2021-2022學年湖南省婁底市增橋中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區做分層抽樣調查．假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區駕駛員的總人數N為（）A．101 B．808 C．1212 D．2012參考答案：B【考點】分層抽樣方法．【專題】計算題．【分析】根據甲社區有駕駛員96人，在甲社區中抽取駕駛員的人數為12求出每個個體被抽到的概率，然后求出樣本容量，從而求出總人數．【解答】解：∵甲社區有駕駛員96人，在甲社區中抽取駕駛員的人數為12∴每個個體被抽到的概率為=樣本容量為12+21+25+43=101∴這四個社區駕駛員的總人數N為=808故選B．【點評】本題主要考查了分層抽樣，分層抽樣是最經常出現的一個抽樣問題，這種題目一般出現在選擇或填空中，屬于基礎題．2.已知直線l：y=kx與橢圓C：交于A、B兩點，其中右焦點F的坐標為（c，0），且AF與BF垂直，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【專題】轉化思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由AF與BF垂直，運用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，再由橢圓的性質可得c＞b，結合離心率公式和a，b，c的關系，即可得到所求范圍．【解答】解：由AF與BF垂直，運用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，可得||OA|=|OF|=c，由|OA|＞b，即c＞b，可得c2＞b2=a2﹣c2，即有c2＞a2，可得＜e＜1．故選：C．【點評】本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運用直角三角形斜邊上中線的性質，以及離心率公式和弦長的性質，考查運算能力，屬于中檔題．3.設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是()A．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)參考答案：D略4.設{是小于的正整數}，，，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D5.已知復數是純虛數（其中i為虛數單位，a∈R），則z的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】直接利用復數的除法運算法則，化簡復數為a+bi的形式，求出復數的虛部．【解答】解：==，∵復數是純虛數，∴6﹣a=0，∴z=2i，∴z的虛部為2，故選：A6.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.執行如圖的程序框圖，如果輸入的N=4，那么輸出的S=（）A．1+B．1+C．1+D．1+參考答案：B考點：程序框圖．專題：圖表型．分析：由程序中的變量、各語句的作用，結合流程圖所給的順序可知當條件滿足時，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到條件不能滿足時輸出最后算出的S值，由此即可得到本題答案．解答：解：根據題意，可知該按以下步驟運行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此時k=5時，符合k＞N=4，輸出S的值．∴S=1+++故選B．點評：本題主要考查了直到型循環結構，循環結構有兩種形式：當型循環結構和直到型循環結構，以及表格法的運用，屬于基礎題．8.下列四個關系：①0∈{0}；②??{0}；③{0，1}?{（0，1）}；④{（a，b）}={（b，a）}．其中正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B考點： 集合的包含關系判斷及應用；元素與集合關系的判斷．分析： 利用元素與集合的關系要用∈或?，集合與集合的關系要用?、?等可逐一判斷得到答案．解答： 解：∵0是{0}中的元素，∴0∈{0}，即①正確．∵?是任何集合的子集，即??{0}，∴②正確．∵{0，1}含有兩個元素是數0和1，而{（0，1）}只含有一個元素是點（0，1），即{0，1}和{（0，1）}含有的元素屬性不一樣，∴③不正確．∵{（a，b）}含有一個元素為點（a，b），而{（b，a）}含有一個元素為點（b，a），（a，b）與（b，a）是不相同的點，∴{（a，b）}≠{（b，a）}，即④不正確．故選B．點評： 采用逐一判斷的方法是解決這類問題的通法．9.已知cos（θ+π）=﹣，則sin（2θ+）=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】二倍角的余弦．【分析】由誘導公式化簡已知可得cosθ=，由誘導公式和二倍角的余弦函數公式即可求值．【解答】解：∵cos（θ+π）=﹣，∴可得cosθ=，∴sin（2θ+）=cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故選：B．10.（文科）有5名班委進行分工，其中A不適合做班長，B只適合作學習委員，則不同的分工方案種數為A．18

B．24

C．60

D．48參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f（x）=，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實數k的取值范圍是

