發展空間觀念的序列及案例FAZHANXUESHENGDEKONGJIANGUANNIANDEXULIEJIANLItangcaibin@唐彩斌123宏觀指導思想是正確的中觀教學理念是認同的微觀教學操作是困難的課程改革近十年，您是否越來越覺得……

B重點教學靈活思維A重點教學機械技能數學教學

D思維需大量訓練C思維有序訓練E教師告訴怎么做F學生自主思考？課程標準2011版

從雙基到四基雙基：基礎知識，基本技能。四基：基礎知識、基本技能、

基本活動經驗，基本思想；

從兩能到四能分析問題；解決問題；發現問題；提出問題；

從6大核心到10大核心數感符號感空間觀念統計觀念推理能力應用意識

10大核心素養數感符號意識空間觀念幾何直觀數據分析觀念運算能力推理能力應用意識創新意識模型思想課堂作業在聽講的過程中，能不能結合自己的實踐來作補充。可以補充一個觀點。也可以補充一個案例。也可能是按照要求來完成仿真練習。請不要過于糾結反問自己“為什么我來說呢”這樣會不會……這里需要我們自由安全地表達。關注空間觀念空間觀念部分綜述傳統三大能力之一：空間想象能力；空間觀念與空間想象力的關系？空間想象能力是對幾何表象加工改造，創造新的形象。對學生來說，這種要求太高了，所以義務教育階段教學大綱中只提出培養學生的空間觀念。（曹才翰）空間觀念綜述空間觀念包括三個方面：(1)實物幾何化；(2)由基本圖形尋找出基本元素及其關系；(3)由比較復雜的圖形分解出簡單的、基本的圖形，能根據條件做出立體模型或畫出圖形。空間觀念不僅是“觀念”，還是數學課程里新的內容、題材和呈現方式。（李玉龍、朱維宗）空間觀念綜述對于學生來說，發展牢固的空間觀念，掌握幾何的概念和語言，不僅可以較好地為學習數和度量概念做準備，還可以促進其他數學課程的進一步學習。（劉曉玫）空間觀念綜述性別差異國內外研究結果不同。大多數西方研究成果表明：男性的空間觀念有優勢，這種優勢隨著年齡的增長而增加。男生的優勢隨著年齡的增長縮小并消失。（許燕、張厚粲，2000）采用適當方式描述物體間的位置關系的能力，采用適當方法確定物體位置的能力，利用直觀形象描述和分析問題的能力；圖形變換能力；在二維和三維圖形和它們的表征之間進行轉換的能力；采用適當的方法進行空間測量的能力；對空間形式及其符號進行想象、形成空間概念及空間關系的能力等。（華國棟，2008）空間觀念：空間觀念能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化；能根據條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系；能描述實物或幾何圖形的運動和變化；能采用適當的方式描述物體間的位置關系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。備注：“義務教育數學課程標準”（實驗稿），北京師范大學出版社。空間觀念根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。備注：“義務教育數學課程標準”2011版，北京師范大學出版社。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI對于概念的界定，一方面我們盡可能多地知曉已有的研究與結論，同時我們也不要拘泥于之前的某一項研究的結論。更不必試圖引用所謂權威或官方的文字來佐證自己的認識。實踐才是檢驗理念的唯一標準。不知您是否也這樣：我們通常沒有過多的精力來搞清楚是什么空間觀念？而是很想知道到底怎么做才能發展學生的空間觀念？空間觀念的課程序列教學的過程，就像是帶著孩子爬樓梯的過程，只要有合適的階梯，學生終究是會到達終點的。觀念的形成需要合適的序列知識的序列編排就像人體基因排序一樣具有攻堅意義。我們堅信每一個孩子都會進步，只是需要尋找適合他的學習材料。不是零散的“拼盤”，是整體的“金字塔”。

