,所以四棱錐的體積為，因為，所以，，即，所以體積的取值范圍是，選A.10.一電子廣告，背景是由固定的一系列下頂點相接的正三角形組成，這列正三解形的底邊在同一直線上，正三角形的內(nèi)切圓由第一個正三角形的點沿三角形列的底邊勻速向前滾動（如圖），設滾動中的圓與系列正三角形的重疊部分（如圖中的陰影）的面積關(guān)于時間的函數(shù)為，則下列圖中與函數(shù)圖像最近似的是（）．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.014年巴西世界杯的周邊商品有80%左右為“中國制造”，所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮。甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學期望）。

參考答案：(I)35(II)14(III)012…解析：解：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為；………….2分（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為；…………4分（3），……..5分，………….8分的分布列為012

……………….11分均值….12分

略12.復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為

.參考答案：(0,-1)試題分析：由題首先化簡所給復數(shù)，然后根據(jù)復數(shù)第對應的復平面上的點即可判斷對應坐標；由題，所以對應坐標為(0,-1).考點：復數(shù)幾何性質(zhì)13.我國唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里明月和清泉，都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變，其余各詞均如此．變化中的不變性質(zhì)，在文學和數(shù)學中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x2=y的圖象（如圖），過交點F作直線l交C于A、B兩點，過A、B分別作C的切線，兩切線交于點P，過點P作x軸的垂線交C于點N，拖動點B在C上運動，會發(fā)現(xiàn)是一個定值，該定值是

．參考答案：1【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】線段AB是過拋物線x2=y焦點F的弦，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點．N點在拋物線的準線上．根據(jù)拋物線的定義知：NF=NP，∴現(xiàn)是一個定值1．【解答】解：線段AB是過拋物線x2=y焦點F的弦，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點．N點在拋物線的準線上．下面證明證明：由拋物線x2=y，得其焦點坐標為F（0，）．設A（x1，x12），B（x2，x22），直線l：y=kx+代入拋物線x2=y得：x2﹣kx﹣=0．∴x1x2=﹣…①．又拋物線方程為：y=x2，求導得y′=2x，∴拋物線過點A的切線的斜率為2x1，切線方程為y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②拋物線過點B的切線的斜率為2x2，切線方程為yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③由①②③得：y=﹣．∴P的軌跡方程是y=﹣，即N在拋物線的準線上；根據(jù)拋物線的定義知：NF=NP，∴是一個定值1．故答案為：114.下列幾個命題：①函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；②“”是“一元二次不等式的解集為”的充要條件；③設函數(shù)的定義域為,則函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱；④若函數(shù)為奇函數(shù)，則；⑤已知，則的最小值為。其中正確的有___________________。參考答案：②④．試題分析：①函數(shù)是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，故①錯誤；對于③，若，則的圖像不關(guān)于軸對稱，故③錯誤；對于⑤，由若等號成立，不成立，則，沒有最小值，故⑤錯誤，故選②④．考點：函數(shù)的性質(zhì)及不等式．15.已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，則M∩N＝

▲

．參考答案：(0,1)16.若實數(shù)x滿足log2x+cosθ=2，則|x﹣8|+|x+2|=．參考答案：10略17.若,則的最小值為________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)。（Ⅰ）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并比較與的大小關(guān)系（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）求證：。參考答案：略19.在銳角△ABC中,內(nèi)角A、B,、C的對邊分別為a、b、c,且2asinB=b.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積.參考答案：略20.如圖，動點M與兩定點A(－1，0)，B(2，0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．設動點M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）設直線（其中）與y軸相交于點P，與軌跡C相交于點Q，R，且，求的取值范圍．參考答案：解：（1）設的坐標為，顯然有，且，

當時，點的坐標為，

當時，，由，有，即，

化簡可得，，而點也在曲線，

綜上可知，軌跡的方程為；

（2）由，消去并整理，得，

由題意，方程有兩根且均在內(nèi)．設f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，∴，解得，且，

又∵，∴，

設，的坐標分別為，，由及方程有，，∴，由，得，

故的取值范圍是．略21.設點到坐標原點的距離和它到直線的距離之比是一個常數(shù)．（1）求點的軌跡；（2）若時得到的曲線是，將曲線向左平移一個單位長度后得到曲線，過點的直線與曲線交于不同的兩點，過的直線分別交曲線于點，設，，，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.試題分析:(1)設，直接法求出點的軌跡方程，由軌跡方程判斷出軌跡;(2)由已知條件求出曲線E的方程,利用向量坐標運算求出,設直線的斜率為,聯(lián)立直線的方程和曲線E的方程,利用韋達定理求出,再求出的范圍.試題解析:（Ⅰ）過點作，為垂足，設點的坐標為，則，又，所以，故點的軌跡方程為.可化為，顯然點的軌跡為焦點在軸上的橢圓.（Ⅱ）時，得到的曲線的方程是，故曲線的方程是.設,，則，由，得，即.

當與軸不垂直時，直線的方程為，即，代入曲線的方程并注意到，整理可得，則，即，于是.當與軸垂直時，A點的橫坐標為，，顯然也成立.同理可得.

設直線的方程為，聯(lián)立，消去y整理得，由及，解得.又，則.故求的取值范圍是.點睛:本題考查了軌跡方程的求法以及直線與橢圓相交時相關(guān)問題,屬于中檔題.在(1)中,求軌跡與求軌跡方程不一樣,把軌跡方程求出來后,再判斷是什么類型的曲線;在(2)中,注意向量坐標運算求出的表達式,再聯(lián)立直線的方程和橢圓方程求出,進而求出的范圍.22.（13分）

已知點（Ⅰ）求f(x)的定義域；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項和參考答案：解析：（Ⅰ）由故x>0或x≤－1f(x)定義域為

…………（4分）（Ⅱ）下面使用數(shù)學歸納法證明：①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.②假設n=k時成立，由要證明：只需只需(2k+1)3≤8k(k+1)2只需1≤4k2+2k而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.只需證：