．參考答案：（，1]【考點】特稱命題．【專題】函數的性質及應用；不等式的解法及應用；簡易邏輯．【分析】由x＜1時函數的單調性，畫出函數f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），求出切點和斜率，設直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切于點（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．【解答】解：當x＜1時，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，當x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函數；當0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在區間（0，）上是減函數，在（，1）上是增函數；畫出函數y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，即為任意t∈R，且t≠0時，使得f（t）＜kt恒成立；作出直線y=kx，設直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），則由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；設直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）的圖象相切于點（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），則有k=1，由圖象可得，當直線繞著原點旋轉時，轉到與y=lnx（x≥1）圖象相切，以及與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切時，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范圍是（，1]．故答案為：（，1]．【點評】本題考查了分段函數的應用問題，也考查了存在性命題與全稱性命題的互相轉化問題以及不等式恒成立的問題，是較難的題目．12.函數f(x)=sin(x+)的最小正周期為．參考答案：6【考點】正弦函數的圖象．【分析】直接利用周期公式，即可得出結論．【解答】解：函數的最小正周期為T==6，故答案為6．13.

若，且，則參考答案：答案：714.高三（2）班現有64名學生，隨機編號為0，1，2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1，2，3，…，8．現用系統抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第一組中隨機抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為

．參考答案：45【考點】系統抽樣方法．【分析】先求出分組間隔為，再由在第一組中隨機抽取的號碼為5，能求出在第6組中抽取的號碼．【解答】解：高三（2）班現有64名學生，隨機編號為0，1，2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1，2，3，…，8．分組間隔為，∵在第一組中隨機抽取的號碼為5，∴在第6組中抽取的號碼為：5+5×8=45．故答案為：45．【點評】本題考查樣本號碼的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意系統抽樣的性質的合理運用．15.若函數，在區間上是單調減函數，且函數值從1減少到﹣1，則=

．參考答案：【考點】正弦函數的單調性．【專題】計算題．【分析】由題意可得，函數的周期為2×（﹣）=π，求出ω=2．再由sin（2?+φ）=1，可得φ=，從而得到函數的解析式，從而求得的值．【解答】解：由題意可得，函數的周期為2×（﹣）=π，即=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．再由sin（2?+φ）=1，可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴=sin（+）=cos=，故答案為．【點評】本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數的解析式，屬于中檔題．16.已知向量與向量的夾角為，若且，則在上的投影為

參考答案：因為向量與向量的夾角為，所以在上的投影為，問題轉化為求，因為故所以在上的投影為.17.已知是內的一點，且，若和的面積分別為，則的最小值是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知.(1) 求角B的大小;（2）若,求b的取值范圍參考答案：解:(1)由已知得

即有

因為,所以,又,所以,又,所以.(2)由余弦定理,有.因為,有.又,于是有,即有.略19.已知函數f（x）=（其中a≤2且a≠0），函數f（x）在點（1，f（1））處的切線過點（3，0）．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若函數f（x）與函數g（x）=a+2﹣x﹣的圖象在（0，2]有且只有一個交點，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1）利用導數的幾何意義可得切線方程，對a分類討論、利用導數研究函數的單調性即可；（2）等價方程在（0，2]只有一個根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等價函數h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點．由，對a分類討論、結合圖象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切線過點（3，0），∴b=2a，∴，①當a∈（0，2]時，單調遞增，單調遞減，②當a∈（﹣∞，0）時，單調遞減，單調遞增．（2）等價方程在（0，2]只有一個根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一個根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等價函數h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點，∴①當a＜0時，h（x）在x∈（0，1）遞減，x∈（1，2]的遞增，當x→0時，h（x）→+∞，要函數h（x）在（0，2]與x軸只有唯一的交點，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②當a∈（0，2）時，h（x）在遞增，的遞減，x∈（1，2]遞增，∵，當x→0時，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在與x軸只有唯一的交點，③當a=2，h（x）在x∈（0，2]的遞增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]與x軸只有唯一的交點，故a的取值范圍是a=﹣1或或0＜a≤2．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、導數的幾何意義，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，

AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.參考答案：【知識點】空間中的平行關系空間中的垂直關系G4G5【答案解析】(1)略(2)略(3)略(1)因為平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.又E，F分別是CD和CP的中點，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD?平面PCD，由EF，BE在平面BEF內，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PC