課程不是拼盤，是金字塔形成空間觀念需要基本內容與專項材料（1）圖形的認識；（2）圖形的測量：（3）圖形的運動變換；（4）圖形的方位：（1）圖形的轉換；（2）圖形的分解；（3）圖形的組合；（4）圖形的辨認；（5）圖形的概括；（6）圖形的推理；（7）圖形計數；（8）多連塊拼圖；（9）找隱蔽圖形；(10)圖形的展開和折疊；（張天孝，2012）原來8項，單列2項圖形之間的轉換生活的經驗生活的經驗拍照：從三維到二維，從立體到平面。用長方形折出正方形，用正方形剪出一樣大的三角形等。圖形之間的轉換圖形之間的轉換平面圖形之間的轉換。轉換：圖形特征的再鞏固。來源：人教版配套五年級暑假作業思考題：一個梯形，如果上底增加4cm，就變成一個平行四邊形；如果上底減少3cm，就成了一個三角形，這時面積比原來減少了7.5平方厘米。原來這個梯形的面積是多少平方厘米？能力培養：不為考試，贏在考試。圖形之間的轉換一維、二維和三維之間的轉換。在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？一維和二維之間的轉換四邊形的對邊關系ABCD在下列圖形中，哪兩條線段是相互平行的？哪兩條線段是相互垂直的？七巧板長方體二維和三維之間的轉換

一條線段長5厘米，以每秒10厘米的速度向右平移，3秒鐘后，線段掃過的部分的面積是多少？一維和二維之間的轉換哪個長方體禮盒裝得多？1單位：cm1088610610810686序號1長寬高體積1086480哪個長方體禮盒裝得多？2單位：cm序號2長

寬

高

體積

20105100020101052010105158哪個長方體禮盒裝得多？3單位：cm155序號3長

寬

高

體積

1585600哪個長方體禮盒裝得多？4單位：cm815815序號4長

寬

高

體積

158？

碾路機；

二維和三維之間的轉換游泳池；四棵樹，怎樣栽，使得任兩棵樹之間距離相等?二維和三維之間的轉換觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI學習開始的地方不一定在課堂？重視日常生活中圖形與圖形之間的轉換，這些基本的活動經驗積累為學校課堂數學學習是奠定基礎。轉換并不一定是在一個維度上？一維、二維和三維之間的相互轉換，恰是發展學生空間觀念的有益舉措。您是否想起了相關的案例？圖形的分解與組合圖形的分解有一塊長4米，寬3米的園地，現要在園地上辟出一個花圃，使花圃的面積是原園地面積的一半，問如何設計？（日本開放題）：圖形的分解：圖形的分解：2等分3等分4等分7等分圖形的組合：圖形的組合：圖形的組合：

七巧板拼平行四邊形圖形的組合：七巧板拼正方形生活中的七巧板數學老師家擺上一個，是否更能體現自己的學科氣質？用七巧板拼寓言《自相矛盾》二連方三連方圖形的組合源自50年代美國多連塊圖形的組合從三連方到四連方是怎么構造成的？五連方；六連方。分別有幾個呢？五連方12種，大都能用字母表述形狀。六連方35個不同的六連方，能拼成正方體的有11種。圖形的分解與組合觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI圖形的分與合不只是圖形的拼與拆？圖形的分解，并不僅僅是圖形外形的簡單分隔，而是相關數學知識和技能的應用。圖形的組合中，注重我國傳統益智素材七巧板的活動，也吸收西方的益智素材幾連塊的應用。作業不一定是當天完成的？時間長短不是問題，好題的起點低，人人可參與；開放度大，不同的人不同要求，做全對人人都有挑戰。圖形計數圖形計數的序列數點：數線段：數角；數圖形：數方塊數線段和角下圖中有多少條線段？數線段和角平面上的5個點，每3點都不在同一條直線上，各點連接，一共有多少條線段？數圖形下圖中有多少個正方形和三角形？英國：數學大師俱樂部數圖形下面這個圖形中有多少種圖形，每種圖形各有多少個？（1982年，張德琇）數立方體的個數下圖的長方體是由1立方厘米的小正方體擺成的，它的體積是多少立方厘米？數立方體的個數

