三角形的“四心”(內心、外心、重心、垂心)(曲老師推薦用)_第1頁
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曲老師推薦中考數學專題之:三角形的“四心"所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、統稱為三角形的中心。一、三角形的外心定 義：三角形三條中垂線的交點叫外心，即外接圓圓心。ABC的重心一般用字母O表示性 質:外心到三頂點等距,即OAOBOC。外心與三角形邊的中點的連線垂直于三角形的這一邊，即ODBC,OEAC,OFAB.3.A1BOC,B1AOC,C1AOB。2 2 2二、三角形的內心定義：三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即內切圓圓心。ABC的內心一般用字母I表示，它具有如下性質:性質：1.內心到三角形三邊等距，且頂點與內心的連線平分頂角。2。三角形的面積＝1三角形的周長內切圓的半徑．23AEAFBFBDCDCE；AEBFCD三角形的周長的一半。1 1 14.BIC90

,CIA90 B，AIB90 C。2 2 2三、三角形的垂心定 義：三角形三條高的交點叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。1性 質：頂點與垂心連線必垂直對邊，即AHBC,BHAC,CHAB。ABH 的垂心為CBHCAACHB。四、三角形的“重心定 義三角形三條中線的交點叫重心ABC重心一般用字母G表示。性 質：1.頂點與重心G的連線必平分對邊。2。重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2即GA2GDGB2GEGC2GF重心的坐標是三頂點坐標的平均值．即x

x x xA B C,y

y y y A B C。G 3 G 31）GAGBGC0;1 1（2）PG

(PAPBPC，53

BGC

S

SAGB

S 。3 ABC五、三角形“四心”的向量形式：結論1：若點O為ABC所在的平面內一點，滿足OAOBOBOCOCOA,則點O為ABC的垂心。結論O為△ABCOA2BC2則點O為ABC的垂心。結論3：若點G滿足GAGBGC0，則點G為ABC的重心.1結論4：若點G為ABC1OG (OAOBOC)3則點G為ABC

OB2

OC2AB2,結論5I為ABC所在的平面內一點，并且滿足aIAbIBcIC02（其中abc為三角形的三邊I為△ABC:若點O為ABC所在的平面內一點，滿足(OAOBBAOBOCCBOCAC，則點O為ABC的外心

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