PISA樣題蘇森要搭建左圖所示的幾何體，需要多少個立方塊？那么搭建右圖所示的幾何體呢？利用小立方塊搭建右圖所示的幾何體，如果允許內部有空洞，而外表上看起來還是這樣的大立方體，至少需要多少個小立方體？.將邊長為3和4的兩個正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體。探求滿足下面條件的小正方體的數量規律。（1）邊長為3的正方體，三面、兩面、一面有紅顏色的小正方體各有多少個？（2）邊長為4的正方體呢？邊長分別改為5和6，結果如何？你能發現什么規律？案例：分類計數觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI操作不一定用手？一個一個數小立方塊，那只是一個數數的問題，針對不完整的立體圖形，要算出總數，就需要考量學生的空間想象能力。在數的過程中，除了實際的數，更有頭腦中的表象地數，切勿一味實物操作；有時遠距離的操作比近距離操作更有挑戰，因為需要學生更為精準地數學表達，這也是一種能力。圖形的概括圖形屬性的概括先從已知的幾個圖形中概括出特點，在把下面符合特征的圖歸入上列圖中。⑤①②③④羊毛衫上的圖案認識圖形：從多個圖形中概括中共同特點。拉門生活中的現象。日本的三菱汽車標志生活中的現象。地磚生活中的現象。色香味俱全，還有“形”生活中的現象。美國空中跳傘新記錄生活中的現象。生活中的現象。法國飛行表演巴西國旗生活中的現象。法國巴黎盧浮宮玻璃金字塔：600個菱形生活中的現象。德國慕尼黑安聯球場：2874個菱形生活中的現象。圖形共同特點？S＝c×r÷2S＝（a＋b）h÷2S＝ah÷2S＝ahS＝ab圓形梯形三角形平行四邊形長方形圖形的概括：面積公式的概括V＝Sh圖形的概括：體積公式的概括觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI公式記得多不意味著本領強？（類似：數字大不一定題目難，文章長不意味著價值大）華老的話“把厚書讀薄”，不知用在數學概括上，算否牽強；無論怎樣，注重概括是數學思維的本質特點；圖形的推理燒開水的一般過程是：在水壺里放水，點燃燃氣灶，再把水壺放到燃氣灶上。如果有一天，在你面前放著水壺，水壺里已經裝了水，那么又應當怎么做呢？物理學家說：點燃燃氣灶，再把水壺放到燃氣灶上。可是數學家卻不會這樣想，他們常常說：倒出水壺里的水，然后按照一般過程燒。數學家的思維：把后一問題轉化成先前的問題。

案例：燒開水。圖形面積的推導。圖形推理“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭開自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的”。

珍視類比。德國數學家開普勒長方形面積的推導

長方體體積的推導；類比。推理的嚴謹：平行四邊形的面積推導平行四邊形的面積推導一般的特殊的為了轉化成長方形，所以要沿著高剪。是不是不同形狀的平行四邊形都可以沿高剪呢？所以需要提出特殊的情況。為什么要介紹平移這種方法呢？（參見傅種孫數學教育文選，人民教育出版社）平行四邊形的面積再多的白羊也不能證明所有的羊都是白的，而只要一只黑羊就能證明所有的羊都是白的這個理論是錯誤的。認識可能性我們常常拋硬幣，擲骰子，用來說明等可能性的事件，如果用啤酒瓶的蓋來說明這不是等可能性的，對等可能的事件的理解反而更深刻。反例的作用觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI只有提供越豐富的材料，才便于學生概括。妥善處理特殊的情況，如果連特殊的情況也滿足一般的規律，學生對發現的規律會更堅定。看到屏幕上的語言，您想到了什么圖？現場體驗一個角；一個三角形。三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個最特殊？是不是所有三角形都能作高？銳角三角形一作高，是不是分成了兩個直角三角形？鈍角三角形呢？任何一個三角形一作高，就能把它轉化成2個直角三角形；如果知道直角三角形面積計算方法，是否可以說任何三角形的面積都會了？三角形中的直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪一個最一般？《三角形的面積》推理思路S＝（1/2h）aS＝（1/2a）hS＝1/2（ah）三角形面積公式圖形的推理：讓不完全歸納更完全；三角形的內角和三角形的內角和是180度？三角形的內角和是180，四邊形呢？為什么只學內角不學外角？三角形的外角和是360，四邊形呢？一般的多邊形呢？

三角形的外角和

六邊形的外角和圖形的推理：讓不完全歸納更完全；五角星中的黃金比欣賞：奇妙的五點共圓推理的嚴謹：車輪為什么是圓的？陰影部分的面積怎樣計算？圖形的組合與推理：陰影部分的面積怎樣計算？圖形的組合與推理：綠色和藍色的面積哪個大？圖形的組合與推理：圖形的面積推理：

紅色與綠色的面積哪個大？下圖中，長方形的長和寬分別為40厘米和25厘米，一個直徑為4厘米的圓沿長方形內壁無滑動地滾動一周，求圓滾過的部分的面積。觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI根據已知的條件，發現內在的關系和存在的規律，推導出新的結論，有時結論不一定完全正確，但可能蘊含價值，教學需要多遵循兒童的“話語體系”；“蹲”下來傾聽孩子，不只是姿勢，更是兒童的邏輯；數學是嚴謹的，兒童所學數學的嚴謹是“相對”的，小學里常用“不完全歸納”，但教學能夠盡可能“完全”還是應該“盡力而為”。長方形的周長：24米長的繩子圍長方形土地；不靠墻，長+寬=12兩面靠墻：長+寬=24一面靠墻：長+寬×2=24比較距離和面積比較兩點之間的距離每個小方格的邊長是1厘米。①小甲蟲C爬到什么位置時，成了AD的中點?②小甲蟲C在哪一段上爬行時，始終有AC＞CB?③如果線段AB上有兩只小甲蟲，它們分別爬到哪里時，與D點的距離相等。④根據小甲蟲C的運動情況，請你提出一個數學問題。

比較距離：三角形之間的關系三角形之間的關系先在方格紙上畫上一條線段AB。準備畫出到直線AB的距離等于2厘米的點。時間只有30秒，先想好，再一起開始。準備好了嗎？挑戰題。動手畫一畫，看誰畫的點子多。如果到一個點距離等于2厘米的點呢？比較距離。B比較周長。藍線與紅線比，哪條長？藍紅黑虛線為直徑比長短3等分直徑d=10cm藍線和紅線合起來是多長？比長短d=10cm4等分直徑比長短

n等分直徑直徑為d兩個同樣的1元硬幣，一個硬幣A繞著另一個硬幣B旋轉1圈，硬幣A轉了幾圈？好玩的圓周長圖形的面積與周長變化下圖中的小方格每邊長表示1分米，在圖1的基礎上，增加了2個小方格（如圖2,圖3），整個圖的面積分別增加了多少？周長增加了多少？圖1圖2圖3

增加一個小正方體，表面積比原來增加還是減少？拿掉一個小立方塊，表面積比原來增加還是減少？比較面積和距離：觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI不作具體計算而比較面積的大小和距離的長短，是空間知覺能力的反應。比較大小和長短，不是單憑視覺所做的判斷，而是借助具有參照意義的單位來判斷，或者找到相互之間的關系來判斷。在變化中，尋找變與不變的數量，既是空間知覺的鍛煉，也是辯證關系的滲透。在復雜圖形中找隱蔽圖形您有一雙慧眼嗎從右圖中找到左邊這個簡單的圖形。在復雜圖形中找隱蔽圖形如：下面這個圖形中有多少種圖形，每種圖形各有多少個？（1982年，張德琇）這個圖形中一共有多少個三角形？北京奧運建筑-鳥巢欣賞：建筑中的圖形。廣州亞運會建筑-小蠻腰案例欣賞：建筑中的圖形。2010世博會陽光谷2008奧運會水立方欣賞：建筑中的圖形。香港中銀大廈廣州電視塔法國巴黎盧浮宮玻璃金字塔：600個菱形到底是多少個菱形？德國慕尼黑安聯球場：2874個菱形到底多少個菱形？觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI在復雜圖形找出相應的圖形，既是要感受物體間的位置關系，也需要對組成圖形的部分做合適的估計。圖形的展開與折疊圖形的展開與折疊對折一次對折兩次圖形的展開與折疊一張正方形的紙要剪下一個最大的圓，怎么操作比較方便？生活中的應用85v58這個號碼對稱嗎圖形的展開與折疊觀點與啟示

GUANDIANYUQISHI對稱的除了圖還有“數和式”？圖形的展開與折疊，有學者的研究是小學生和成人的表現水平差不多，值得思考的是：我們有沒有進行過系